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Theorem sbthlem7 7625
Description: Lemma for sbth 7629. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlem7  |-  ( ( Fun  f  /\  Fun  `' g )  ->  Fun  H )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem7
StepHypRef Expression
1 funres 5620 . . 3  |-  ( Fun  f  ->  Fun  ( f  |`  U. D ) )
2 funres 5620 . . 3  |-  ( Fun  `' g  ->  Fun  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
3 dmres 5287 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
4 inss1 3713 . . . . . . . . 9  |-  ( U. D  i^i  dom  f )  C_ 
U. D
53, 4eqsstri 3529 . . . . . . . 8  |-  dom  (
f  |`  U. D ) 
C_  U. D
6 ssrin 3718 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  C_  U. D  -> 
( dom  ( f  |` 
U. D )  i^i 
dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) 
C_  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  C_  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) )
8 dmres 5287 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
9 inss1 3713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  C_  ( A  \ 
U. D )
108, 9eqsstri 3529 . . . . . . . 8  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) 
C_  ( A  \  U. D )
11 sslin 3719 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) )  C_  ( A  \  U. D )  ->  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) 
C_  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) 
C_  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) )
137, 12sstri 3508 . . . . . 6  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  C_  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) )
14 disjdif 3894 . . . . . 6  |-  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) )  =  (/)
1513, 14sseqtri 3531 . . . . 5  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  C_  (/)
16 ss0 3811 . . . . 5  |-  ( ( dom  ( f  |`  U. D )  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  C_  (/)  ->  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  (/) )
1715, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  (/)
18 funun 5623 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  ( f  |`  U. D )  /\  Fun  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )  /\  ( dom  ( f  |`  U. D )  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) ) )
1917, 18mpan2 671 . . 3  |-  ( ( Fun  ( f  |`  U. D )  /\  Fun  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  ->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) )
201, 2, 19syl2an 477 . 2  |-  ( ( Fun  f  /\  Fun  `' g )  ->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) ) )
21 sbthlem.3 . . 3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
2221funeqi 5601 . 2  |-  ( Fun 
H  <->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) ) )
2320, 22sylibr 212 1  |-  ( ( Fun  f  /\  Fun  `' g )  ->  Fun  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2447   _Vcvv 3108    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3780   U.cuni 4240   `'ccnv 4993   dom cdm 4994    |` cres 4996   "cima 4997   Fun wfun 5575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pr 4681
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-br 4443  df-opab 4501  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-res 5006  df-fun 5583
This theorem is referenced by:  sbthlem9  7627
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