MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatlss Structured version   Unicode version

Theorem scmatlss 19194
Description: The set of scalar matrices is a linear subspace of the matrix algebra. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatlss.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatlss.s  |-  S  =  ( N ScMat  R )
Assertion
Ref Expression
scmatlss  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  e.  ( LSubSp `  A ) )

Proof of Theorem scmatlss
Dummy variables  a  x  y  m  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatlss.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
21matsca2 19089 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  =  (Scalar `  A
) )
3 eqidd 2455 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  R )  =  ( Base `  R
) )
4 eqidd 2455 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  A )  =  ( Base `  A
) )
5 eqidd 2455 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( +g  `  A )  =  ( +g  `  A
) )
6 eqidd 2455 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( .s `  A
)  =  ( .s
`  A ) )
7 eqidd 2455 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( LSubSp `  A )  =  ( LSubSp `  A
) )
8 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
9 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
10 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
11 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
12 scmatlss.s . . . 4  |-  S  =  ( N ScMat  R )
138, 1, 9, 10, 11, 12scmatval 19173 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  =  { m  e.  ( Base `  A
)  |  E. c  e.  ( Base `  R
) m  =  ( c ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) ) } )
14 ssrab2 3571 . . 3  |-  { m  e.  ( Base `  A
)  |  E. c  e.  ( Base `  R
) m  =  ( c ( .s `  A ) ( 1r
`  A ) ) }  C_  ( Base `  A )
1513, 14syl6eqss 3539 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  C_  ( Base `  A
) )
16 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
171, 9, 8, 16, 12scmatid 19183 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  S )
18 ne0i 3789 . . 3  |-  ( ( 1r `  A )  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  =/=  (/) )
208, 1, 12, 11smatvscl 19193 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
a ( .s `  A ) x )  e.  S )
21203adantr3 1155 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
a ( .s `  A ) x )  e.  S )
22 simpr3 1002 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  y  e.  S )
2321, 22jca 530 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( a ( .s
`  A ) x )  e.  S  /\  y  e.  S )
)
241, 9, 8, 16, 12scmataddcl 19185 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( a ( .s `  A ) x )  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( a ( .s
`  A ) x ) ( +g  `  A
) y )  e.  S )
2523, 24syldan 468 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( a ( .s
`  A ) x ) ( +g  `  A
) y )  e.  S )
262, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 19, 25islssd 17777 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  e.  ( LSubSp `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805   {crab 2808   (/)c0 3783   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   .scvsca 14788   0gc0g 14929   1rcur 17348   Ringcrg 17393   LSubSpclss 17773   Mat cmat 19076   ScMat cscmat 19158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-subrg 17622  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-dsmm 18936  df-frlm 18951  df-mamu 19053  df-mat 19077  df-scmat 19160
This theorem is referenced by:  scmatghm  19202
  Copyright terms: Public domain W3C validator