Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  scmatid Structured version   Unicode version

Theorem scmatid 31038
Description: The identity matrix is a scalar matrix (i.e. a diagonal matrix with identical diagonal entries). (Contributed by AV, 20-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
scmatid.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
scmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
scmatid.d  |-  D  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }
Assertion
Ref Expression
scmatid  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  D )
Distinct variable groups:    A, c,
i, j, m    B, m    E, c, m    N, c, i, j, m    R, c, i, j    .0. , m
Allowed substitution hints:    B( i, j, c)    D( i, j, m, c)    R( m)    E( i,
j)    .0. ( i, j, c)

Proof of Theorem scmatid
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
21matrng 18442 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
3 scmatid.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 eqid 2451 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
53, 4rngidcl 16773 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
62, 5syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  B )
7 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
8 scmatid.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( Base `  R
)
98, 7rngidcl 16773 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  E )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  R
)  e.  E )
11 eqeq2 2466 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( 1r `  R )  ->  (
( 1r `  R
)  =  c  <->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  R ) ) )
1211adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  c  =  ( 1r `  R ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  =  c  <->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  R ) ) )
1310, 12rspcedv 3175 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( 1r `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  E. c  e.  E  ( 1r `  R )  =  c ) )
147, 13mpi 17 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  ( 1r `  R )  =  c )
15 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( 1r `  R )  =  c  ->  ( 1r `  R )  =  c )
1615ralrimivw 2823 . . . . . 6  |-  ( ( 1r `  R )  =  c  ->  A. j  e.  N  ( 1r `  R )  =  c )
1716ralrimivw 2823 . . . . 5  |-  ( ( 1r `  R )  =  c  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( 1r `  R )  =  c )
1817reximi 2921 . . . 4  |-  ( E. c  e.  E  ( 1r `  R )  =  c  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( 1r `  R )  =  c )
19 ifeq1 3895 . . . . . . 7  |-  ( ( 1r `  R )  =  c  ->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
)
2019ralimi 2811 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  N  ( 1r `  R )  =  c  ->  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
2120ralimi 2811 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( 1r `  R )  =  c  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
2221reximi 2921 . . . 4  |-  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( 1r `  R )  =  c  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if (
i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) )
2314, 18, 223syl 20 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
)
24 scmatid.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
25 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
2625adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  N  e.  Fin )
27 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
2827adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
29 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
3029adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  i  e.  N )
31 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
3231adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  j  e.  N )
331, 7, 24, 26, 28, 30, 32, 4mat1ov 18448 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( 1r `  A ) j )  =  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) )
3433eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
( i ( 1r
`  A ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) )
35342ralbidva 2864 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( 1r `  A ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) 
<-> 
A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) )
3635rexbidv 2848 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( 1r `  A ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) 
<->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  )  =  if (
i  =  j ,  c ,  .0.  )
) )
3723, 36mpbird 232 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( 1r
`  A ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )
)
38 oveq 6198 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( 1r `  A )  ->  (
i m j )  =  ( i ( 1r `  A ) j ) )
3938eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( m  =  ( 1r `  A )  ->  (
( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  ( i ( 1r `  A ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
40392ralbidv 2866 . . . 4  |-  ( m  =  ( 1r `  A )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i ( 1r `  A ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
4140rexbidv 2848 . . 3  |-  ( m  =  ( 1r `  A )  ->  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  <->  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i ( 1r `  A ) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
42 scmatid.d . . 3  |-  D  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }
4341, 42elrab2 3218 . 2  |-  ( ( 1r `  A )  e.  D  <->  ( ( 1r `  A )  e.  B  /\  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( 1r `  A
) j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) ) )
446, 37, 43sylanbrc 664 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   ifcif 3891   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Fincfn 7412   Basecbs 14278   0gc0g 14482   1rcur 16710   Ringcrg 16753   Mat cmat 18391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-ot 3986  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-hash 12207  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-hom 14366  df-cco 14367  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-prds 14490  df-pws 14492  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-mulg 15652  df-subg 15782  df-ghm 15849  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-subrg 16971  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-sra 17361  df-rgmod 17362  df-dsmm 18268  df-frlm 18283  df-mamu 18392  df-mat 18393
This theorem is referenced by:  scmatsgrp  31041  scmatsrng  31043  scmatsgrp1  31045  scmatsrng1  31046
  Copyright terms: Public domain W3C validator