Theorem sbthlem10 5519

Description: Lemma for sbth 5520.

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = {x | (x C_ A /\ (g"(B \ (f"x))) C_ (A \ x))}
sbthlem.3	|- H = ((f |` U.D) u. (`'g |` (A \ U.D)))
sbthlem.4	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
sbthlem10	|- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) -> A ~~ B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,D   x,f,g   x,H   f,g,A   B,f,g

Proof of Theorem sbthlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.4	. . . . 5 |- B e. _V
2	1	brdom 5437	. . . 4 |- (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B)
3		sbthlem.1	. . . . 5 |- A e. _V
4	3	brdom 5437	. . . 4 |- (B ~<_ A <-> E.g g:B-1-1->A)
5	2, 4	anbi12i 540	. . 3 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) <-> (E.f f:A-1-1->B /\ E.g g:B-1-1->A))
6		eeanv 1707	. . 3 |- (E.fE.g(f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) <-> (E.f f:A-1-1->B /\ E.g g:B-1-1->A))
7	5, 6	bitr4i 193	. 2 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) <-> E.fE.g(f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A))
8		sbthlem.2	. . . . 5 |- D = {x | (x C_ A /\ (g"(B \ (f"x))) C_ (A \ x))}
9		sbthlem.3	. . . . 5 |- H = ((f |` U.D) u. (`'g |` (A \ U.D)))
10	3, 8, 9	sbthlem9 5518	. . . 4 |- ((f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) -> H:A-1-1-onto->B)
11	3	f1oen 5457	. . . 4 |- (H:A-1-1-onto->B -> A ~~ B)
12	10, 11	syl 12	. . 3 |- ((f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) -> A ~~ B)
13	12	19.23aivv 1675	. 2 |- (E.fE.g(f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) -> A ~~ B)
14	7, 13	sylbi 216	1 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) -> A ~~ B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   u. cun 2591   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985   |` cres 3988  "cima 3989  -1-1->wf1 3995  -1-1-onto->wf1o 3997   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424

This theorem is referenced by:  sbth 5520

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-en 5427  df-dom 5428

Copyright terms: Public domain