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Theorem sbthlem5 7629
Description: Lemma for sbth 7635. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlem5  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  dom  H  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem5
StepHypRef Expression
1 sbthlem.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
2 sbthlem.2 . . . . . . . . 9  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
31, 2sbthlem1 7625 . . . . . . . 8  |-  U. D  C_  ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )
4 difss 3613 . . . . . . . 8  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A
53, 4sstri 3495 . . . . . . 7  |-  U. D  C_  A
6 sseq2 3508 . . . . . . 7  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  C_  A
) )
75, 6mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  C_  dom  f
)
8 dfss 3473 . . . . . 6  |-  ( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f ) )
97, 8sylib 196 . . . . 5  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f
) )
109uneq1d 3639 . . . 4  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) ) )
111, 2sbthlem3 7627 . . . . . . 7  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) )  =  ( A  \  U. D ) )
12 imassrn 5334 . . . . . . 7  |-  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) 
C_  ran  g
1311, 12syl6eqssr 3537 . . . . . 6  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  U. D
)  C_  ran  g )
14 dfss 3473 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  U. D
)  C_  ran  g  <->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
1513, 14sylib 196 . . . . 5  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  U. D
)  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g ) )
1615uneq2d 3640 . . . 4  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
1710, 16sylan9eq 2502 . . 3  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
18 sbthlem.3 . . . . 5  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
1918dmeqi 5190 . . . 4  |-  dom  H  =  dom  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )
20 dmun 5195 . . . . 5  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
21 dmres 5280 . . . . . 6  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
22 dmres 5280 . . . . . . 7  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
23 df-rn 4996 . . . . . . . . 9  |-  ran  g  =  dom  `' g
2423eqcomi 2454 . . . . . . . 8  |-  dom  `' g  =  ran  g
2524ineq2i 3679 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g )
2622, 25eqtri 2470 . . . . . 6  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
ran  g )
2721, 26uneq12i 3638 . . . . 5  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2820, 27eqtri 2470 . . . 4  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2919, 28eqtri 2470 . . 3  |-  dom  H  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
3017, 29syl6reqr 2501 . 2  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  dom  H  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) ) )
31 undif 3890 . . 3  |-  ( U. D  C_  A  <->  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  =  A )
325, 31mpbi 208 . 2  |-  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  =  A
3330, 32syl6eq 2498 1  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A )  ->  dom  H  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   {cab 2426   _Vcvv 3093    \ cdif 3455    u. cun 3456    i^i cin 3457    C_ wss 3458   U.cuni 4230   `'ccnv 4984   dom cdm 4985   ran crn 4986    |` cres 4987   "cima 4988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pr 4672
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-xp 4991  df-cnv 4993  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998
This theorem is referenced by:  sbthlem9  7633
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