Theorem sbsslemOLD 2979

Description: Lemma for sbss 2980.

Assertion

Ref	Expression
sbsslemOLD	|- ([y / x]x C_ A <-> A.w((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y))

Distinct variable groups:   x,A,w   y,w

Proof of Theorem sbsslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 2605	. . . 4 |- (x C_ A <-> (x i^i A) = x)
2		df-in 2603	. . . . 5 |- (x i^i A) = {v | (v e. x /\ v e. A)}
3	2	eqeq1i 1891	. . . 4 |- ((x i^i A) = x <-> {v | (v e. x /\ v e. A)} = x)
4	1, 3	bitri 190	. . 3 |- (x C_ A <-> {v | (v e. x /\ v e. A)} = x)
5	4	sbbii 1538	. 2 |- ([y / x]x C_ A <-> [y / x]{v | (v e. x /\ v e. A)} = x)
6		dfcleq 1878	. . . 4 |- ({v | (v e. x /\ v e. A)} = x <-> A.w(w e. {v | (v e. x /\ v e. A)} <-> w e. x))
7		df-clab 1872	. . . . . . 7 |- (w e. {v | (v e. x /\ v e. A)} <-> [w / v](v e. x /\ v e. A))
8		sban 1607	. . . . . . 7 |- ([w / v](v e. x /\ v e. A) <-> ([w / v]v e. x /\ [w / v]v e. A))
9		elsb3 1718	. . . . . . . 8 |- ([w / v]v e. x <-> w e. x)
10		clelsb3 1990	. . . . . . . 8 |- ([w / v]v e. A <-> w e. A)
11	9, 10	anbi12i 540	. . . . . . 7 |- (([w / v]v e. x /\ [w / v]v e. A) <-> (w e. x /\ w e. A))
12	7, 8, 11	3bitri 194	. . . . . 6 |- (w e. {v | (v e. x /\ v e. A)} <-> (w e. x /\ w e. A))
13	12	bibi1i 671	. . . . 5 |- ((w e. {v | (v e. x /\ v e. A)} <-> w e. x) <-> ((w e. x /\ w e. A) <-> w e. x))
14	13	albii 1346	. . . 4 |- (A.w(w e. {v | (v e. x /\ v e. A)} <-> w e. x) <-> A.w((w e. x /\ w e. A) <-> w e. x))
15	6, 14	bitri 190	. . 3 |- ({v | (v e. x /\ v e. A)} = x <-> A.w((w e. x /\ w e. A) <-> w e. x))
16	15	sbbii 1538	. 2 |- ([y / x]{v | (v e. x /\ v e. A)} = x <-> [y / x]A.w((w e. x /\ w e. A) <-> w e. x))
17		sbal 1738	. . 3 |- ([y / x]A.w((w e. x /\ w e. A) <-> w e. x) <-> A.w[y / x]((w e. x /\ w e. A) <-> w e. x))
18		sbbi 1609	. . . . 5 |- ([y / x]((w e. x /\ w e. A) <-> w e. x) <-> ([y / x](w e. x /\ w e. A) <-> [y / x]w e. x))
19		sban 1607	. . . . . . 7 |- ([y / x](w e. x /\ w e. A) <-> ([y / x]w e. x /\ [y / x]w e. A))
20		elsb4 1720	. . . . . . . 8 |- ([y / x]w e. x <-> w e. y)
21		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (w e. A -> A.x w e. A)
22	21	sbf 1551	. . . . . . . 8 |- ([y / x]w e. A <-> w e. A)
23	20, 22	anbi12i 540	. . . . . . 7 |- (([y / x]w e. x /\ [y / x]w e. A) <-> (w e. y /\ w e. A))
24	19, 23	bitri 190	. . . . . 6 |- ([y / x](w e. x /\ w e. A) <-> (w e. y /\ w e. A))
25	24, 20	bibi12i 672	. . . . 5 |- (([y / x](w e. x /\ w e. A) <-> [y / x]w e. x) <-> ((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y))
26	18, 25	bitri 190	. . . 4 |- ([y / x]((w e. x /\ w e. A) <-> w e. x) <-> ((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y))
27	26	albii 1346	. . 3 |- (A.w[y / x]((w e. x /\ w e. A) <-> w e. x) <-> A.w((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y))
28	17, 27	bitri 190	. 2 |- ([y / x]A.w((w e. x /\ w e. A) <-> w e. x) <-> A.w((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y))
29	5, 16, 28	3bitri 194	1 |- ([y / x]x C_ A <-> A.w((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  [wsbc 1534  {cab 1871   i^i cin 2592   C_ wss 2593

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-in 2603  df-ss 2605

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