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Theorem sbal2 2173
Description: Move quantifier in and out of substitution. Revised to remove a distinct variable constraint. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.) (Revised by Wolf Lammen, 3-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sbal2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Distinct variable group:    x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal2
StepHypRef Expression
1 sb4b 2048 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. y
( y  =  z  ->  A. x ph )
) )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. y
( y  =  z  ->  A. x ph )
) )
3 nfnae 2005 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
4 sb4b 2048 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( [
z  /  y ]
ph 
<-> 
A. y ( y  =  z  ->  ph )
) )
53, 4albid 1819 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  <->  A. x A. y
( y  =  z  ->  ph ) ) )
6 alcom 1783 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( y  =  z  ->  ph )  <->  A. y A. x ( y  =  z  ->  ph ) )
7 nfnae 2005 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
8 nfeqf1 1991 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x  y  =  z )
9 19.21t 1838 . . . . . . . 8  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  ( A. x
( y  =  z  ->  ph )  <->  ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
117, 10albid 1819 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  A. y ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
126, 11syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. x A. y ( y  =  z  ->  ph )  <->  A. y ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
135, 12sylan9bbr 700 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  <->  A. y ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
142, 13bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
1514ex 434 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  ( [ z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) ) )
16 sbid 1940 . . . 4  |-  ( [ y  /  y ] A. x ph  <->  A. x ph )
17 drsb2 2069 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( [ y  / 
y ] A. x ph 
<->  [ z  /  y ] A. x ph )
)
1816, 17syl5bbr 259 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  [ z  /  y ] A. x ph )
)
19 sbid 1940 . . . . 5  |-  ( [ y  /  y ]
ph 
<-> 
ph )
20 drsb2 2069 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( [ y  / 
y ] ph  <->  [ z  /  y ] ph ) )
2119, 20syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( ph  <->  [ z  /  y ] ph ) )
2221dral2 2016 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  A. x [ z  / 
y ] ph )
)
2318, 22bitr3d 255 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( [ z  / 
y ] A. x ph 
<-> 
A. x [ z  /  y ] ph ) )
2415, 23pm2.61d2 160 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367   F/wnf 1589   [wsb 1700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701
This theorem is referenced by:  2sb5ndVD  31646  2sb5ndALT  31668
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