Theorem sbcralgOLD 2532

Description: Interchange class substitution and restricted quantifier.

Assertion

Ref	Expression
sbcralgOLD	|- (A e. C -> ([A / x]A.y e. B ph <-> A.y e. B [A / x]ph))

Distinct variable groups:   y,A   x,B   x,y

Proof of Theorem sbcralgOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1317	. . . 4 |- (A e. _V -> A.y A e. _V)
2		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3	2	ax-gen 1305	. . . . 5 |- A.z(z e. A -> A.y z e. A)
4	3	hbth 1348	. . . 4 |- (A.z(z e. A -> A.y z e. A) -> A.yA.z(z e. A -> A.y z e. A))
5	1, 4	hban 1356	. . 3 |- ((A e. _V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> A.y(A e. _V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)))
6		sbcralt 2527	. . 3 |- (A.y(A e. _V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]A.y e. B ph <-> A.y e. B [A / x]ph))
7	5, 6	syl 12	. 2 |- ((A e. _V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]A.y e. B ph <-> A.y e. B [A / x]ph))
8		elisset 2299	. 2 |- (A e. C -> A e. _V)
9	7, 8, 3	sylancl 525	1 |- (A e. C -> ([A / x]A.y e. B ph <-> A.y e. B [A / x]ph))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   e. wcel 1300  [wsbc 1534  A.wral 2105  _Vcvv 2292

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-v 2294  df-sbc 2454

Copyright terms: Public domain