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Theorem scmatmulcl 30909
Description: The product of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
scmatid.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
scmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
scmatid.d  |-  D  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }
Assertion
Ref Expression
scmatmulcl  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  e.  D )
Distinct variable groups:    A, c,
i, j, m    B, m    E, c, m    N, c, i, j, m    R, c, i, j    .0. , m    B, c, i, j    D, c, i, j    i, E, j    X, c, m, i, j    Y, c, m, i, j    .0. , c    R, m    .0. , i, j
Allowed substitution hint:    D( m)

Proof of Theorem scmatmulcl
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
2 scmatid.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 scmatid.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 scmatid.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( Base `  R
)
5 scmatid.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6 scmatid.d . . . . . . 7  |-  D  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }
7 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i m j )  =  .0.  ) }  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i m j )  =  .0.  ) }
82, 3, 4, 5, 6, 7scmatdmat 30906 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  ( X  e.  D  ->  X  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } ) )
98ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  X  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i m j )  =  .0.  ) } ) )
109adantrd 468 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  X  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } ) )
1110imp 429 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } )
122, 3, 4, 5, 6, 7scmatdmat 30906 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } ) )
1312ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i m j )  =  .0.  ) } ) )
1413adantld 467 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  Y  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } ) )
1514imp 429 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } )
162, 3, 5, 7dmatmul 30899 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  {
m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  /\  Y  e.  {
m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } ) )  -> 
( X ( .r
`  A ) Y )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )
) )
171, 11, 15, 16syl12anc 1216 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
18 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  N  e.  Fin )
19 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Ring )
20193ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
21 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  x  e.  N )
22 simp3 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
23 elrabi 3133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  ->  X  e.  B )
2423, 6eleq2s 2535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  D  ->  X  e.  B )
2524, 3syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  D  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
28273ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
292, 4matecl 18345 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N  /\  y  e.  N  /\  X  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x X y )  e.  E )
3021, 22, 28, 29syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x X y )  e.  E )
31 elrabi 3133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  ->  Y  e.  B )
3231, 6eleq2s 2535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  B )
3332, 3syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
3534adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
36353ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
372, 4matecl 18345 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N  /\  y  e.  N  /\  Y  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x Y y )  e.  E )
3821, 22, 36, 37syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x Y y )  e.  E )
39 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
404, 39rngcl 16677 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x X y )  e.  E  /\  (
x Y y )  e.  E )  -> 
( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  E )
4120, 30, 38, 40syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  E )
424, 5rng0cl 16685 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  E )
4342adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .0.  e.  E )
4443adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  .0.  e.  E )
45443ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  .0.  e.  E )
4641, 45ifcld 3851 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  e.  E
)
472, 4, 3, 18, 19, 46matbas2d 18343 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
48 oveq 6116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  X  ->  (
i m j )  =  ( i X j ) )
4948eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  X  ->  (
( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
5049ralbidv 2754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  X  ->  ( A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
5150ralbidv 2754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  X  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
5251rexbidv 2755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  X  ->  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
5352elrab 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  <->  ( X  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
5453biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  ->  ( X  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
5554, 6eleq2s 2535 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  D  ->  ( X  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
56 oveq 6116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  Y  ->  (
i m j )  =  ( i Y j ) )
5756eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  Y  ->  (
( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
5857ralbidv 2754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  Y  ->  ( A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
5958ralbidv 2754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  Y  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
6059rexbidv 2755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  Y  ->  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
6160elrab 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  <->  ( Y  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
6261biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  ->  ( Y  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
6362, 6eleq2s 2535 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  D  ->  ( Y  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
6455, 63anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( X  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )
) ) )
65 ifeq1 3814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  a  ->  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  a ,  .0.  )
)
6665eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  a  ->  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) ) )
6766ralbidv 2754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  a  ->  ( A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) ) )
6867ralbidv 2754 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  a  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) ) )
6968cbvrexv 2967 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. a  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )
7069anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )  <-> 
( X  e.  B  /\  E. a  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )
) )
71 ifeq1 3814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  b ,  .0.  )
)
7271eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  (
( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) ) )
7372ralbidv 2754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  ( A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) ) )
7473ralbidv 2754 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) ) )
7574cbvrexv 2967 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )
7675anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )  <-> 
( Y  e.  B  /\  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) )
77 r19.26-2 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
)  <->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) ) )
78 iftrue 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  =  a )
7978eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( i  =  j  ->  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  <->  ( i X j )  =  a ) )
80 iftrue 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )  =  b )
8180eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( i  =  j  ->  (
( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )  <->  ( i Y j )  =  b ) )
8279, 81anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  <->  ( (
i X j )  =  a  /\  (
i Y j )  =  b ) ) )
83 oveq12 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( i X j )  =  a  /\  ( i Y j )  =  b )  ->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) )  =  ( a ( .r `  R ) b ) )
84 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  ->  (
a ( .r `  R ) b )  =  c )
8584adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( .r `  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  (
a ( .r `  R ) b )  =  c )
8683, 85sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( i X j )  =  a  /\  ( i Y j )  =  b )  /\  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) )  =  c )
8786ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( i X j )  =  a  /\  ( i Y j )  =  b )  ->  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) )  =  c ) )
8882, 87syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  (
( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( .r `  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) )  =  c ) ) )
8988com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( .r `  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) )  =  c ) ) )
9089imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( i  =  j  /\  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  /\  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) ) )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) )  =  c )
9190ifeq1d 3826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( i  =  j  /\  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  /\  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) ) )  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
)
92 iffalse 3818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( -.  i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( -.  i  =  j  /\  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  /\  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) ) )  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
94 iffalse 3818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  =  .0.  )
9594eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( -.  i  =  j  ->  .0.  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( -.  i  =  j  /\  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  /\  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) ) )  ->  .0.  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
9793, 96eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( -.  i  =  j  /\  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  /\  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) ) )  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
)
9891, 97pm2.61ian 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( .r `  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N
)  /\  j  e.  N )  /\  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) )  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
)
9998ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  /\  ( c  e.  E  /\  (
a ( .r `  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) )
10099ralimdva 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. j  e.  N  ( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
101100ralimdva 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  ( c  e.  E  /\  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
)  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
102101impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) )  ->  (
( c  e.  E  /\  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) )
103102imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) )  /\  (
c  e.  E  /\  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
104 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  (
a ( .r `  R ) b )  =  ( a ( .r `  R ) b ) )
105 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  R  e.  Ring )
106 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  a  e.  E )
107 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  b  e.  E )
1084, 39rngcl 16677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  E  /\  b  e.  E )  ->  (
a ( .r `  R ) b )  e.  E )
109105, 106, 107, 108syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  (
a ( .r `  R ) b )  e.  E )
110 eqeq2 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  ( a ( .r `  R ) b )  ->  (
( a ( .r
`  R ) b )  =  c  <->  ( a
( .r `  R
) b )  =  ( a ( .r
`  R ) b ) ) )
111110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) ) )  /\  c  =  ( a
( .r `  R
) b ) )  ->  ( ( a ( .r `  R
) b )  =  c  <->  ( a ( .r `  R ) b )  =  ( a ( .r `  R ) b ) ) )
112109, 111rspcedv 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  (
( a ( .r
`  R ) b )  =  ( a ( .r `  R
) b )  ->  E. c  e.  E  ( a ( .r
`  R ) b )  =  c ) )
113104, 112mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
) )  ->  E. c  e.  E  ( a
( .r `  R
) b )  =  c )
114113expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  ( a
( .r `  R
) b )  =  c ) )
115114adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  ( a
( .r `  R
) b )  =  c ) )
116115imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )
)  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)  ->  E. c  e.  E  ( a
( .r `  R
) b )  =  c )
117116adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) )  ->  E. c  e.  E  ( a
( .r `  R
) b )  =  c )
118103, 117reximddv 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E
) )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )
) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
119118exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) ) ) )
120119com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E
)  /\  ( Y  e.  B  /\  b  e.  E ) )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) ) ) )
121120ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
122121com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
123122com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )  ->  (
( X  e.  D  /\  Y  e.  D
)  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
12477, 123syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  ->  ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )  ->  (
( X  e.  D  /\  Y  e.  D
)  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
125124expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )  ->  (
( Y  e.  B  /\  b  e.  E
)  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
1261253impia 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )  ->  (
( Y  e.  B  /\  b  e.  E
)  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) ) ) ) )
127126com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  B  /\  b  e.  E )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )  ->  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) ) ) ) )
1281273impia 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  B  /\  b  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) ) ) )
129128rexlimdv3a 2862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  B  ->  ( E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  )  ->  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) ) ) ) )
130129imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  B  /\  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) ) ) )
131130com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  a  e.  E  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  ) )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) ) ) )
132131rexlimdv3a 2862 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  ( E. a  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) ) ) ) )
133132imp31 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  E. a  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  a ,  .0.  )
)  /\  ( Y  e.  B  /\  E. b  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  b ,  .0.  ) ) )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) ) )
13470, 76, 133syl2anb 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )
)  /\  ( Y  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i Y j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )  ->  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) ) )
13564, 134mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
136135impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
137 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
138 eqeq12 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x  =  y  <-> 
i  =  j ) )
139 oveq12 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x X y )  =  ( i X j ) )
140 oveq12 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x Y y )  =  ( i Y j ) )
141139, 140oveq12d 6128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  =  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( i Y j ) ) )
142138, 141ifbieq1d 3831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  ) )
143142adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( x  =  i  /\  y  =  j
) )  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )
)
144 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  i  e.  N )
145 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  j  e.  N )
146 ovex 6135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( i Y j ) )  e. 
_V
147 fvex 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1485, 147eqeltri 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
149146, 148ifex 3877 . . . . . . . . . 10  |-  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  e.  _V
150149a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  e.  _V )
151137, 143, 144, 145, 150ovmpt2d 6237 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  ) )
152151eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )
) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
1531522ralbidva 2774 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )
) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
154153rexbidv 2755 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )
) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
155136, 154mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )
)
156 oveq 6116 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( i m j )  =  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j ) )
157156eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( i
( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )
) )
158157ralbidv 2754 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. j  e.  N  ( i
( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )
) )
159158ralbidv 2754 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )
) )
160159rexbidv 2755 . . . . 5  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )
) )
161160elrab 3136 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  {
m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) } 
<->  ( ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
16247, 155, 161sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  {
m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) } )
163162, 6syl6eleqr 2534 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  D
)
16417, 163eqeltrd 2517 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2734   E.wrex 2735   {crab 2738   _Vcvv 2991   ifcif 3810   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112   Fincfn 7329   Basecbs 14193   .rcmulr 14258   0gc0g 14397   Ringcrg 16664   Mat cmat 18299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-ot 3905  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-seq 11826  df-hash 12123  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-hom 14281  df-cco 14282  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-prds 14405  df-pws 14407  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-mulg 15567  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-abl 16299  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-sra 17272  df-rgmod 17273  df-dsmm 18176  df-frlm 18191  df-mamu 18300  df-mat 18301
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