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Theorem sbcrextOLD 3408
Description: Interchange class substitution and restricted existential quantifier. (Contributed by NM, 1-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Oct-2016.) Obsolete as of 18-Aug-2018. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sbcrextOLD  |-  ( ( A  e.  V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph )
)
Distinct variable groups:    x, y    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( y)    V( x, y)

Proof of Theorem sbcrextOLD
StepHypRef Expression
1 elex 3117 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 sbcng 3367 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph )
)
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph )
)
4 sbcralt 3407 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph  <->  A. y  e.  B  [. A  /  x ].  -.  ph ) )
5 nfnfc1 2627 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
F/_ y A
6 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/_ y A  ->  F/_ y A )
7 nfcvd 2625 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/_ y A  ->  F/_ y _V )
86, 7nfeld 2632 . . . . . . . . 9  |-  ( F/_ y A  ->  F/ y  A  e.  _V )
95, 8nfan1 1869 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( F/_ y A  /\  A  e.  _V )
10 sbcng 3367 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ].  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. ph ) )
1110adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
F/_ y A  /\  A  e.  _V )  ->  ( [. A  /  x ].  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
129, 11ralbid 2893 . . . . . . 7  |-  ( (
F/_ y A  /\  A  e.  _V )  ->  ( A. y  e.  B  [. A  /  x ].  -.  ph  <->  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
1312ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( A. y  e.  B  [. A  /  x ].  -.  ph  <->  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
144, 13bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph  <->  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph ) )
1514notbid 294 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( -.  [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
163, 15bitrd 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
17 dfrex2 2910 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  -. 
A. y  e.  B  -.  ph )
1817sbcbii 3386 . . 3  |-  ( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph )
19 dfrex2 2910 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph  <->  -.  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
2016, 18, 193bitr4g 288 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph )
)
211, 20sylan 471 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762   F/_wnfc 2610   A.wral 2809   E.wrex 2810   _Vcvv 3108   [.wsbc 3326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ral 2814  df-rex 2815  df-v 3110  df-sbc 3327
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