Theorem sbcssgVD 33416

Description: Virtual deduction proof of sbcssg 3925. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. sbcssg 3925 is sbcssgVD 33416 without virtual deductions and was automatically derived from sbcssgVD 33416.

1::	|- (. A e. B ->. A e. B ).
2:1:	|- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) ).
3:1:	|- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. y e. D <-> y e. [_ A / x ]_ D ) ).
4:2,3:	|- (. A e. B ->. ( ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
5:1:	|- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) ) ).
6:4,5:	|- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
7:6:	|- (. A e. B ->. A. y ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
8:7:	|- (. A e. B ->. ( A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
9:1:	|- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) ) ).
10:8,9:	|- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
11::	|- ( C C_ D <-> A. y ( y e. C -> y e. D ) )
110:11:	|- A. x ( C C_ D <-> A. y ( y e. C -> y e. D ) )
12:1,110:	|- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. C C_ D <-> [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) ) ).
13:10,12:	|- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
14::	|- ( [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) )
15:13,14:	|- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) ).
qed:15:	|- ( A e. B -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) )

(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sbcssgVD	|- ( A e. B -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) )

Proof of Theorem sbcssgVD

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 33084	. . . . . . . . . 10 |- (. A e. B ->. A e. B ).
2		sbcel2gOLD 3818	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) )
3	1, 2	e1a 33146	. . . . . . . . 9 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) ).
4		sbcel2gOLD 3818	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. y e. D <-> y e. [_ A / x ]_ D ) )
5	1, 4	e1a 33146	. . . . . . . . 9 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. y e. D <-> y e. [_ A / x ]_ D ) ).
6		imbi12 322	. . . . . . . . 9 |- ( ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) -> ( ( [. A / x ]. y e. D <-> y e. [_ A / x ]_ D ) -> ( ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
7	3, 5, 6	e11 33207	. . . . . . . 8 |- (. A e. B ->. ( ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
8		sbcimg 3355	. . . . . . . . 9 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) ) )
9	1, 8	e1a 33146	. . . . . . . 8 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) ) ).
10		bibi1 327	. . . . . . . . 9 |- ( ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) ) -> ( ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) <-> ( ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
11	10	biimprcd 225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( [. A / x ]. y e. C -> [. A / x ]. y e. D ) ) -> ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
12	7, 9, 11	e11 33207	. . . . . . 7 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
13	12	gen11 33135	. . . . . 6 |- (. A e. B ->. A. y ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
14		albi 1626	. . . . . 6 |- ( A. y ( [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) )
15	13, 14	e1a 33146	. . . . 5 |- (. A e. B ->. ( A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
16		sbcalgOLD 3366	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) ) )
17	1, 16	e1a 33146	. . . . 5 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) ) ).
18		bibi1 327	. . . . . 6 |- ( ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) ) -> ( ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) <-> ( A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
19	18	biimprcd 225	. . . . 5 |- ( ( A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y [. A / x ]. ( y e. C -> y e. D ) ) -> ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
20	15, 17, 19	e11 33207	. . . 4 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
21		dfss2 3478	. . . . . 6 |- ( C C_ D <-> A. y ( y e. C -> y e. D ) )
22	21	ax-gen 1605	. . . . 5 |- A. x ( C C_ D <-> A. y ( y e. C -> y e. D ) )
23		sbcbi 33043	. . . . 5 |- ( A e. B -> ( A. x ( C C_ D <-> A. y ( y e. C -> y e. D ) ) -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) ) ) )
24	1, 22, 23	e10 33213	. . . 4 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. C C_ D <-> [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) ) ).
25		bibi1 327	. . . . 5 |- ( ( [. A / x ]. C C_ D <-> [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) ) -> ( ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) <-> ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
26	25	biimprcd 225	. . . 4 |- ( ( [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( ( [. A / x ]. C C_ D <-> [. A / x ]. A. y ( y e. C -> y e. D ) ) -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) )
27	20, 24, 26	e11 33207	. . 3 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ).
28		dfss2 3478	. . 3 |- ( [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) )
29		biantr 931	. . . 4 |- ( ( ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) /\ ( [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) ) -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) )
30	29	ex 434	. . 3 |- ( ( [. A / x ]. C C_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( ( [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D <-> A. y ( y e. [_ A / x ]_ C -> y e. [_ A / x ]_ D ) ) -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) ) )
31	27, 28, 30	e10 33213	. 2 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) ).
32	31	in1 33081	1 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. C C_ D <-> [_ A / x ]_ C C_ [_ A / x ]_ D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   A.wal 1381   e. wcel 1804   [.wsbc 3313   [_csb 3420   C_ wss 3461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-in 3468  df-ss 3475  df-vd1 33080

This theorem is referenced by: (None)