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Theorem scmatsubcl 18783
Description: The difference of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
scmatid.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
scmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
scmatid.s  |-  S  =  ( N ScMat  R )
Assertion
Ref Expression
scmatsubcl  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  S
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  S )

Proof of Theorem scmatsubcl
Dummy variables  c 
d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.e . . . . 5  |-  E  =  ( Base `  R
)
2 scmatid.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 scmatid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
6 scmatid.s . . . . 5  |-  S  =  ( N ScMat  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 18772 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  S )  ->  E. c  e.  E  X  =  ( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) )
873expa 1196 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  X  e.  S
)  ->  E. c  e.  E  X  =  ( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) )
98adantrr 716 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  S
) )  ->  E. c  e.  E  X  =  ( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 18772 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  S )  ->  E. d  e.  E  Y  =  ( d ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) )
11103expia 1198 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  S  ->  E. d  e.  E  Y  =  ( d
( .s `  A
) ( 1r `  A ) ) ) )
12 oveq12 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =  ( c ( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  /\  Y  =  ( d
( .s `  A
) ( 1r `  A ) ) )  ->  ( X (
-g `  A ) Y )  =  ( ( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) ( -g `  A
) ( d ( .s `  A ) ( 1r `  A
) ) ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  /\  ( X  =  ( c
( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  /\  Y  =  ( d
( .s `  A
) ( 1r `  A ) ) ) )  ->  ( X
( -g `  A ) Y )  =  ( ( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) ( -g `  A
) ( d ( .s `  A ) ( 1r `  A
) ) ) )
14 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  A )  =  (Scalar `  A )
15 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  A )
)  =  ( Base `  (Scalar `  A )
)
16 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -g `  A )  =  (
-g `  A )
17 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -g `  (Scalar `  A )
)  =  ( -g `  (Scalar `  A )
)
182matlmod 18695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  LMod )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  A  e.  LMod )
202matsca2 18686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  =  (Scalar `  A
) )
2120fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  A ) ) )
221, 21syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E  =  ( Base `  (Scalar `  A )
) )
2322eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( c  e.  E  <->  c  e.  ( Base `  (Scalar `  A ) ) ) )
2423biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( c  e.  E  ->  c  e.  ( Base `  (Scalar `  A )
) ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E
)  ->  ( c  e.  E  ->  c  e.  ( Base `  (Scalar `  A ) ) ) )
2625imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  c  e.  ( Base `  (Scalar `  A ) ) )
2722eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( d  e.  E  <->  d  e.  ( Base `  (Scalar `  A ) ) ) )
2827biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E
)  ->  d  e.  ( Base `  (Scalar `  A
) ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  d  e.  ( Base `  (Scalar `  A ) ) )
302matrng 18709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
313, 4rngidcl 17003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  B )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  ( 1r `  A )  e.  B )
343, 5, 14, 15, 16, 17, 19, 26, 29, 33lmodsubdir 17348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  (
( c ( -g `  (Scalar `  A )
) d ) ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  =  ( ( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) ( -g `  A
) ( d ( .s `  A ) ( 1r `  A
) ) ) )
3534eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  (
( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) ( -g `  A
) ( d ( .s `  A ) ( 1r `  A
) ) )  =  ( ( c (
-g `  (Scalar `  A
) ) d ) ( .s `  A
) ( 1r `  A ) ) )
36 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
3720eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  A )  =  R )
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  (Scalar `  A )  =  R )
3938fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  ( -g `  (Scalar `  A
) )  =  (
-g `  R )
)
4039oveqd 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  (
c ( -g `  (Scalar `  A ) ) d )  =  ( c ( -g `  R
) d ) )
41 rnggrp 16988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Grp )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  R  e.  Grp )
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  c  e.  E )
45 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  d  e.  E )
46 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
471, 46grpsubcl 15916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  c  e.  E  /\  d  e.  E )  ->  ( c ( -g `  R ) d )  e.  E )
4843, 44, 45, 47syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  (
c ( -g `  R
) d )  e.  E )
4940, 48eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  (
c ( -g `  (Scalar `  A ) ) d )  e.  E )
501, 2, 3, 5matvscl 18697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( c (
-g `  (Scalar `  A
) ) d )  e.  E  /\  ( 1r `  A )  e.  B ) )  -> 
( ( c (
-g `  (Scalar `  A
) ) d ) ( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  e.  B )
5136, 49, 33, 50syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  (
( c ( -g `  (Scalar `  A )
) d ) ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  e.  B
)
52 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  =  ( c (
-g `  (Scalar `  A
) ) d )  ->  ( e ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  =  ( ( c ( -g `  (Scalar `  A )
) d ) ( .s `  A ) ( 1r `  A
) ) )
5352eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  ( c (
-g `  (Scalar `  A
) ) d )  ->  ( ( ( c ( -g `  (Scalar `  A ) ) d ) ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) )  =  ( e ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  <->  ( (
c ( -g `  (Scalar `  A ) ) d ) ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) )  =  ( ( c ( -g `  (Scalar `  A ) ) d ) ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) ) ) )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  /\  e  =  ( c (
-g `  (Scalar `  A
) ) d ) )  ->  ( (
( c ( -g `  (Scalar `  A )
) d ) ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  =  ( e ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) )  <-> 
( ( c (
-g `  (Scalar `  A
) ) d ) ( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  =  ( ( c (
-g `  (Scalar `  A
) ) d ) ( .s `  A
) ( 1r `  A ) ) ) )
55 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  (
( c ( -g `  (Scalar `  A )
) d ) ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  =  ( ( c ( -g `  (Scalar `  A )
) d ) ( .s `  A ) ( 1r `  A
) ) )
5649, 54, 55rspcedvd 3219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  E. e  e.  E  ( (
c ( -g `  (Scalar `  A ) ) d ) ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) )  =  ( e ( .s `  A ) ( 1r `  A
) ) )
571, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 18771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( ( c ( -g `  (Scalar `  A ) ) d ) ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) )  e.  S  <->  ( (
( c ( -g `  (Scalar `  A )
) d ) ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  e.  B  /\  E. e  e.  E  ( ( c (
-g `  (Scalar `  A
) ) d ) ( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  =  ( e ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) ) ) )
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  (
( ( c (
-g `  (Scalar `  A
) ) d ) ( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  e.  S  <->  ( ( ( c ( -g `  (Scalar `  A ) ) d ) ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) )  e.  B  /\  E. e  e.  E  (
( c ( -g `  (Scalar `  A )
) d ) ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  =  ( e ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) ) ) ) )
5951, 56, 58mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  (
( c ( -g `  (Scalar `  A )
) d ) ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  e.  S
)
6035, 59eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  (
( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) ( -g `  A
) ( d ( .s `  A ) ( 1r `  A
) ) )  e.  S )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  /\  ( X  =  ( c
( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  /\  Y  =  ( d
( .s `  A
) ( 1r `  A ) ) ) )  ->  ( (
c ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) ) ( -g `  A
) ( d ( .s `  A ) ( 1r `  A
) ) )  e.  S )
6213, 61eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  /\  ( X  =  ( c
( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  /\  Y  =  ( d
( .s `  A
) ( 1r `  A ) ) ) )  ->  ( X
( -g `  A ) Y )  e.  S
)
6362exp32 605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E )  /\  c  e.  E )  ->  ( X  =  ( c
( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  -> 
( Y  =  ( d ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) )  ->  ( X (
-g `  A ) Y )  e.  S
) ) )
6463rexlimdva 2955 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E
)  ->  ( E. c  e.  E  X  =  ( c ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  ->  ( Y  =  ( d
( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  -> 
( X ( -g `  A ) Y )  e.  S ) ) )
6564com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  d  e.  E
)  ->  ( Y  =  ( d ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  ->  ( E. c  e.  E  X  =  ( c
( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  -> 
( X ( -g `  A ) Y )  e.  S ) ) )
6665rexlimdva 2955 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( E. d  e.  E  Y  =  ( d ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) )  ->  ( E. c  e.  E  X  =  ( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) )  ->  ( X
( -g `  A ) Y )  e.  S
) ) )
6711, 66syld 44 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  S  ->  ( E. c  e.  E  X  =  ( c ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) )  ->  ( X (
-g `  A ) Y )  e.  S
) ) )
6867com12 31 . . . 4  |-  ( Y  e.  S  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( E. c  e.  E  X  =  ( c ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) )  ->  ( X (
-g `  A ) Y )  e.  S
) ) )
6968adantl 466 . . 3  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( E. c  e.  E  X  =  ( c ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  S ) ) )
7069impcom 430 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  S
) )  ->  ( E. c  e.  E  X  =  ( c
( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  -> 
( X ( -g `  A ) Y )  e.  S ) )
719, 70mpd 15 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  S
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   Basecbs 14483  Scalarcsca 14551   .scvsca 14552   0gc0g 14688   Grpcgrp 15720   -gcsg 15723   1rcur 16940   Ringcrg 16983   LModclmod 17292   Mat cmat 18673   ScMat cscmat 18755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-hash 12368  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-hom 14572  df-cco 14573  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-prds 14696  df-pws 14698  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-subrg 17207  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-sra 17598  df-rgmod 17599  df-dsmm 18527  df-frlm 18542  df-mamu 18650  df-mat 18674  df-scmat 18757
This theorem is referenced by:  scmatsgrp  18785  scmatsgrp1  18788
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