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Theorem scmatsubcl 30881
Description: The difference of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
scmatid.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
scmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
scmatid.d  |-  D  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }
Assertion
Ref Expression
scmatsubcl  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D )
Distinct variable groups:    A, c,
i, j, m    B, m    E, c, m    N, c, i, j, m    R, c, i, j    .0. , m    B, c, i, j    D, c, i, j    i, E, j    X, c, m, i, j    Y, c, m, i, j    .0. , c
Allowed substitution hints:    D( m)    R( m)    .0. ( i, j)

Proof of Theorem scmatsubcl
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
21matrng 18328 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
3 rnggrp 16648 . . . . 5  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. 
Grp )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Grp )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  A  e.  Grp )
6 elrabi 3112 . . . . 5  |-  ( X  e.  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  ->  X  e.  B )
7 scmatid.d . . . . 5  |-  D  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }
86, 7eleq2s 2533 . . . 4  |-  ( X  e.  D  ->  X  e.  B )
98ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  B )
10 elrabi 3112 . . . . 5  |-  ( Y  e.  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  ->  Y  e.  B )
1110, 7eleq2s 2533 . . . 4  |-  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  B )
1211ad2antll 728 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  B )
13 scmatid.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
14 eqid 2441 . . . 4  |-  ( -g `  A )  =  (
-g `  A )
1513, 14grpsubcl 15604 . . 3  |-  ( ( A  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( -g `  A ) Y )  e.  B )
165, 9, 12, 15syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  B )
17 oveq 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  X  ->  (
i m j )  =  ( i X j ) )
1817eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  X  ->  (
( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
19182ralbidv 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  X  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
2019rexbidv 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  X  ->  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
2120elrab 3115 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  <->  ( X  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
2221biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  ->  ( X  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
2322, 7eleq2s 2533 . . . . . 6  |-  ( X  e.  D  ->  ( X  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
24 oveq 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  Y  ->  (
i m j )  =  ( i Y j ) )
2524eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  Y  ->  (
( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
26252ralbidv 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  Y  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
2726rexbidv 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  Y  ->  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
2827elrab 3115 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  <->  ( Y  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
2928biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  ->  ( Y  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
3029, 7eleq2s 2533 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  D  ->  ( Y  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
3123, 30anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( X  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )
) ) )
32 ifeq1 3793 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  a  ->  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  a ,  .0.  )
)
3332eqeq2d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  a  ->  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) ) )
34332ralbidv 2755 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  a  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) ) )
3534cbvrexv 2946 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. a  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )
3635anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )  <-> 
( X  e.  B  /\  E. a  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )
) )
37 ifeq1 3793 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  b ,  .0.  )
)
3837eqeq2d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  b  ->  (
( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) ) )
39382ralbidv 2755 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  b  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) ) )
4039cbvrexv 2946 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )
4140anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )  <-> 
( Y  e.  B  /\  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) )
42 r19.26-2 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
)  <->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) ) )
43 oveq12 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
)  ->  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  ( if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) (
-g `  R ) if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) ) )
44 iftrue 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  =  a )
45 iftrue 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )  =  b )
4644, 45oveq12d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( i  =  j  ->  ( if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) ( -g `  R
) if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  =  ( a (
-g `  R )
b ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( i  =  j  /\  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( -g `  R
) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  ( if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) ( -g `  R
) if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  =  ( a (
-g `  R )
b ) )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( c  e.  E  /\  ( a ( -g `  R ) b )  =  c )  -> 
( a ( -g `  R ) b )  =  c )
4948ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( -g `  R
) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  ->  ( a
( -g `  R ) b )  =  c )
50 iftrue 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  =  c )
5150eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( i  =  j  ->  c  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
5249, 51sylan9eqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( i  =  j  /\  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( -g `  R
) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  (
a ( -g `  R
) b )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
5347, 52eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( i  =  j  /\  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( -g `  R
) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  ( if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) ( -g `  R
) if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
54 iffalse 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  =  .0.  )
55 iffalse 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )  =  .0.  )
5654, 55oveq12d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( -.  i  =  j  -> 
( if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) (
-g `  R ) if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  =  (  .0.  ( -g `  R
)  .0.  ) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( -.  i  =  j  /\  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( -g `  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N
)  /\  j  e.  N ) )  -> 
( if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) (
-g `  R ) if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  =  (  .0.  ( -g `  R
)  .0.  ) )
58 rnggrp 16648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
59 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
60 scmatid.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6159, 60grpidcl 15564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
6258, 61jccir 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) ) )
63 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
6459, 60, 63grpsubid 15608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( -g `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
6562, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0.  ( -g `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
6766ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( -g `  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N
)  ->  (  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( -g `  R
) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  ->  (  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
69 iffalse 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  =  .0.  )
7069eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( -.  i  =  j  ->  .0.  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
7168, 70sylan9eqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( -.  i  =  j  /\  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( -g `  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N
)  /\  j  e.  N ) )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
7257, 71eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( -.  i  =  j  /\  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( -g `  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N
)  /\  j  e.  N ) )  -> 
( if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) (
-g `  R ) if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
7353, 72pm2.61ian 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( -g `  R
) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  ->  ( if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) ( -g `  R
) if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
7443, 73sylan9eqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( -g `  R
) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  ( (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) )  ->  (
( i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
7574ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( -g `  R
) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  ->  ( (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
)  ->  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
7675ralimdva 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( -g `  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N
)  ->  ( A. j  e.  N  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
)  ->  A. j  e.  N  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
7776ralimdva 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( -g `  R ) b )  =  c ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
)  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
7877impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) )  ->  (
( c  e.  E  /\  ( a ( -g `  R ) b )  =  c )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
7978imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) )  /\  (
c  e.  E  /\  ( a ( -g `  R ) b )  =  c ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
80 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  (
a ( -g `  R
) b )  =  ( a ( -g `  R ) b ) )
8158adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Grp )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  R  e.  Grp )
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  ->  a  e.  E )
8483ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  a  e.  E )
85 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  b  e.  E )
86 scmatid.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  E  =  ( Base `  R
)
8786, 63grpsubcl 15604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  a  e.  E  /\  b  e.  E )  ->  ( a ( -g `  R ) b )  e.  E )
8882, 84, 85, 87syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  (
a ( -g `  R
) b )  e.  E )
89 eqeq2 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( c  =  ( a (
-g `  R )
b )  ->  (
( a ( -g `  R ) b )  =  c  <->  ( a
( -g `  R ) b )  =  ( a ( -g `  R
) b ) ) )
9089adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) ) )  /\  c  =  ( a
( -g `  R ) b ) )  -> 
( ( a (
-g `  R )
b )  =  c  <-> 
( a ( -g `  R ) b )  =  ( a (
-g `  R )
b ) ) )
9188, 90rspcedv 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  (
( a ( -g `  R ) b )  =  ( a (
-g `  R )
b )  ->  E. c  e.  E  ( a
( -g `  R ) b )  =  c ) )
9291com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( a ( -g `  R
) b )  =  ( a ( -g `  R ) b )  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  E. c  e.  E  ( a
( -g `  R ) b )  =  c ) )
9380, 92mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  E. c  e.  E  ( a
( -g `  R ) b )  =  c )
9493ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  ->  E. c  e.  E  ( a
( -g `  R ) b )  =  c ) )
9594com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  ( a
( -g `  R ) b )  =  c ) )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  ( a
( -g `  R ) b )  =  c ) )
9796imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  ->  E. c  e.  E  ( a
( -g `  R ) b )  =  c )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) )  ->  E. c  e.  E  ( a
( -g `  R ) b )  =  c )
9979, 98reximddv 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
10099exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) )
101100com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) )
102101ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
103102com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
104103com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )  ->  (
( X  e.  D  /\  Y  e.  D
)  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
10542, 104syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  ->  ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )  ->  (
( X  e.  D  /\  Y  e.  D
)  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
106105expd 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )  ->  (
( Y  e.  B  /\  b  e.  E
)  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
1071063impia 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )  ->  (
( Y  e.  B  /\  b  e.  E
)  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
108107com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )  ->  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
1091083impia 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  B  /\  b  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) )
110109rexlimdv3a 2841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  B  ->  ( E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )  ->  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
111110imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  B  /\  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) )
112111com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) )
113112rexlimdv3a 2841 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( E. a  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
114113imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  E. a  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) )
115114imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  E. a  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )
)  /\  ( Y  e.  B  /\  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) ) )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) )
11636, 41, 115syl2anb 479 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )
)  /\  ( Y  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) )
11731, 116mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
118117impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( (
i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
119 simp-4r 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
1208, 11anim12i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )
121120ad3antlr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
122 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  i  e.  N )  ->  i  e.  N )
123122anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)
1241, 13, 14, 63matsubgcell 30857 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( X (
-g `  A ) Y ) j )  =  ( ( i X j ) (
-g `  R )
( i Y j ) ) )
125124eqeq1d 2449 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( ( i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
126119, 121, 123, 125syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( ( i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
127126ralbidva 2729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. j  e.  N  ( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
128127ralbidva 2729 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
129128rexbidv 2734 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
130118, 129mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( X ( -g `  A ) Y ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
131 oveq 6095 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  (
i m j )  =  ( i ( X ( -g `  A
) Y ) j ) )
132131eqeq1d 2449 . . . . 5  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  (
( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( i ( X (
-g `  A ) Y ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
1331322ralbidv 2755 . . . 4  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i ( X (
-g `  A ) Y ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
134133rexbidv 2734 . . 3  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i ( X (
-g `  A ) Y ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
135134, 7elrab2 3117 . 2  |-  ( ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D  <->  ( ( X ( -g `  A
) Y )  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( X ( -g `  A ) Y ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
13616, 130, 135sylanbrc 664 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   ifcif 3789   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Fincfn 7308   Basecbs 14172   0gc0g 14376   Grpcgrp 15408   -gcsg 15411   Ringcrg 16643   Mat cmat 18278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-ot 3884  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-hash 12102  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-hom 14260  df-cco 14261  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-prds 14384  df-pws 14386  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-mulg 15546  df-subg 15676  df-ghm 15743  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-subrg 16861  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-dsmm 18155  df-frlm 18170  df-mamu 18279  df-mat 18280
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