MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatdmat Structured version   Unicode version

Theorem scmatdmat 19143
Description: A scalar matrix is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
scmatid.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
scmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
scmatid.s  |-  S  =  ( N ScMat  R )
scmatdmat.d  |-  D  =  ( N DMat  R )
Assertion
Ref Expression
scmatdmat  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( M  e.  S  ->  M  e.  D ) )

Proof of Theorem scmatdmat
Dummy variables  c 
i  j  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  -> 
( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )
)
2 ifnefalse 3956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =/=  j  ->  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  =  .0.  )
31, 2sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  /\  i  =/=  j
)  ->  ( i
m j )  =  .0.  )
43ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  -> 
( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )
)
54a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  E
)  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  ->  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )
) )
65ralimdva 2865 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  E )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  ->  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )
) )
76ralimdva 2865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B )  /\  c  e.  E )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )
) )
87rexlimdva 2949 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  m  e.  B
)  ->  ( E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )
) )
98ss2rabdv 3577 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  C_  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  M  e.  S
)  ->  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) } 
C_  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } )
11 scmatid.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
12 scmatid.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
13 scmatid.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( N ScMat  R )
14 scmatid.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( Base `  R
)
15 scmatid.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
1611, 12, 13, 14, 15scmatmats 19139 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) } )
17 scmatdmat.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( N DMat  R )
1811, 12, 15, 17dmatval 19120 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i m j )  =  .0.  ) } )
1916, 18sseq12d 3528 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( S  C_  D  <->  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  C_  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } ) )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  M  e.  S
)  ->  ( S  C_  D  <->  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }  C_  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } ) )
2110, 20mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  M  e.  S
)  ->  S  C_  D
)
22 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  M  e.  S
)  ->  M  e.  S )
2321, 22sseldd 3500 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  M  e.  S
)  ->  M  e.  D )
2423ex 434 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( M  e.  S  ->  M  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   ifcif 3944   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   Basecbs 14643   0gc0g 14856   Ringcrg 17324   Mat cmat 19035   DMat cdmat 19116   ScMat cscmat 19117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-hom 14735  df-cco 14736  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-prds 14864  df-pws 14866  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-subrg 17553  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-dsmm 18889  df-frlm 18904  df-mamu 19012  df-mat 19036  df-dmat 19118  df-scmat 19119
This theorem is referenced by:  scmatcrng  19149  scmatsgrp1  19150
  Copyright terms: Public domain W3C validator