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Theorem sbthlem2 7177
Description: Lemma for sbth 7186. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
Assertion
Ref Expression
sbthlem2  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) )  C_  U. D )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)

Proof of Theorem sbthlem2
StepHypRef Expression
1 sbthlem.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
2 sbthlem.2 . . . . . . . . 9  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
31, 2sbthlem1 7176 . . . . . . . 8  |-  U. D  C_  ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )
4 imass2 5199 . . . . . . . 8  |-  ( U. D  C_  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( f " U. D )  C_  ( f " ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) )
5 sscon 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ( f " U. D
)  C_  ( f " ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) ) )  ->  ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) )  C_  ( B  \  (
f " U. D
) ) )
63, 4, 5mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) )  C_  ( B  \  (
f " U. D
) )
7 imass2 5199 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  ( f
" ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) ) ) )  C_  ( B  \  (
f " U. D
) )  ->  (
g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) )
8 sscon 3441 . . . . . . 7  |-  ( ( g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) )  -> 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )  C_  ( A  \  ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) ) )
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) )
10 imassrn 5175 . . . . . . . 8  |-  ( g
" ( B  \ 
( f " ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) ) )  C_  ran  g
11 sstr2 3315 . . . . . . . 8  |-  ( ( g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ran  g  ->  ( ran  g  C_  A  ->  ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  A ) )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  A )
13 difss 3434 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A
14 ssconb 3440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  A  /\  ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A )  -> 
( ( g "
( B  \  (
f " ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) ) )  C_  ( A  \  ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) )  <->  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  C_  ( A  \  ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
1512, 13, 14sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) )  <->  ( A  \  ( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  C_  ( A  \  ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
169, 15mpbiri 225 . . . . 5  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) )
1716, 13jctil 524 . . . 4  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) )
181, 13ssexi 4308 . . . . 5  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) )  e.  _V
19 sseq1 3329 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( x  C_  A  <->  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  C_  A )
)
20 imaeq2 5158 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( f " x )  =  ( f " ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) )
2120difeq2d 3425 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( B  \  ( f " x
) )  =  ( B  \  ( f
" ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) )
2221imaeq2d 5162 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( g " ( B  \ 
( f " x
) ) )  =  ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) )
23 difeq2 3419 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) )
2422, 23sseq12d 3337 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( (
g " ( B 
\  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x )  <->  ( g " ( B  \ 
( f " ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) ) )  C_  ( A  \  ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) ) )
2519, 24anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( (
x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) )  <->  ( ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A  /\  (
g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) )
2618, 25elab 3042 . . . 4  |-  ( ( A  \  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) )  e.  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g "
( B  \  (
f " x ) ) )  C_  ( A  \  x ) ) }  <->  ( ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A  /\  (
g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) )
2717, 26sylibr 204 . . 3  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) )  e.  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g "
( B  \  (
f " x ) ) )  C_  ( A  \  x ) ) } )
2827, 2syl6eleqr 2495 . 2  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) )  e.  D )
29 elssuni 4003 . 2  |-  ( ( A  \  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) )  e.  D  -> 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )  C_  U. D )
3028, 29syl 16 1  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) )  C_  U. D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   U.cuni 3975   ran crn 4838   "cima 4840
This theorem is referenced by:  sbthlem3  7178
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-xp 4843  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850
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