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Theorem sbnOLD 2106
Description: Obsolete proof of sbn 2105 as of 31-Dec-2018. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sbnOLD  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  [ y  /  x ] ph )

Proof of Theorem sbnOLD
StepHypRef Expression
1 sbequ2 1713 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  x ]  -.  ph  ->  -.  ph ) )
2 sbequ2 1713 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  ph ) )
31, 2nsyld 140 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  x ]  -.  ph  ->  -.  [
y  /  x ] ph ) )
43sps 1814 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  /  x ]  -.  ph  ->  -. 
[ y  /  x ] ph ) )
5 sb4 2070 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ]  -.  ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  -.  ph ) ) )
6 sb1 1714 . . . . . 6  |-  ( [ y  /  x ] ph  ->  E. x ( x  =  y  /\  ph ) )
7 equs3 1706 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  ph )  <->  -. 
A. x ( x  =  y  ->  -.  ph ) )
86, 7sylib 196 . . . . 5  |-  ( [ y  /  x ] ph  ->  -.  A. x
( x  =  y  ->  -.  ph ) )
98con2i 120 . . . 4  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  -.  ph )  ->  -.  [ y  /  x ] ph )
105, 9syl6 33 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ]  -.  ph  ->  -.  [ y  /  x ] ph ) )
114, 10pm2.61i 164 . 2  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  ->  -.  [ y  /  x ] ph )
12 sbequ1 1960 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
1312con3rr3 136 . . 3  |-  ( -. 
[ y  /  x ] ph  ->  ( x  =  y  ->  -.  ph ) )
14 sb2 2066 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  -.  -.  ph )  ->  [ y  /  x ]  -.  -.  ph )
15 notnot 291 . . . . . . 7  |-  ( ph  <->  -. 
-.  ph )
1615sbbii 1718 . . . . . 6  |-  ( [ y  /  x ] ph 
<->  [ y  /  x ]  -.  -.  ph )
1714, 16sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  -.  -.  ph )  ->  [ y  /  x ] ph )
1817con3i 135 . . . 4  |-  ( -. 
[ y  /  x ] ph  ->  -.  A. x
( x  =  y  ->  -.  -.  ph )
)
19 equs3 1706 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  -.  ph ) 
<->  -.  A. x ( x  =  y  ->  -.  -.  ph ) )
2018, 19sylibr 212 . . 3  |-  ( -. 
[ y  /  x ] ph  ->  E. x
( x  =  y  /\  -.  ph )
)
21 df-sb 1712 . . 3  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  ( ( x  =  y  ->  -.  ph )  /\  E. x
( x  =  y  /\  -.  ph )
) )
2213, 20, 21sylanbrc 664 . 2  |-  ( -. 
[ y  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ]  -.  ph )
2311, 22impbii 188 1  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  [ y  /  x ] ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596   [wsb 1711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-12 1803  ax-13 1968
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712
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