Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sbcssgVD Structured version   Unicode version

Theorem sbcssgVD 33416
Description: Virtual deduction proof of sbcssg 3925. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. sbcssg 3925 is sbcssgVD 33416 without virtual deductions and was automatically derived from sbcssgVD 33416.
1::  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ).
3:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ).
4:2,3:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D  ) ) ).
5:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) ).
6:4,5:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
7:6:  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
8:7:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D )  ) ).
9:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) ) ).
10:8,9:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D )  ) ).
11::  |-  ( C  C_  D  <->  A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )
110:11:  |-  A. x ( C  C_  D  <->  A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )
12:1,110:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) ) ).
13:10,12:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  A. y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
14::  |-  ( [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D  <->  A.  y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )
15:13,14:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) ).
qed:15:  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [_  A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) )
(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sbcssgVD  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) )

Proof of Theorem sbcssgVD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 33084 . . . . . . . . . 10  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2 sbcel2gOLD 3818 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
31, 2e1a 33146 . . . . . . . . 9  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
) ).
4 sbcel2gOLD 3818 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )
51, 4e1a 33146 . . . . . . . . 9  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D
) ).
6 imbi12 322 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
73, 5, 6e11 33207 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ).
8 sbcimg 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <-> 
( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D
) ) )
91, 8e1a 33146 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) ).
10 bibi1 327 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <-> 
( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D
) )  ->  (
( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <-> 
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  <->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
1110biimprcd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  ->  [. A  /  x ]. y  e.  D ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <-> 
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
127, 9, 11e11 33207 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ).
1312gen11 33135 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. (
y  e.  C  -> 
y  e.  D )  <-> 
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
14 albi 1626 . . . . . 6  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) )  -> 
( A. y [. A  /  x ]. (
y  e.  C  -> 
y  e.  D )  <->  A. y ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) )
1513, 14e1a 33146 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  ( A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ).
16 sbcalgOLD 3366 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) ) )
171, 16e1a 33146 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y
( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) ) ).
18 bibi1 327 . . . . . 6  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  <->  ( A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
1918biimprcd 225 . . . . 5  |-  ( ( A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )  ->  ( [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2015, 17, 19e11 33207 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. A. y
( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ).
21 dfss2 3478 . . . . . 6  |-  ( C 
C_  D  <->  A. y
( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )
2221ax-gen 1605 . . . . 5  |-  A. x
( C  C_  D  <->  A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )
23 sbcbi 33043 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x ( C  C_  D 
<-> 
A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) )  -> 
( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  -> 
y  e.  D ) ) ) )
241, 22, 23e10 33213 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. C  C_  D 
<-> 
[. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D ) ) ).
25 bibi1 327 . . . . 5  |-  ( (
[. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  -> 
y  e.  D ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  <->  ( [. A  /  x ]. A. y
( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2625biimprcd 225 . . . 4  |-  ( (
[. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  ->  y  e.  D )  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [. A  /  x ]. A. y ( y  e.  C  -> 
y  e.  D ) )  ->  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  A. y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2720, 24, 26e11 33207 . . 3  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. C  C_  D 
<-> 
A. y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
28 dfss2 3478 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ C  C_ 
[_ A  /  x ]_ D  <->  A. y ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )
29 biantr 931 . . . 4  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  A. y ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  ->  y  e. 
[_ A  /  x ]_ D ) )  /\  ( [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) )  ->  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) )
3029ex 434 . . 3  |-  ( (
[. A  /  x ]. C  C_  D  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  ( ( [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D  <->  A. y
( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  ->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) ) )
3127, 28, 30e10 33213 . 2  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. C  C_  D 
<-> 
[_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) ).
3231in1 33081 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. C  C_  D  <->  [_ A  /  x ]_ C  C_  [_ A  /  x ]_ D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1381    e. wcel 1804   [.wsbc 3313   [_csb 3420    C_ wss 3461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-in 3468  df-ss 3475  df-vd1 33080
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator