Theorem scmatf1 19556

Description: There is a 1-1 function from a ring to any ring of scalar matrices with positive dimension over this ring. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	|- K = ( Base ` R )
scmatrhmval.a	|- A = ( N Mat R )
scmatrhmval.o	|- .1. = ( 1r ` A )
scmatrhmval.t	|- .* = ( .s ` A )
scmatrhmval.f	|- F = ( x e. K |-> ( x .* .1. ) )
scmatrhmval.c	|- C = ( N ScMat R )

Assertion

Ref	Expression
scmatf1	|- ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) -> F : K -1-1-> C )

Distinct variable groups:   x, K   x, R   x, .1.   x, .*   x, C   x, N

Allowed substitution hints:   A( x)   F( x)

Proof of Theorem scmatf1

Dummy variables y z i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
2		scmatrhmval.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
3		scmatrhmval.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` A )
4		scmatrhmval.t	. . . 4 |- .* = ( .s ` A )
5		scmatrhmval.f	. . . 4 |- F = ( x e. K |-> ( x .* .1. ) )
6		scmatrhmval.c	. . . 4 |- C = ( N ScMat R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatf 19554	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> F : K --> C )
8	7	3adant2 1027	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) -> F : K --> C )
9		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> R e. Ring )
10		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( y e. K /\ z e. K ) -> y e. K )
11	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 19552	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ y e. K ) -> ( F ` y ) = ( y .* .1. ) )
12	9, 10, 11	syl2an 480	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( F ` y ) = ( y .* .1. ) )
13		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( y e. K /\ z e. K ) -> z e. K )
14	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 19552	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ z e. K ) -> ( F ` z ) = ( z .* .1. ) )
15	9, 13, 14	syl2an 480	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( F ` z ) = ( z .* .1. ) )
16	12, 15	eqeq12d 2466	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> ( y .* .1. ) = ( z .* .1. ) ) )
17	16	3adantl2 1165	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> ( y .* .1. ) = ( z .* .1. ) ) )
18	2	matring 19468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
19		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
20	19, 3	ringidcl 17801	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Ring -> .1. e. ( Base ` A ) )
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .1. e. ( Base ` A ) )
22	21, 10	anim12ci 571	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( y e. K /\ .1. e. ( Base ` A ) ) )
23	1, 2, 19, 4	matvscl 19456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ .1. e. ( Base ` A ) ) ) -> ( y .* .1. ) e. ( Base ` A ) )
24	22, 23	syldan 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( y .* .1. ) e. ( Base ` A ) )
25	21, 13	anim12ci 571	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( z e. K /\ .1. e. ( Base ` A ) ) )
26	1, 2, 19, 4	matvscl 19456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( z e. K /\ .1. e. ( Base ` A ) ) ) -> ( z .* .1. ) e. ( Base ` A ) )
27	25, 26	syldan 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( z .* .1. ) e. ( Base ` A ) )
28	24, 27	jca 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( y .* .1. ) e. ( Base ` A ) /\ ( z .* .1. ) e. ( Base ` A ) ) )
29	28	3adantl2 1165	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( y .* .1. ) e. ( Base ` A ) /\ ( z .* .1. ) e. ( Base ` A ) ) )
30	2, 19	eqmat 19449	. . . . . 6 |- ( ( ( y .* .1. ) e. ( Base ` A ) /\ ( z .* .1. ) e. ( Base ` A ) ) -> ( ( y .* .1. ) = ( z .* .1. ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( y .* .1. ) = ( z .* .1. ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) ) )
32		difsnid 4118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. N -> ( ( N \ { i } ) u. { i } ) = N )
33	32	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. N -> N = ( ( N \ { i } ) u. { i } ) )
34	33	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> N = ( ( N \ { i } ) u. { i } ) )
35	34	raleqdv 2993	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> A. j e. ( ( N \ { i } ) u. { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) ) )
36		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = i -> ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( y .* .1. ) i ) )
37		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = i -> ( i ( z .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) i ) )
38	36, 37	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = i -> ( ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> ( i ( y .* .1. ) i ) = ( i ( z .* .1. ) i ) ) )
39	38	ralunsn 4186	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. N -> ( A. j e. ( ( N \ { i } ) u. { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ ( i ( y .* .1. ) i ) = ( i ( z .* .1. ) i ) ) ) )
40	39	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( A. j e. ( ( N \ { i } ) u. { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ ( i ( y .* .1. ) i ) = ( i ( z .* .1. ) i ) ) ) )
41	10	anim2i 573	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ y e. K ) )
42		df-3an 987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. K ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ y e. K ) )
43	41, 42	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. K ) )
44		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. N -> i e. N )
45	44, 44	jca 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. N -> ( i e. N /\ i e. N ) )
46		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
47	2, 1, 46, 3, 4	scmatscmide 19532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. K ) /\ ( i e. N /\ i e. N ) ) -> ( i ( y .* .1. ) i ) = if ( i = i , y , ( 0g ` R ) ) )
48	43, 45, 47	syl2an 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( i ( y .* .1. ) i ) = if ( i = i , y , ( 0g ` R ) ) )
49		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- i = i
50	49	iftruei 3888	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( i = i , y , ( 0g ` R ) ) = y
51	48, 50	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( i ( y .* .1. ) i ) = y )
52	13	anim2i 573	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ z e. K ) )
53		df-3an 987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ z e. K ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ z e. K ) )
54	52, 53	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ z e. K ) )
55	2, 1, 46, 3, 4	scmatscmide 19532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ z e. K ) /\ ( i e. N /\ i e. N ) ) -> ( i ( z .* .1. ) i ) = if ( i = i , z , ( 0g ` R ) ) )
56	54, 45, 55	syl2an 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( i ( z .* .1. ) i ) = if ( i = i , z , ( 0g ` R ) ) )
57	49	iftruei 3888	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( i = i , z , ( 0g ` R ) ) = z
58	56, 57	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( i ( z .* .1. ) i ) = z )
59	51, 58	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( ( i ( y .* .1. ) i ) = ( i ( z .* .1. ) i ) <-> y = z ) )
60	59	anbi2d 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ ( i ( y .* .1. ) i ) = ( i ( z .* .1. ) i ) ) <-> ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) ) )
61	35, 40, 60	3bitrd 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) ) )
62	61	ralbidva 2824	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> A. i e. N ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) ) )
63	62	3adantl2 1165	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> A. i e. N ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) ) )
64		r19.26 2917	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. N ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) <-> ( A. i e. N A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ A. i e. N y = z ) )
65		rspn0 3744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N =/= (/) -> ( A. i e. N y = z -> y = z ) )
66	65	3ad2ant2 1030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) -> ( A. i e. N y = z -> y = z ) )
67	66	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( A. i e. N y = z -> y = z ) )
68	67	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. N y = z -> ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> y = z ) )
69	68	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( A. i e. N A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ A. i e. N y = z ) -> ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> y = z ) )
70	64, 69	sylbi 199	. . . . . . 7 |- ( A. i e. N ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) -> ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> y = z ) )
71	70	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( A. i e. N ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) -> y = z ) )
72	63, 71	sylbid 219	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) -> y = z ) )
73	31, 72	sylbid 219	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( y .* .1. ) = ( z .* .1. ) -> y = z ) )
74	17, 73	sylbid 219	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
75	74	ralrimivva 2809	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) -> A. y e. K A. z e. K ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
76		dff13 6159	. 2 |- ( F : K -1-1-> C <-> ( F : K --> C /\ A. y e. K A. z e. K ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
77	8, 75, 76	sylanbrc 670	1 |- ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) -> F : K -1-1-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   \ cdif 3401   u. cun 3402   (/)c0 3731   ifcif 3881   {csn 3968   |-> cmpt 4461   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   Basecbs 15121   .scvsca 15194   0gc0g 15338   1rcur 17735   Ringcrg 17780   Mat cmat 19432   ScMat cscmat 19514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-mamu 19409  df-mat 19433  df-scmat 19516

This theorem is referenced by:  scmatf1o  19557