MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatdmat Structured version   Unicode version

Theorem scmatdmat 19539
Description: A scalar matrix is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
scmatid.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
scmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
scmatid.s  |-  S  =  ( N ScMat  R )
scmatdmat.d  |-  D  =  ( N DMat  R )
Assertion
Ref Expression
scmatdmat  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( M  e.  S  ->  M  e.  D ) )

Proof of Theorem scmatdmat
Dummy variables  c 
i  j  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  -> 
( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )
)
2 ifnefalse 3923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =/=  j  ->  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  =  .0.  )
31, 2sylan9eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  /\  i  =/=  j
)  ->  ( i
m j )  =  .0.  )
43ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  -> 
( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )
)
54a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  E
)  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  ->  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )
) )
65ralimdva 2830 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  E )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  ->  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )
) )
76ralimdva 2830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  E )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )
) )
87rexlimdva 2914 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B
)  ->  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )
) )
98ss2rabdv 3542 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  C_  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } )
109adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  M  e.  S
)  ->  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) } 
C_  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } )
11 scmatid.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
12 scmatid.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
13 scmatid.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( N ScMat  R )
14 scmatid.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( Base `  R
)
15 scmatid.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
1611, 12, 13, 14, 15scmatmats 19535 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) } )
17 scmatdmat.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( N DMat  R )
1811, 12, 15, 17dmatval 19516 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i m j )  =  .0.  ) } )
1916, 18sseq12d 3493 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( S  C_  D  <->  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  C_  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } ) )
2019adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  M  e.  S
)  ->  ( S  C_  D  <->  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  C_  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } ) )
2110, 20mpbird 235 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  M  e.  S
)  ->  S  C_  D
)
22 simpr 462 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  M  e.  S
)  ->  M  e.  S )
2321, 22sseldd 3465 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  M  e.  S
)  ->  M  e.  D )
2423ex 435 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( M  e.  S  ->  M  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436   ifcif 3911   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   Fincfn 7581   Basecbs 15121   0gc0g 15338   Ringcrg 17780   Mat cmat 19431   DMat cdmat 19512   ScMat cscmat 19513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-ot 4007  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-ixp 7535  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-sup 7966  df-oi 8035  df-card 8382  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-dsmm 19294  df-frlm 19309  df-mamu 19408  df-mat 19432  df-dmat 19514  df-scmat 19515
This theorem is referenced by:  scmatcrng  19545  scmatsgrp1  19546
  Copyright terms: Public domain W3C validator