Theorem sbcrexgf 2530

Description: Interchange class substitution and restricted existential quantifier.

Hypothesis

Ref	Expression
sbcralgf.1	|- (A.y A e. C -> (z e. A -> A.y z e. A))

Assertion

Ref	Expression
sbcrexgf	|- (A.y A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))

Distinct variable groups:   z,A   x,B   z,C   x,y,z

Proof of Theorem sbcrexgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrex2 2116	. . . . . 6 |- (E.y e. B ph <-> -. A.y e. B -. ph)
2	1	sbcbii 2506	. . . . 5 |- (A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> [A / x] -. A.y e. B -. ph))
3		sbcng 2495	. . . . 5 |- (A e. C -> ([A / x] -. A.y e. B -. ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
4	2, 3	bitrd 587	. . . 4 |- (A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
5	4	a4s 1330	. . 3 |- (A.y A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
6		sbcralgf.1	. . . . . 6 |- (A.y A e. C -> (z e. A -> A.y z e. A))
7	6	sbcralgf 2529	. . . . 5 |- (A.y A e. C -> ([A / x]A.y e. B -. ph <-> A.y e. B [A / x] -. ph))
8		hba1 1350	. . . . . 6 |- (A.y A e. C -> A.yA.y A e. C)
9		sbcng 2495	. . . . . . 7 |- (A e. C -> ([A / x] -. ph <-> -. [A / x]ph))
10	9	a4s 1330	. . . . . 6 |- (A.y A e. C -> ([A / x] -. ph <-> -. [A / x]ph))
11	8, 10	ralbid 2121	. . . . 5 |- (A.y A e. C -> (A.y e. B [A / x] -. ph <-> A.y e. B -. [A / x]ph))
12	7, 11	bitrd 587	. . . 4 |- (A.y A e. C -> ([A / x]A.y e. B -. ph <-> A.y e. B -. [A / x]ph))
13	12	notbid 673	. . 3 |- (A.y A e. C -> (-. [A / x]A.y e. B -. ph <-> -. A.y e. B -. [A / x]ph))
14	5, 13	bitrd 587	. 2 |- (A.y A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. A.y e. B -. [A / x]ph))
15		dfrex2 2116	. 2 |- (E.y e. B [A / x]ph <-> -. A.y e. B -. [A / x]ph)
16	14, 15	syl6bbr 597	1 |- (A.y A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163  A.wal 1296   e. wcel 1300  [wsbc 1534  A.wral 2105  E.wrex 2106

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454

Copyright terms: Public domain