Theorem sbcel2gvOLD 2513

Description: Class substitution into a membership relation.

Assertion

Ref	Expression
sbcel2gvOLD	|- (B e. C -> ([B / x]A e. x <-> A e. B))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem sbcel2gvOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1317	. . . 4 |- (A e. y -> A.x A e. y)
2		eleq2 1958	. . . 4 |- (x = y -> (A e. x <-> A e. y))
3	1, 2	sbie 1565	. . 3 |- ([y / x]A e. x <-> A e. y)
4	3	sbcbii 2506	. 2 |- (B e. C -> ([B / y][y / x]A e. x <-> [B / y]A e. y))
5		sbccog 2467	. 2 |- (B e. C -> ([B / y][y / x]A e. x <-> [B / x]A e. x))
6		elisset 2299	. . 3 |- (B e. C -> B e. _V)
7		elex 2302	. . . 4 |- (B e. _V -> E.y y = B)
8		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- (z e. B -> A.y z e. B)
9	8	hbsbc1 2462	. . . . . . 7 |- ((B e. _V -> [B / y]A e. y) -> A.y(B e. _V -> [B / y]A e. y))
10		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- ((B e. _V -> A e. B) -> A.y(B e. _V -> A e. B))
11	9, 10	hbbi 1357	. . . . . 6 |- (((B e. _V -> [B / y]A e. y) <-> (B e. _V -> A e. B)) -> A.y((B e. _V -> [B / y]A e. y) <-> (B e. _V -> A e. B)))
12		sbceq1a 2456	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (A e. y <-> [B / y]A e. y))
13		eleq2 1958	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (A e. y <-> A e. B))
14	12, 13	bitr3d 589	. . . . . . 7 |- (y = B -> ([B / y]A e. y <-> A e. B))
15	14	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (y = B -> ((B e. _V -> [B / y]A e. y) <-> (B e. _V -> A e. B)))
16	11, 15	19.23ai 1412	. . . . 5 |- (E.y y = B -> ((B e. _V -> [B / y]A e. y) <-> (B e. _V -> A e. B)))
17	16	pm5.74rd 648	. . . 4 |- (E.y y = B -> (B e. _V -> ([B / y]A e. y <-> A e. B)))
18	7, 17	mpcom 60	. . 3 |- (B e. _V -> ([B / y]A e. y <-> A e. B))
19	6, 18	syl 12	. 2 |- (B e. C -> ([B / y]A e. y <-> A e. B))
20	4, 5, 19	3bitr3d 607	1 |- (B e. C -> ([B / x]A e. x <-> A e. B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  [wsbc 1534  _Vcvv 2292

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-sbc 2454

Copyright terms: Public domain