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Theorem scmsuppss 39750
Description: The support of a mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is a subset of the support of the function of scalars. (Contributed by AV, 5-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmsuppss.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
scmsuppss.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
scmsuppss  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) supp  ( 0g `  M ) )  C_  ( A supp  ( 0g `  S ) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, M    v, R    v, V
Allowed substitution hint:    S( v)

Proof of Theorem scmsuppss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7448 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
2 fdm 5693 . . . . . 6  |-  ( A : V --> R  ->  dom  A  =  V )
3 eqidd 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) )
4 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  ( A `  v )  =  ( A `  x ) )
5 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  v  =  x )
64, 5oveq12d 6267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  x  ->  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v )  =  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) )
76adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( dom 
A  =  V  /\  A : V --> R )  /\  ( V  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V )  /\  v  =  x )  ->  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v )  =  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) )
8 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  V )
9 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x )  e. 
_V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( A `  x )
( .s `  M
) x )  e. 
_V )
113, 7, 8, 10fvmptd 5914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) )
1211neeq1d 2660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  <->  ( ( A `  x )
( .s `  M
) x )  =/=  ( 0g `  M
) ) )
13 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  S )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( 0g
`  S ) ( .s `  M ) x ) )
14 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  M  e.  LMod )
15 elelpwi 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  x  e.  (
Base `  M )
)
1615expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
1716adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod )  -> 
( x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
1817adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M )
) )
1918imp 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  ( Base `  M )
)
20 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
21 scmsuppss.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  (Scalar `  M )
22 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
23 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
24 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
2520, 21, 22, 23, 24lmod0vs 18067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( 0g `  S
) ( .s `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) )
2614, 19, 25syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( 0g `  S ) ( .s `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) )
2713, 26sylan9eqr 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( dom 
A  =  V  /\  A : V --> R )  /\  ( V  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( A `  x )  =  ( 0g `  S ) )  -> 
( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( 0g
`  M ) )
2827ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  S )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) ) )
2928necon3d 2622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  =/=  ( 0g `  M )  ->  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) ) )
3012, 29sylbid 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  S ) ) )
3130ss2rabdv 3485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  ->  { x  e.  V  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  C_  { x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  S ) } )
32 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v )  e. 
_V
33 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )
3432, 33dmmpti 5668 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) )  =  V
35 rabeq 3015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  =  V  ->  { x  e. 
dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
3634, 35mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
A  =  V  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
37 rabeq 3015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
A  =  V  ->  { x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S ) }  =  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  S
) } )
3836, 37sseq12d 3436 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
A  =  V  -> 
( { x  e. 
dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) }  <->  { x  e.  V  |  (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) )
3938adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  A  =  V  /\  A : V --> R )  ->  ( { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) }  <->  { x  e.  V  |  (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) )
4039adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) }  <->  { x  e.  V  |  (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) )
4131, 40mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  ->  { x  e. 
dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } )
4241exp43 615 . . . . . 6  |-  ( dom 
A  =  V  -> 
( A : V --> R  ->  ( V  e. 
~P ( Base `  M
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) ) ) )
432, 42mpcom 37 . . . . 5  |-  ( A : V --> R  -> 
( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( M  e.  LMod  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) ) )
441, 43syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  -> 
( M  e.  LMod  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) ) )
4544com13 83 . . 3  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) ) )
46453imp 1199 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } )
47 funmpt 5580 . . . 4  |-  Fun  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) )
4847a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  Fun  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )
49 mptexg 6094 . . . 4  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) )  e.  _V )
50493ad2ant2 1027 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) )  e.  _V )
51 fvex 5835 . . . 4  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
5251a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( 0g `  M )  e.  _V )
53 suppval1 6875 . . 3  |-  ( ( Fun  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  /\  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  e.  _V  /\  ( 0g `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
5448, 50, 52, 53syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
55 elmapfun 7450 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  Fun  A )
56553ad2ant3 1028 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  Fun  A )
57 simp3 1007 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  A  e.  ( R  ^m  V ) )
58 fvex 5835 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  e. 
_V
5958a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( 0g `  S )  e.  _V )
60 suppval1 6875 . . 3  |-  ( ( Fun  A  /\  A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( 0g `  S )  e.  _V )  ->  ( A supp  ( 0g `  S ) )  =  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } )
6156, 57, 59, 60syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( A supp  ( 0g `  S ) )  =  { x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S ) } )
6246, 54, 613sstr4d 3450 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) supp  ( 0g `  M ) )  C_  ( A supp  ( 0g `  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   {crab 2718   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   ~Pcpw 3924    |-> cmpt 4425   dom cdm 4796   Fun wfun 5538   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   supp csupp 6869    ^m cmap 7427   Basecbs 15064  Scalarcsca 15136   .scvsca 15137   0gc0g 15281   LModclmod 18034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-map 7429  df-0g 15283  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-grp 16616  df-ring 17725  df-lmod 18036
This theorem is referenced by:  scmsuppfi  39755
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