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Theorem sbal1OLD 2194
Description: Obsolete proof of sbal1 2193 as of 29-Sep-2018. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sbal1OLD  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal1OLD
StepHypRef Expression
1 sbequ12 1961 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  [ z  /  y ] A. x ph ) )
21sps 1814 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  [ z  /  y ] A. x ph )
)
3 sbequ12 1961 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  y ] ph ) )
43sps 1814 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( ph  <->  [ z  /  y ] ph ) )
54dral2 2039 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  A. x [ z  / 
y ] ph )
)
62, 5bitr3d 255 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( [ z  / 
y ] A. x ph 
<-> 
A. x [ z  /  y ] ph ) )
76a1d 25 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( [ z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) ) )
8 nfa1 1845 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x ph
98nfsb4 2104 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ x [ z  /  y ] A. x ph )
109nfrd 1823 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  ->  A. x [ z  / 
y ] A. x ph ) )
11 sp 1808 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ph  ->  ph )
1211sbimi 1717 . . . . . . 7  |-  ( [ z  /  y ] A. x ph  ->  [ z  /  y ]
ph )
1312alimi 1614 . . . . . 6  |-  ( A. x [ z  /  y ] A. x ph  ->  A. x [ z  / 
y ] ph )
1410, 13syl6 33 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  ->  A. x [ z  / 
y ] ph )
)
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  ->  A. x [ z  / 
y ] ph )
)
16 sb4 2070 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( [
z  /  y ]
ph  ->  A. y ( y  =  z  ->  ph )
) )
1716al2imi 1616 . . . . . . 7  |-  ( A. x  -.  A. y  y  =  z  ->  ( A. x [ z  / 
y ] ph  ->  A. x A. y ( y  =  z  ->  ph ) ) )
1817hbnaes 2032 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  ->  A. x A. y ( y  =  z  ->  ph ) ) )
19 ax-11 1791 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( y  =  z  ->  ph )  ->  A. y A. x
( y  =  z  ->  ph ) )
2018, 19syl6 33 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  ->  A. y A. x ( y  =  z  ->  ph ) ) )
21 dveeq2 2015 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)
22 alim 1613 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( y  =  z  ->  ph )  -> 
( A. x  y  =  z  ->  A. x ph ) )
2321, 22syl9 71 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. x ( y  =  z  ->  ph )  -> 
( y  =  z  ->  A. x ph )
) )
2423al2imi 1616 . . . . . . 7  |-  ( A. y  -.  A. x  x  =  z  ->  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  ->  A. y
( y  =  z  ->  A. x ph )
) )
25 sb2 2066 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  =  z  ->  A. x ph )  ->  [ z  /  y ] A. x ph )
2624, 25syl6 33 . . . . . 6  |-  ( A. y  -.  A. x  x  =  z  ->  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  ->  [ z  /  y ] A. x ph ) )
2726hbnaes 2032 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  ->  [ z  /  y ] A. x ph )
)
2820, 27sylan9 657 . . . 4  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  ->  [ z  /  y ] A. x ph ) )
2915, 28impbid 191 . . 3  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
3029ex 434 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( [ z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) ) )
317, 30pm2.61i 164 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377   [wsb 1711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712
This theorem is referenced by: (None)
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