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Theorem scmatf1 19556
Description: There is a 1-1 function from a ring to any ring of scalar matrices with positive dimension over this ring. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
scmatrhmval.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatrhmval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  A )
scmatrhmval.t  |-  .*  =  ( .s `  A )
scmatrhmval.f  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  ( x  .*  .1.  ) )
scmatrhmval.c  |-  C  =  ( N ScMat  R )
Assertion
Ref Expression
scmatf1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e. 
Ring )  ->  F : K -1-1-> C )
Distinct variable groups:    x, K    x, R    x,  .1.    x,  .*    x, C    x, N
Allowed substitution hints:    A( x)    F( x)

Proof of Theorem scmatf1
Dummy variables  y 
z  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatrhmval.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
2 scmatrhmval.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 scmatrhmval.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  A )
4 scmatrhmval.t . . . 4  |-  .*  =  ( .s `  A )
5 scmatrhmval.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  ( x  .*  .1.  ) )
6 scmatrhmval.c . . . 4  |-  C  =  ( N ScMat  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatf 19554 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  F : K --> C )
873adant2 1027 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e. 
Ring )  ->  F : K --> C )
9 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
10 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  K  /\  z  e.  K )  ->  y  e.  K )
111, 2, 3, 4, 5scmatrhmval 19552 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  K )  ->  ( F `  y )  =  ( y  .*  .1.  ) )
129, 10, 11syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  ( F `  y )  =  ( y  .*  .1.  ) )
13 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  K  /\  z  e.  K )  ->  z  e.  K )
141, 2, 3, 4, 5scmatrhmval 19552 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  z  e.  K )  ->  ( F `  z )  =  ( z  .*  .1.  ) )
159, 13, 14syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  ( F `  z )  =  ( z  .*  .1.  ) )
1612, 15eqeq12d 2466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  <->  ( y  .*  .1.  )  =  ( z  .*  .1.  )
) )
17163adantl2 1165 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <->  ( y  .*  .1.  )  =  ( z  .*  .1.  )
) )
182matring 19468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
19 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
2019, 3ringidcl 17801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  A )
)
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .1.  e.  ( Base `  A
) )
2221, 10anim12ci 571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  (
y  e.  K  /\  .1.  e.  ( Base `  A
) ) )
231, 2, 19, 4matvscl 19456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  .1.  e.  ( Base `  A ) ) )  ->  ( y  .*  .1.  )  e.  (
Base `  A )
)
2422, 23syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  (
y  .*  .1.  )  e.  ( Base `  A
) )
2521, 13anim12ci 571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  (
z  e.  K  /\  .1.  e.  ( Base `  A
) ) )
261, 2, 19, 4matvscl 19456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( z  e.  K  /\  .1.  e.  ( Base `  A ) ) )  ->  ( z  .*  .1.  )  e.  (
Base `  A )
)
2725, 26syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  (
z  .*  .1.  )  e.  ( Base `  A
) )
2824, 27jca 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  (
( y  .*  .1.  )  e.  ( Base `  A )  /\  (
z  .*  .1.  )  e.  ( Base `  A
) ) )
29283adantl2 1165 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  ( (
y  .*  .1.  )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( z  .*  .1.  )  e.  (
Base `  A )
) )
302, 19eqmat 19449 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  .*  .1.  )  e.  ( Base `  A )  /\  (
z  .*  .1.  )  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
( y  .*  .1.  )  =  ( z  .*  .1.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j ) ) )
3129, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  ( (
y  .*  .1.  )  =  ( z  .*  .1.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j ) ) )
32 difsnid 4118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  N  ->  (
( N  \  {
i } )  u. 
{ i } )  =  N )
3332eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  N  ->  N  =  ( ( N 
\  { i } )  u.  { i } ) )
3433adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  /\  i  e.  N )  ->  N  =  ( ( N  \  { i } )  u.  {
i } ) )
3534raleqdv 2993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. j  e.  N  ( i ( y  .*  .1.  )
j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  <->  A. j  e.  (
( N  \  {
i } )  u. 
{ i } ) ( i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j ) ) )
36 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  (
i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( y  .*  .1.  )
i ) )
37 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  (
i ( z  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  )
i ) )
3836, 37eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  (
( i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  <->  ( i
( y  .*  .1.  ) i )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) i ) ) )
3938ralunsn 4186 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  N  ->  ( A. j  e.  (
( N  \  {
i } )  u. 
{ i } ) ( i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  <->  ( A. j  e.  ( N  \  { i } ) ( i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  /\  ( i ( y  .*  .1.  ) i )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) i ) ) ) )
4039adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. j  e.  ( ( N  \  { i } )  u.  { i } ) ( i ( y  .*  .1.  )
j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  <-> 
( A. j  e.  ( N  \  {
i } ) ( i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  )
j )  /\  (
i ( y  .*  .1.  ) i )  =  ( i ( z  .*  .1.  )
i ) ) ) )
4110anim2i 573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  K
) )
42 df-3an 987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  K )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  K ) )
4341, 42sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  K ) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  N  ->  i  e.  N )
4544, 44jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  N  ->  (
i  e.  N  /\  i  e.  N )
)
46 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
472, 1, 46, 3, 4scmatscmide 19532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  K )  /\  (
i  e.  N  /\  i  e.  N )
)  ->  ( i
( y  .*  .1.  ) i )  =  if ( i  =  i ,  y ,  ( 0g `  R
) ) )
4843, 45, 47syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( i ( y  .*  .1.  ) i )  =  if ( i  =  i ,  y ,  ( 0g
`  R ) ) )
49 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  i  =  i
5049iftruei 3888 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( i  =  i ,  y ,  ( 0g
`  R ) )  =  y
5148, 50syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( i ( y  .*  .1.  ) i )  =  y )
5213anim2i 573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  z  e.  K
) )
53 df-3an 987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  z  e.  K )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  z  e.  K ) )
5452, 53sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  z  e.  K ) )
552, 1, 46, 3, 4scmatscmide 19532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  z  e.  K )  /\  (
i  e.  N  /\  i  e.  N )
)  ->  ( i
( z  .*  .1.  ) i )  =  if ( i  =  i ,  z ,  ( 0g `  R
) ) )
5654, 45, 55syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( i ( z  .*  .1.  ) i )  =  if ( i  =  i ,  z ,  ( 0g
`  R ) ) )
5749iftruei 3888 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( i  =  i ,  z ,  ( 0g
`  R ) )  =  z
5856, 57syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( i ( z  .*  .1.  ) i )  =  z )
5951, 58eqeq12d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( ( i ( y  .*  .1.  )
i )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) i )  <-> 
y  =  z ) )
6059anbi2d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( ( A. j  e.  ( N  \  {
i } ) ( i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  )
j )  /\  (
i ( y  .*  .1.  ) i )  =  ( i ( z  .*  .1.  )
i ) )  <->  ( A. j  e.  ( N  \  { i } ) ( i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  /\  y  =  z )
) )
6135, 40, 603bitrd 283 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. j  e.  N  ( i ( y  .*  .1.  )
j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  <-> 
( A. j  e.  ( N  \  {
i } ) ( i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  )
j )  /\  y  =  z ) ) )
6261ralbidva 2824 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  K  /\  z  e.  K
) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  <->  A. i  e.  N  ( A. j  e.  ( N  \  { i } ) ( i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  /\  y  =  z )
) )
63623adantl2 1165 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  )
j )  <->  A. i  e.  N  ( A. j  e.  ( N  \  { i } ) ( i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  /\  y  =  z )
) )
64 r19.26 2917 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  N  ( A. j  e.  ( N  \  { i } ) ( i ( y  .*  .1.  )
j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  /\  y  =  z )  <->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  ( N  \  {
i } ) ( i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  )
j )  /\  A. i  e.  N  y  =  z ) )
65 rspn0 3744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =/=  (/)  ->  ( A. i  e.  N  y  =  z  ->  y  =  z ) )
66653ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e. 
Ring )  ->  ( A. i  e.  N  y  =  z  ->  y  =  z ) )
6766adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  ( A. i  e.  N  y  =  z  ->  y  =  z ) )
6867com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  N  y  =  z  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  y  =  z ) )
6968adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  ( N  \  { i } ) ( i ( y  .*  .1.  )
j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  /\  A. i  e.  N  y  =  z )  ->  ( (
( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  y  =  z ) )
7064, 69sylbi 199 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  N  ( A. j  e.  ( N  \  { i } ) ( i ( y  .*  .1.  )
j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  /\  y  =  z )  ->  ( (
( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  y  =  z ) )
7170com12 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  ( A. i  e.  N  ( A. j  e.  ( N  \  { i } ) ( i ( y  .*  .1.  )
j )  =  ( i ( z  .*  .1.  ) j )  /\  y  =  z )  ->  y  =  z ) )
7263, 71sylbid 219 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i ( y  .*  .1.  ) j )  =  ( i ( z  .*  .1.  )
j )  ->  y  =  z ) )
7331, 72sylbid 219 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  ( (
y  .*  .1.  )  =  ( z  .*  .1.  )  ->  y  =  z ) )
7417, 73sylbid 219 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
7574ralrimivva 2809 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e. 
Ring )  ->  A. y  e.  K  A. z  e.  K  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
76 dff13 6159 . 2  |-  ( F : K -1-1-> C  <->  ( F : K --> C  /\  A. y  e.  K  A. z  e.  K  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
778, 75, 76sylanbrc 670 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/)  /\  R  e. 
Ring )  ->  F : K -1-1-> C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737    \ cdif 3401    u. cun 3402   (/)c0 3731   ifcif 3881   {csn 3968    |-> cmpt 4461   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   Basecbs 15121   .scvsca 15194   0gc0g 15338   1rcur 17735   Ringcrg 17780   Mat cmat 19432   ScMat cscmat 19514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-mamu 19409  df-mat 19433  df-scmat 19516
This theorem is referenced by:  scmatf1o  19557
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