MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatmats Structured version   Unicode version

Theorem scmatmats 19183
Description: The set of an  N x  N scalar matrices over the ring  R expressed as a subset of  N x  N matrices over the ring  R with certain properties for their entries. (Contributed by AV, 31-Oct-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatmat.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatmat.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
scmatmat.s  |-  S  =  ( N ScMat  R )
scmate.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
scmate.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
scmatmats  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  K  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) } )
Distinct variable groups:    N, c    R, c    K, c    S, c    A, i, j    B, c, i, j, m    i, K, j    i, N, j, m    R, i, j, m
Allowed substitution hints:    A( m, c)    S( i, j, m)    K( m)    .0. ( i, j, m, c)

Proof of Theorem scmatmats
StepHypRef Expression
1 scmate.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
2 scmatmat.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 scmatmat.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 eqid 2454 . . 3  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
5 eqid 2454 . . 3  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
6 scmatmat.s . . 3  |-  S  =  ( N ScMat  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatval 19176 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  K  m  =  ( c ( .s `  A ) ( 1r `  A
) ) } )
8 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B
)  ->  m  e.  B )
98adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  ->  m  e.  B )
10 simpll 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
112matring 19115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
123, 4ringidcl 17417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  B )
1413adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B
)  ->  ( 1r `  A )  e.  B
)
1514anim1i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  ->  (
( 1r `  A
)  e.  B  /\  c  e.  K )
)
1615ancomd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  ->  (
c  e.  K  /\  ( 1r `  A )  e.  B ) )
171, 2, 3, 5matvscl 19103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( c  e.  K  /\  ( 1r `  A
)  e.  B ) )  ->  ( c
( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  e.  B )
1810, 16, 17syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  ->  (
c ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) )  e.  B )
192, 3eqmat 19096 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  B  /\  ( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) )  e.  B )  ->  ( m  =  ( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  ( i ( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) j ) ) )
209, 18, 19syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  ->  (
m  =  ( c ( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  ( i ( c ( .s `  A
) ( 1r `  A ) ) j ) ) )
21 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  ->  N  e.  Fin )
22 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  ->  R  e.  Ring )
23 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  ->  c  e.  K )
2421, 22, 233jca 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K ) )
25 scmate.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
262, 1, 25, 4, 5scmatscmide 19179 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
2724, 26sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
2827eqeq2d 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
i m j )  =  ( i ( c ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) ) j )  <->  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
29282ralbidva 2896 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  ( i ( c ( .s
`  A ) ( 1r `  A ) ) j )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
3020, 29bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  K )  ->  (
m  =  ( c ( .s `  A
) ( 1r `  A ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
3130rexbidva 2962 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B
)  ->  ( E. c  e.  K  m  =  ( c ( .s `  A ) ( 1r `  A
) )  <->  E. c  e.  K  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
3231rabbidva 3097 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  { m  e.  B  |  E. c  e.  K  m  =  ( c
( .s `  A
) ( 1r `  A ) ) }  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  K  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) } )
337, 32eqtrd 2495 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  K  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   ifcif 3929   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   Basecbs 14719   .scvsca 14791   0gc0g 14932   1rcur 17351   Ringcrg 17396   Mat cmat 19079   ScMat cscmat 19161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-hom 14811  df-cco 14812  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-prds 14940  df-pws 14942  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-ghm 16467  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-subrg 17625  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-sra 18016  df-rgmod 18017  df-dsmm 18939  df-frlm 18954  df-mamu 19056  df-mat 19080  df-scmat 19163
This theorem is referenced by:  scmateALT  19184  scmatdmat  19187
  Copyright terms: Public domain W3C validator