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Theorem scmatscmiddistr 18879
Description: Distributive law for scalar and ring multiplication for scalar matrices expressed as multiplications of a scalar with the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscmide.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatscmide.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
scmatscmide.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
scmatscmide.1  |-  .1.  =  ( 1r `  A )
scmatscmide.m  |-  .*  =  ( .s `  A )
scmatscmiddistr.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
scmatscmiddistr.m  |-  .X.  =  ( .r `  A )
Assertion
Ref Expression
scmatscmiddistr  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( S  .*  .1.  )  .X.  ( T  .*  .1.  ) )  =  ( ( S  .x.  T
)  .*  .1.  )
)

Proof of Theorem scmatscmiddistr
Dummy variables  i 
j  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  S  e.  B )
2 scmatscmide.1 . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  A )
3 scmatscmide.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( N Mat  R )
4 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
5 scmatscmide.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( N DMat 
R )  =  ( N DMat  R )
73, 4, 5, 6dmatid 18866 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  ( N DMat 
R ) )
82, 7syl5eqel 2559 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .1.  e.  ( N DMat  R
) )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  .1.  e.  ( N DMat  R ) )
101, 9jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( S  e.  B  /\  .1.  e.  ( N DMat  R
) ) )
11 scmatscmide.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
12 scmatscmide.m . . . . . 6  |-  .*  =  ( .s `  A )
1311, 3, 4, 12, 6dmatscmcl 18874 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  .1.  e.  ( N DMat 
R ) ) )  ->  ( S  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) )
1410, 13syldan 470 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( S  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) )
15 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  T  e.  B )
1615, 9jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( T  e.  B  /\  .1.  e.  ( N DMat  R
) ) )
1711, 3, 4, 12, 6dmatscmcl 18874 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( T  e.  B  /\  .1.  e.  ( N DMat 
R ) ) )  ->  ( T  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) )
1816, 17syldan 470 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( T  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) )
1914, 18jca 532 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( S  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R )  /\  ( T  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) ) )
20 scmatscmiddistr.m . . . . . 6  |-  .X.  =  ( .r `  A )
2120oveqi 6308 . . . . 5  |-  ( ( S  .*  .1.  )  .X.  ( T  .*  .1.  ) )  =  ( ( S  .*  .1.  ) ( .r `  A ) ( T  .*  .1.  ) )
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( S  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R )  /\  ( T  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) ) )  ->  (
( S  .*  .1.  )  .X.  ( T  .*  .1.  ) )  =  ( ( S  .*  .1.  ) ( .r `  A ) ( T  .*  .1.  ) ) )
233, 4, 5, 6dmatmul 18868 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( S  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R )  /\  ( T  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) ) )  ->  (
( S  .*  .1.  ) ( .r `  A ) ( T  .*  .1.  ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( ( i ( S  .*  .1.  ) j ) ( .r `  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) ) ,  .0.  ) ) )
2422, 23eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( S  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R )  /\  ( T  .*  .1.  )  e.  ( N DMat  R ) ) )  ->  (
( S  .*  .1.  )  .X.  ( T  .*  .1.  ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( ( i ( S  .*  .1.  ) j ) ( .r `  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) ) ,  .0.  ) ) )
2519, 24syldan 470 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( S  .*  .1.  )  .X.  ( T  .*  .1.  ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( ( i ( S  .*  .1.  ) j ) ( .r `  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) ) ,  .0.  ) ) )
26 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  N  e.  Fin )
27 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  R  e.  Ring )
2826, 27, 13jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  S  e.  B ) )
29283ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  S  e.  B ) )
30 3simpc 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )
313, 11, 5, 2, 12scmatscmide 18878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  S  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( S  .*  .1.  ) j )  =  if ( i  =  j ,  S ,  .0.  ) )
3229, 30, 31syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i ( S  .*  .1.  ) j )  =  if ( i  =  j ,  S ,  .0.  )
)
3326, 27, 153jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  T  e.  B ) )
34333ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  T  e.  B ) )
353, 11, 5, 2, 12scmatscmide 18878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  T  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( T  .*  .1.  ) j )  =  if ( i  =  j ,  T ,  .0.  ) )
3634, 30, 35syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i ( T  .*  .1.  ) j )  =  if ( i  =  j ,  T ,  .0.  )
)
3732, 36oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( ( i ( S  .*  .1.  )
j ) ( .r
`  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) )  =  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  )
( .r `  R
) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  ) ) )
3837ifeq1d 3963 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i ( S  .*  .1.  ) j ) ( .r `  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  ) ( .r
`  R ) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  ) ) ,  .0.  ) )
3938mpt2eq3dva 6356 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( ( i ( S  .*  .1.  ) j ) ( .r `  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) ) ,  .0.  ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  )
( .r `  R
) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  ) ) ,  .0.  ) ) )
40 iftrue 3951 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  S ,  .0.  )  =  S )
41 iftrue 3951 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  T ,  .0.  )  =  T )
4240, 41oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  ) ( .r `  R ) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  )
)  =  ( S ( .r `  R
) T ) )
4342adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B )
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  i  =  j )  ->  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  ) ( .r `  R ) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  )
)  =  ( S ( .r `  R
) T ) )
4443ifeq1da 3975 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  j ,  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  ) ( .r `  R ) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  )
) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  ) )
4544mpt2eq3dva 6356 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  )
( .r `  R
) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  ) ) ,  .0.  ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  ) ) )
46 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) ) )
47 eqeq12 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( i  =  j  <-> 
x  =  y ) )
48 scmatscmiddistr.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4948eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  = 
.x.
5049oveqi 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S ( .r `  R
) T )  =  ( S  .x.  T
)
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( S ( .r
`  R ) T )  =  ( S 
.x.  T ) )
5247, 51ifbieq1d 3968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  )  =  if ( x  =  y ,  ( S  .x.  T ) ,  .0.  ) )
5352adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B )
)  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  ( i  =  x  /\  j  =  y ) )  ->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  )  =  if (
x  =  y ,  ( S  .x.  T
) ,  .0.  )
)
54 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  x  e.  N )
55 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  y  e.  N )
56 ovex 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
.x.  T )  e. 
_V
57 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
585, 57eqeltri 2551 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
5956, 58ifex 4014 . . . . . . . . 9  |-  if ( x  =  y ,  ( S  .x.  T
) ,  .0.  )  e.  _V
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  if ( x  =  y ,  ( S  .x.  T ) ,  .0.  )  e.  _V )
6146, 53, 54, 55, 60ovmpt2d 6425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) ) y )  =  if ( x  =  y ,  ( S  .x.  T ) ,  .0.  ) )
6227, 1, 153jca 1176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B ) )
6311, 48ringcl 17084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( S  .x.  T )  e.  B )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( S  .x.  T )  e.  B )
6526, 27, 643jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( S  .x.  T )  e.  B
) )
663, 11, 5, 2, 12scmatscmide 18878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( S  .x.  T )  e.  B )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( x
( ( S  .x.  T )  .*  .1.  ) y )  =  if ( x  =  y ,  ( S 
.x.  T ) ,  .0.  ) )
6765, 66sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
x ( ( S 
.x.  T )  .*  .1.  ) y )  =  if ( x  =  y ,  ( S  .x.  T ) ,  .0.  ) )
6861, 67eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) ) y )  =  ( x ( ( S 
.x.  T )  .*  .1.  ) y ) )
6968ralrimivva 2888 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  ) ) y )  =  ( x ( ( S  .x.  T )  .*  .1.  ) y ) )
70 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7111, 70ringcl 17084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( S ( .r `  R ) T )  e.  B )
7262, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  ( S ( .r `  R ) T )  e.  B )
7311, 5ring0cl 17092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
7473adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .0.  e.  B )
7574adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  .0.  e.  B )
7672, 75ifcld 3988 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  )  e.  B )
77763ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  )  e.  B
)
783, 11, 4, 26, 27, 77matbas2d 18794 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  A )
)
793matring 18814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
804, 2ringidcl 17091 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  A )
)
8179, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .1.  e.  ( Base `  A
) )
8281adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  .1.  e.  ( Base `  A
) )
8364, 82jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( S  .x.  T
)  e.  B  /\  .1.  e.  ( Base `  A
) ) )
8411, 3, 4, 12matvscl 18802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( S  .x.  T )  e.  B  /\  .1.  e.  ( Base `  A ) ) )  ->  ( ( S 
.x.  T )  .*  .1.  )  e.  (
Base `  A )
)
8583, 84syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( S  .x.  T
)  .*  .1.  )  e.  ( Base `  A
) )
863, 4eqmat 18795 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  ) )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( ( S  .x.  T )  .*  .1.  )  e.  (
Base `  A )
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) )  =  ( ( S  .x.  T
)  .*  .1.  )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) ) y )  =  ( x ( ( S 
.x.  T )  .*  .1.  ) y ) ) )
8778, 85, 86syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R
) T ) ,  .0.  ) )  =  ( ( S  .x.  T )  .*  .1.  ) 
<-> 
A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r
`  R ) T ) ,  .0.  )
) y )  =  ( x ( ( S  .x.  T )  .*  .1.  ) y ) ) )
8869, 87mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( S ( .r `  R ) T ) ,  .0.  ) )  =  ( ( S  .x.  T
)  .*  .1.  )
)
8945, 88eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( if ( i  =  j ,  S ,  .0.  )
( .r `  R
) if ( i  =  j ,  T ,  .0.  ) ) ,  .0.  ) )  =  ( ( S  .x.  T )  .*  .1.  ) )
9039, 89eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( ( i ( S  .*  .1.  ) j ) ( .r `  R ) ( i ( T  .*  .1.  ) j ) ) ,  .0.  ) )  =  ( ( S  .x.  T
)  .*  .1.  )
)
9125, 90eqtrd 2508 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( S  e.  B  /\  T  e.  B
) )  ->  (
( S  .*  .1.  )  .X.  ( T  .*  .1.  ) )  =  ( ( S  .x.  T
)  .*  .1.  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   ifcif 3945   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Fincfn 7528   Basecbs 14507   .rcmulr 14573   .scvsca 14576   0gc0g 14712   1rcur 17025   Ringcrg 17070   Mat cmat 18778   DMat cdmat 18859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mamu 18755  df-mat 18779  df-dmat 18861
This theorem is referenced by:  scmatmulcl  18889  scmatmhm  18905
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