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Theorem scmatscmiddistr 19464
Description: Distributive law for scalar and ring multiplication for scalar matrices expressed as multiplications of a scalar with the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscmide.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatscmide.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
scmatscmide.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
scmatscmide.1  |-  .1.  =  ( 1r `  A )
scmatscmide.m  |-  .*  =  ( .s `  A )
scmatscmiddistr.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
scmatscmiddistr.m  |-  .X.  =  ( .r `  A )
Assertion
Ref Expression
scmatscmiddistr  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( S  .*  .1.  )  .X.  ( T  .*  .1.  ) )  =  ( ( S  .x.  T
)  .*  .1.  )
)

Proof of Theorem scmatscmiddistr
Dummy variables  i 
j  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  S  e.  B )
2 scmatscmide.1 . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  A )
3 scmatscmide.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( N Mat  R )
4 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
5 scmatscmide.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( N DMat 
R )  =  ( N DMat  R )
73, 4, 5, 6dmatid 19451 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  ( N DMat 
R ) )
82, 7syl5eqel 2521 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .1.  e.  ( N DMat  R
) )
98adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  .1.  e.  ( N DMat  R ) )
101, 9jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( S  e.  B  /\  .1.  e.  ( N DMat  R
) ) )
11 scmatscmide.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
12 scmatscmide.m . . . . . 6  |-  .*  =  ( .s `  A )
1311, 3, 4, 12, 6dmatscmcl 19459 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  .1.  e.  ( N DMat 
R ) ) )  ->  ( S  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) )
1410, 13syldan 472 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( S  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) )
15 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  T  e.  B )
1615, 9jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( T  e.  B  /\  .1.  e.  ( N DMat  R
) ) )
1711, 3, 4, 12, 6dmatscmcl 19459 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( T  e.  B  /\  .1.  e.  ( N DMat 
R ) ) )  ->  ( T  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) )
1816, 17syldan 472 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( T  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) )
1914, 18jca 534 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( S  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R )  /\  ( T  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) ) )
20 scmatscmiddistr.m . . . . 5  |-  .X.  =  ( .r `  A )
2120oveqi 6318 . . . 4  |-  ( ( S  .*  .1.  )  .X.  ( T  .*  .1.  ) )  =  ( ( S  .*  .1.  ) ( .r `  A ) ( T  .*  .1.  ) )
223, 4, 5, 6dmatmul 19453 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( S  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R )  /\  ( T  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) ) )  ->  (
( S  .*  .1.  ) ( .r `  A ) ( T  .*  .1.  ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( ( i ( S  .*  .1.  ) j ) ( .r `  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) ) ,  .0.  ) ) )
2321, 22syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( S  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R )  /\  ( T  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) ) )  ->  (
( S  .*  .1.  )  .X.  ( T  .*  .1.  ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( ( i ( S  .*  .1.  ) j ) ( .r `  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) ) ,  .0.  ) ) )
2419, 23syldan 472 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( S  .*  .1.  )  .X.  ( T  .*  .1.  ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( ( i ( S  .*  .1.  ) j ) ( .r `  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) ) ,  .0.  ) ) )
25 simpll 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  N  e.  Fin )
26 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  R  e.  Ring )
2725, 26, 13jca 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  S  e.  B ) )
28273ad2ant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  S  e.  B ) )
29 3simpc 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )
303, 11, 5, 2, 12scmatscmide 19463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  S  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( S  .*  .1.  ) j )  =  if ( i  =  j ,  S ,  .0.  ) )
3128, 29, 30syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i ( S  .*  .1.  ) j )  =  if ( i  =  j ,  S ,  .0.  )
)
3225, 26, 153jca 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  T  e.  B ) )
33323ad2ant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  T  e.  B ) )
343, 11, 5, 2, 12scmatscmide 19463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  T  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( T  .*  .1.  ) j )  =  if ( i  =  j ,  T ,  .0.  ) )
3533, 29, 34syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i ( T  .*  .1.  ) j )  =  if ( i  =  j ,  T ,  .0.  )
)
3631, 35oveq12d 6323 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( ( i ( S  .*  .1.  )
j ) ( .r
`  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) )  =  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  )
( .r `  R
) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  ) ) )
3736ifeq1d 3933 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i ( S  .*  .1.  ) j ) ( .r `  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  ) ( .r
`  R ) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  ) ) ,  .0.  ) )
3837mpt2eq3dva 6369 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( ( i ( S  .*  .1.  ) j ) ( .r `  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) ) ,  .0.  ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  )
( .r `  R
) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  ) ) ,  .0.  ) ) )
39 iftrue 3921 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  S ,  .0.  )  =  S )
40 iftrue 3921 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  T ,  .0.  )  =  T )
4139, 40oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  ) ( .r `  R ) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  )
)  =  ( S ( .r `  R
) T ) )
4241adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B )
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  i  =  j )  ->  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  ) ( .r `  R ) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  )
)  =  ( S ( .r `  R
) T ) )
4342ifeq1da 3945 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  j ,  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  ) ( .r `  R ) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  )
) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  ) )
4443mpt2eq3dva 6369 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  )
( .r `  R
) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  ) ) ,  .0.  ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  ) ) )
45 eqidd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) ) )
46 eqeq12 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( i  =  j  <-> 
x  =  y ) )
47 scmatscmiddistr.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4847eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  = 
.x.
4948oveqi 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S ( .r `  R
) T )  =  ( S  .x.  T
)
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( S ( .r
`  R ) T )  =  ( S 
.x.  T ) )
5146, 50ifbieq1d 3938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  )  =  if ( x  =  y ,  ( S  .x.  T ) ,  .0.  ) )
5251adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B )
)  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  ( i  =  x  /\  j  =  y ) )  ->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  )  =  if (
x  =  y ,  ( S  .x.  T
) ,  .0.  )
)
53 simprl 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  x  e.  N )
54 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  y  e.  N )
55 ovex 6333 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
.x.  T )  e. 
_V
56 fvex 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
575, 56eqeltri 2513 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
5855, 57ifex 3983 . . . . . . . . 9  |-  if ( x  =  y ,  ( S  .x.  T
) ,  .0.  )  e.  _V
5958a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  if ( x  =  y ,  ( S  .x.  T ) ,  .0.  )  e.  _V )
6045, 52, 53, 54, 59ovmpt2d 6438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) ) y )  =  if ( x  =  y ,  ( S  .x.  T ) ,  .0.  ) )
6126, 1, 153jca 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B ) )
6211, 47ringcl 17729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( S  .x.  T )  e.  B )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( S  .x.  T )  e.  B )
6425, 26, 633jca 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( S  .x.  T )  e.  B
) )
653, 11, 5, 2, 12scmatscmide 19463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( S  .x.  T )  e.  B )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( x
( ( S  .x.  T )  .*  .1.  ) y )  =  if ( x  =  y ,  ( S 
.x.  T ) ,  .0.  ) )
6664, 65sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
x ( ( S 
.x.  T )  .*  .1.  ) y )  =  if ( x  =  y ,  ( S  .x.  T ) ,  .0.  ) )
6760, 66eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) ) y )  =  ( x ( ( S 
.x.  T )  .*  .1.  ) y ) )
6867ralrimivva 2853 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  ) ) y )  =  ( x ( ( S  .x.  T )  .*  .1.  ) y ) )
69 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7011, 69ringcl 17729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( S ( .r `  R ) T )  e.  B )
7161, 70syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( S ( .r `  R ) T )  e.  B )
7211, 5ring0cl 17737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
7372adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .0.  e.  B )
7473adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  .0.  e.  B )
7571, 74ifcld 3958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  )  e.  B )
76753ad2ant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  )  e.  B
)
773, 11, 4, 25, 26, 76matbas2d 19379 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  A )
)
783matring 19399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
794, 2ringidcl 17736 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  A )
)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .1.  e.  ( Base `  A
) )
8180adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  .1.  e.  ( Base `  A
) )
8263, 81jca 534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( S  .x.  T
)  e.  B  /\  .1.  e.  ( Base `  A
) ) )
8311, 3, 4, 12matvscl 19387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( S  .x.  T )  e.  B  /\  .1.  e.  ( Base `  A ) ) )  ->  ( ( S 
.x.  T )  .*  .1.  )  e.  (
Base `  A )
)
8482, 83syldan 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( S  .x.  T
)  .*  .1.  )  e.  ( Base `  A
) )
853, 4eqmat 19380 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  ) )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( ( S  .x.  T )  .*  .1.  )  e.  (
Base `  A )
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) )  =  ( ( S  .x.  T
)  .*  .1.  )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) ) y )  =  ( x ( ( S 
.x.  T )  .*  .1.  ) y ) ) )
8677, 84, 85syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  ) )  =  ( ( S  .x.  T )  .*  .1.  ) 
<-> 
A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r
`  R ) T ) ,  .0.  )
) y )  =  ( x ( ( S  .x.  T )  .*  .1.  ) y ) ) )
8768, 86mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) )  =  ( ( S  .x.  T
)  .*  .1.  )
)
8844, 87eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  )
( .r `  R
) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  ) ) ,  .0.  ) )  =  ( ( S  .x.  T )  .*  .1.  ) )
8938, 88eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( ( i ( S  .*  .1.  ) j ) ( .r `  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) ) ,  .0.  ) )  =  ( ( S  .x.  T
)  .*  .1.  )
)
9024, 89eqtrd 2470 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( S  .*  .1.  )  .X.  ( T  .*  .1.  ) )  =  ( ( S  .x.  T
)  .*  .1.  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087   ifcif 3915   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   Fincfn 7577   Basecbs 15084   .rcmulr 15153   .scvsca 15156   0gc0g 15297   1rcur 17670   Ringcrg 17715   Mat cmat 19363   DMat cdmat 19444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-mamu 19340  df-mat 19364  df-dmat 19446
This theorem is referenced by:  scmatmulcl  19474  scmatmhm  19490
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