Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatf1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem scmatf1 19556
 Description: There is a 1-1 function from a ring to any ring of scalar matrices with positive dimension over this ring. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k
scmatrhmval.a Mat
scmatrhmval.o
scmatrhmval.t
scmatrhmval.f
scmatrhmval.c ScMat
Assertion
Ref Expression
scmatf1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem scmatf1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatrhmval.k . . . 4
2 scmatrhmval.a . . . 4 Mat
3 scmatrhmval.o . . . 4
4 scmatrhmval.t . . . 4
5 scmatrhmval.f . . . 4
6 scmatrhmval.c . . . 4 ScMat
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatf 19554 . . 3
9 simpr 463 . . . . . . 7
10 simpl 459 . . . . . . 7
111, 2, 3, 4, 5scmatrhmval 19552 . . . . . . 7
129, 10, 11syl2an 480 . . . . . 6
13 simpr 463 . . . . . . 7
141, 2, 3, 4, 5scmatrhmval 19552 . . . . . . 7
159, 13, 14syl2an 480 . . . . . 6
1612, 15eqeq12d 2466 . . . . 5
17163adantl2 1165 . . . 4
182matring 19468 . . . . . . . . . . 11
19 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12
2019, 3ringidcl 17801 . . . . . . . . . . 11
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . 10
2221, 10anim12ci 571 . . . . . . . . 9
231, 2, 19, 4matvscl 19456 . . . . . . . . 9
2422, 23syldan 473 . . . . . . . 8
2521, 13anim12ci 571 . . . . . . . . 9
261, 2, 19, 4matvscl 19456 . . . . . . . . 9
2725, 26syldan 473 . . . . . . . 8
2824, 27jca 535 . . . . . . 7
29283adantl2 1165 . . . . . 6
302, 19eqmat 19449 . . . . . 6
3129, 30syl 17 . . . . 5
32 difsnid 4118 . . . . . . . . . . . 12
3332eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11
3433adantl 468 . . . . . . . . . 10
3534raleqdv 2993 . . . . . . . . 9
36 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12
37 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . 11
3938ralunsn 4186 . . . . . . . . . 10
4039adantl 468 . . . . . . . . 9
4110anim2i 573 . . . . . . . . . . . . . 14
42 df-3an 987 . . . . . . . . . . . . . 14
4341, 42sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
4544, 44jca 535 . . . . . . . . . . . . 13
46 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14
472, 1, 46, 3, 4scmatscmide 19532 . . . . . . . . . . . . 13
4843, 45, 47syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12
49 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
5049iftruei 3888 . . . . . . . . . . . 12
5148, 50syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11
5213anim2i 573 . . . . . . . . . . . . . 14
53 df-3an 987 . . . . . . . . . . . . . 14
5452, 53sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13
552, 1, 46, 3, 4scmatscmide 19532 . . . . . . . . . . . . 13
5654, 45, 55syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12
5749iftruei 3888 . . . . . . . . . . . 12
5856, 57syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11
5951, 58eqeq12d 2466 . . . . . . . . . 10
6059anbi2d 710 . . . . . . . . 9
6135, 40, 603bitrd 283 . . . . . . . 8
6261ralbidva 2824 . . . . . . 7
63623adantl2 1165 . . . . . 6
64 r19.26 2917 . . . . . . . 8
65 rspn0 3744 . . . . . . . . . . . 12
66653ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . 11
6766adantr 467 . . . . . . . . . 10
6867com12 32 . . . . . . . . 9
6968adantl 468 . . . . . . . 8
7064, 69sylbi 199 . . . . . . 7
7170com12 32 . . . . . 6
7263, 71sylbid 219 . . . . 5
7331, 72sylbid 219 . . . 4
7417, 73sylbid 219 . . 3
7574ralrimivva 2809 . 2
76 dff13 6159 . 2
778, 75, 76sylanbrc 670 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737   cdif 3401   cun 3402  c0 3731  cif 3881  csn 3968   cmpt 4461  wf 5578  wf1 5579  cfv 5582  (class class class)co 6290  cfn 7569  cbs 15121  cvsca 15194  c0g 15338  cur 17735  crg 17780   Mat cmat 19432   ScMat cscmat 19514 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-mamu 19409  df-mat 19433  df-scmat 19516 This theorem is referenced by:  scmatf1o  19557
 Copyright terms: Public domain W3C validator