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Theorem sbcrext 3371
Description: Interchange class substitution and restricted existential quantifier. (Contributed by NM, 1-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Oct-2016.) (Revised by NM, 18-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sbcrext  |-  ( F/_ y A  ->  ( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph ) )
Distinct variable groups:    x, y    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( y)

Proof of Theorem sbcrext
StepHypRef Expression
1 sbcng 3329 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph )
)
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph )
)
3 sbcralt 3369 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph  <->  A. y  e.  B  [. A  /  x ].  -.  ph ) )
4 nfnfc1 2617 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
F/_ y A
5 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/_ y A  ->  F/_ y A )
6 nfcvd 2615 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/_ y A  ->  F/_ y _V )
75, 6nfeld 2622 . . . . . . . . 9  |-  ( F/_ y A  ->  F/ y  A  e.  _V )
84, 7nfan1 1864 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( F/_ y A  /\  A  e.  _V )
9 sbcng 3329 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ].  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. ph ) )
109adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
F/_ y A  /\  A  e.  _V )  ->  ( [. A  /  x ].  -.  ph  <->  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
118, 10ralbid 2840 . . . . . . 7  |-  ( (
F/_ y A  /\  A  e.  _V )  ->  ( A. y  e.  B  [. A  /  x ].  -.  ph  <->  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
1211ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( A. y  e.  B  [. A  /  x ].  -.  ph  <->  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
133, 12bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph  <->  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph ) )
1413notbid 294 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( -.  [. A  /  x ]. A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
152, 14bitrd 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph  <->  -.  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
)
16 dfrex2 2852 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  -. 
A. y  e.  B  -.  ph )
1716sbcbii 3348 . . 3  |-  ( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  [. A  /  x ].  -.  A. y  e.  B  -.  ph )
18 dfrex2 2852 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph  <->  -.  A. y  e.  B  -.  [. A  /  x ]. ph )
1915, 17, 183bitr4g 288 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F/_ y A )  -> 
( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph )
)
20 sbcex 3298 . . . . 5  |-  ( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  ->  A  e.  _V )
2120con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -. 
[. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph )
2221adantr 465 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  _V  /\ 
F/_ y A )  ->  -.  [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph )
23 sbcex 3298 . . . . . . 7  |-  ( [. A  /  x ]. ph  ->  A  e.  _V )
2423a1ii 27 . . . . . 6  |-  ( F/_ y A  ->  ( y  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ph  ->  A  e.  _V ) ) )
254, 7, 24rexlimd2 2939 . . . . 5  |-  ( F/_ y A  ->  ( E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph  ->  A  e.  _V ) )
2625con3rr3 136 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
F/_ y A  ->  -.  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph ) )
2726imp 429 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  _V  /\ 
F/_ y A )  ->  -.  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph )
2822, 272falsed 351 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  _V  /\ 
F/_ y A )  ->  ( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph ) )
2919, 28pm2.61ian 788 1  |-  ( F/_ y A  ->  ( [. A  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. A  /  x ]. ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   F/_wnfc 2600   A.wral 2796   E.wrex 2797   _Vcvv 3072   [.wsbc 3288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ral 2801  df-rex 2802  df-v 3074  df-sbc 3289
This theorem is referenced by:  sbcrex  3373
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