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Theorem scmsuppss 30928
Description: The support of a mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is a subset of the support of the function of scalars. (Contributed by AV, 5-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmsuppss.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
scmsuppss.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
scmsuppss  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) supp  ( 0g `  M ) )  C_  ( A supp  ( 0g `  S ) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, M    v, R    v, V
Allowed substitution hint:    S( v)

Proof of Theorem scmsuppss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7339 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
2 fdm 5666 . . . . . 6  |-  ( A : V --> R  ->  dom  A  =  V )
3 eqidd 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) )
4 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  ( A `  v )  =  ( A `  x ) )
5 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  v  =  x )
64, 5oveq12d 6213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  x  ->  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v )  =  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) )
76adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( dom 
A  =  V  /\  A : V --> R )  /\  ( V  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V )  /\  v  =  x )  ->  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v )  =  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) )
8 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  V )
9 ovex 6220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x )  e. 
_V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( A `  x )
( .s `  M
) x )  e. 
_V )
113, 7, 8, 10fvmptd 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) )
1211neeq1d 2726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  <->  ( ( A `  x )
( .s `  M
) x )  =/=  ( 0g `  M
) ) )
13 oveq1 6202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  S )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( 0g
`  S ) ( .s `  M ) x ) )
14 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  M  e.  LMod )
15 elelpwi 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  x  e.  (
Base `  M )
)
1615expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod )  -> 
( x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M )
) )
1918imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  ( Base `  M )
)
20 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
21 scmsuppss.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  (Scalar `  M )
22 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
23 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
24 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
2520, 21, 22, 23, 24lmod0vs 17099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( 0g `  S
) ( .s `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) )
2614, 19, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( 0g `  S ) ( .s `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) )
2713, 26sylan9eqr 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( dom 
A  =  V  /\  A : V --> R )  /\  ( V  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( A `  x )  =  ( 0g `  S ) )  -> 
( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( 0g
`  M ) )
2827ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  S )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) ) )
2928necon3d 2673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  =/=  ( 0g `  M )  ->  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) ) )
3012, 29sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  S ) ) )
3130ss2rabdv 3536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  ->  { x  e.  V  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  C_  { x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  S ) } )
32 ovex 6220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v )  e. 
_V
33 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )
3432, 33dmmpti 5643 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) )  =  V
35 rabeq 3066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  =  V  ->  { x  e. 
dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
3634, 35mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
A  =  V  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
37 rabeq 3066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
A  =  V  ->  { x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S ) }  =  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  S
) } )
3836, 37sseq12d 3488 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
A  =  V  -> 
( { x  e. 
dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) }  <->  { x  e.  V  |  (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) )
3938adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  A  =  V  /\  A : V --> R )  ->  ( { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) }  <->  { x  e.  V  |  (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) }  <->  { x  e.  V  |  (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) )
4131, 40mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  ->  { x  e. 
dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } )
4241exp43 612 . . . . . 6  |-  ( dom 
A  =  V  -> 
( A : V --> R  ->  ( V  e. 
~P ( Base `  M
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) ) ) )
432, 42mpcom 36 . . . . 5  |-  ( A : V --> R  -> 
( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( M  e.  LMod  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) ) )
441, 43syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  -> 
( M  e.  LMod  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) ) )
4544com13 80 . . 3  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) ) )
46453imp 1182 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } )
47 funmpt 5557 . . . 4  |-  Fun  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) )
4847a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  Fun  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )
49 mptexg 6051 . . . 4  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) )  e.  _V )
50493ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) )  e.  _V )
51 fvex 5804 . . . 4  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
5251a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( 0g `  M )  e.  _V )
53 suppval1 6801 . . 3  |-  ( ( Fun  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  /\  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  e.  _V  /\  ( 0g `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
5448, 50, 52, 53syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
55 ffun 5664 . . . . 5  |-  ( A : V --> R  ->  Fun  A )
561, 55syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  Fun  A )
57563ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  Fun  A )
58 simp3 990 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  A  e.  ( R  ^m  V ) )
59 fvex 5804 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  e. 
_V
6059a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( 0g `  S )  e.  _V )
61 suppval1 6801 . . 3  |-  ( ( Fun  A  /\  A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( 0g `  S )  e.  _V )  ->  ( A supp  ( 0g `  S ) )  =  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } )
6257, 58, 60, 61syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( A supp  ( 0g `  S ) )  =  { x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S ) } )
6346, 54, 623sstr4d 3502 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) supp  ( 0g `  M ) )  C_  ( A supp  ( 0g `  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   {crab 2800   _Vcvv 3072    C_ wss 3431   ~Pcpw 3963    |-> cmpt 4453   dom cdm 4943   Fun wfun 5515   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   supp csupp 6795    ^m cmap 7319   Basecbs 14287  Scalarcsca 14355   .scvsca 14356   0gc0g 14492   LModclmod 17066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-map 7321  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-rng 16765  df-lmod 17068
This theorem is referenced by:  scmsuppfi  30934
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