Theorem sbsslem 2978

Description: Lemma for sbss 2980. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sbsslem	|- ([y / x]x C_ A <-> A.w((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y))

Distinct variable groups:   x,A,w   y,w

Proof of Theorem sbsslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 2610	. . 3 |- (x C_ A <-> A.w(w e. x -> w e. A))
2	1	sbbii 1538	. 2 |- ([y / x]x C_ A <-> [y / x]A.w(w e. x -> w e. A))
3		sbal 1738	. 2 |- ([y / x]A.w(w e. x -> w e. A) <-> A.w[y / x](w e. x -> w e. A))
4		sbim 1604	. . . 4 |- ([y / x](w e. x -> w e. A) <-> ([y / x]w e. x -> [y / x]w e. A))
5		elsb4 1720	. . . . 5 |- ([y / x]w e. x <-> w e. y)
6		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (w e. A -> A.x w e. A)
7	6	sbf 1551	. . . . 5 |- ([y / x]w e. A <-> w e. A)
8	5, 7	imbi12i 205	. . . 4 |- (([y / x]w e. x -> [y / x]w e. A) <-> (w e. y -> w e. A))
9		simpl 346	. . . . . 6 |- ((w e. y /\ w e. A) -> w e. y)
10		ancl 318	. . . . . 6 |- ((w e. y -> w e. A) -> (w e. y -> (w e. y /\ w e. A)))
11	9, 10	impbid2 576	. . . . 5 |- ((w e. y -> w e. A) -> ((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y))
12		bi2 166	. . . . . 6 |- (((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y) -> (w e. y -> (w e. y /\ w e. A)))
13		simpr 350	. . . . . 6 |- ((w e. y /\ w e. A) -> w e. A)
14	12, 13	syl6 25	. . . . 5 |- (((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y) -> (w e. y -> w e. A))
15	11, 14	impbii 174	. . . 4 |- ((w e. y -> w e. A) <-> ((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y))
16	4, 8, 15	3bitri 194	. . 3 |- ([y / x](w e. x -> w e. A) <-> ((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y))
17	16	albii 1346	. 2 |- (A.w[y / x](w e. x -> w e. A) <-> A.w((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y))
18	2, 3, 17	3bitri 194	1 |- ([y / x]x C_ A <-> A.w((w e. y /\ w e. A) <-> w e. y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   e. wcel 1300  [wsbc 1534   C_ wss 2593

This theorem is referenced by:  sbssOLD 2981  pwjustOLD 3034

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-in 2603  df-ss 2605

Copyright terms: Public domain