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Theorem scmsuppss 33109
Description: The support of a mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is a subset of the support of the function of scalars. (Contributed by AV, 5-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmsuppss.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
scmsuppss.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
scmsuppss  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) supp  ( 0g `  M ) )  C_  ( A supp  ( 0g `  S ) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, M    v, R    v, V
Allowed substitution hint:    S( v)

Proof of Theorem scmsuppss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7459 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
2 fdm 5741 . . . . . 6  |-  ( A : V --> R  ->  dom  A  =  V )
3 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) )
4 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  ( A `  v )  =  ( A `  x ) )
5 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  v  =  x )
64, 5oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  x  ->  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v )  =  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) )
76adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( dom 
A  =  V  /\  A : V --> R )  /\  ( V  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V )  /\  v  =  x )  ->  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v )  =  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) )
8 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  V )
9 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x )  e. 
_V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( A `  x )
( .s `  M
) x )  e. 
_V )
113, 7, 8, 10fvmptd 5961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) )
1211neeq1d 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  <->  ( ( A `  x )
( .s `  M
) x )  =/=  ( 0g `  M
) ) )
13 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  S )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( 0g
`  S ) ( .s `  M ) x ) )
14 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  M  e.  LMod )
15 elelpwi 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  x  e.  (
Base `  M )
)
1615expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod )  -> 
( x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M )
) )
1918imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  ( Base `  M )
)
20 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
21 scmsuppss.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  (Scalar `  M )
22 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
23 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
24 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
2520, 21, 22, 23, 24lmod0vs 17672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( 0g `  S
) ( .s `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) )
2614, 19, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( 0g `  S ) ( .s `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) )
2713, 26sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( dom 
A  =  V  /\  A : V --> R )  /\  ( V  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( A `  x )  =  ( 0g `  S ) )  -> 
( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( 0g
`  M ) )
2827ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  S )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) ) )
2928necon3d 2681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  =/=  ( 0g `  M )  ->  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) ) )
3012, 29sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  S ) ) )
3130ss2rabdv 3577 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  ->  { x  e.  V  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  C_  { x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  S ) } )
32 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v )  e. 
_V
33 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )
3432, 33dmmpti 5716 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) )  =  V
35 rabeq 3103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  =  V  ->  { x  e. 
dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
3634, 35mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
A  =  V  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
37 rabeq 3103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
A  =  V  ->  { x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S ) }  =  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  S
) } )
3836, 37sseq12d 3528 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
A  =  V  -> 
( { x  e. 
dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) }  <->  { x  e.  V  |  (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) )
3938adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  A  =  V  /\  A : V --> R )  ->  ( { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) }  <->  { x  e.  V  |  (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) }  <->  { x  e.  V  |  (
( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) )
4131, 40mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( dom  A  =  V  /\  A : V
--> R )  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )  ->  { x  e. 
dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } )
4241exp43 612 . . . . . 6  |-  ( dom 
A  =  V  -> 
( A : V --> R  ->  ( V  e. 
~P ( Base `  M
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) ) ) )
432, 42mpcom 36 . . . . 5  |-  ( A : V --> R  -> 
( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( M  e.  LMod  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) ) )
441, 43syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  -> 
( M  e.  LMod  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) ) )
4544com13 80 . . 3  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } ) ) )
46453imp 1190 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } )
47 funmpt 5630 . . . 4  |-  Fun  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) )
4847a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  Fun  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )
49 mptexg 6143 . . . 4  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) )  e.  _V )
50493ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) )  e.  _V )
51 fvex 5882 . . . 4  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
5251a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( 0g `  M )  e.  _V )
53 suppval1 6923 . . 3  |-  ( ( Fun  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  /\  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  e.  _V  /\  ( 0g `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
5448, 50, 52, 53syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e.  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) )  |  ( ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
55 elmapfun 7461 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  Fun  A )
56553ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  Fun  A )
57 simp3 998 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  A  e.  ( R  ^m  V ) )
58 fvex 5882 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  e. 
_V
5958a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( 0g `  S )  e.  _V )
60 suppval1 6923 . . 3  |-  ( ( Fun  A  /\  A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( 0g `  S )  e.  _V )  ->  ( A supp  ( 0g `  S ) )  =  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S
) } )
6156, 57, 59, 60syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( A supp  ( 0g `  S ) )  =  { x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  S ) } )
6246, 54, 613sstr4d 3542 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) supp  ( 0g `  M ) )  C_  ( A supp  ( 0g `  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   Basecbs 14644  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   0gc0g 14857   LModclmod 17639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-map 7440  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-ring 17327  df-lmod 17641
This theorem is referenced by:  scmsuppfi  33114
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