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Theorem sbal1 2193
Description: A theorem used in elimination of disjoint variable restriction on  x and  y by replacing it with a distinctor  -.  A. x x  =  z. (Contributed by NM, 15-May-1993.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 3-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sbal1  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal1
StepHypRef Expression
1 sb4b 2071 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. y
( y  =  z  ->  A. x ph )
) )
2 nfnae 2031 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  z
3 nfeqf2 2014 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ x  y  =  z )
4 19.21t 1852 . . . . . . . 8  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  ( A. x
( y  =  z  ->  ph )  <->  ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
54bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( F/ x  y  =  z  ->  ( ( y  =  z  ->  A. x ph )  <->  A. x ( y  =  z  ->  ph )
) )
63, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( (
y  =  z  ->  A. x ph )  <->  A. x
( y  =  z  ->  ph ) ) )
72, 6albid 1833 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. y ( y  =  z  ->  A. x ph )  <->  A. y A. x
( y  =  z  ->  ph ) ) )
81, 7sylan9bbr 700 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. y A. x ( y  =  z  ->  ph ) ) )
9 nfnae 2031 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
10 sb4b 2071 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( [
z  /  y ]
ph 
<-> 
A. y ( y  =  z  ->  ph )
) )
119, 10albid 1833 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  <->  A. x A. y
( y  =  z  ->  ph ) ) )
12 alcom 1794 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( y  =  z  ->  ph )  <->  A. y A. x ( y  =  z  ->  ph ) )
1311, 12syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  <->  A. y A. x
( y  =  z  ->  ph ) ) )
1413adantl 466 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. x [ z  /  y ] ph  <->  A. y A. x
( y  =  z  ->  ph ) ) )
158, 14bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
1615ex 434 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  ( [ z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) ) )
17 sbequ12 1961 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  [ z  /  y ] A. x ph ) )
1817sps 1814 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  [ z  /  y ] A. x ph )
)
19 sbequ12 1961 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  y ] ph ) )
2019sps 1814 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( ph  <->  [ z  /  y ] ph ) )
2120dral2 2039 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x ph  <->  A. x [ z  / 
y ] ph )
)
2218, 21bitr3d 255 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( [ z  / 
y ] A. x ph 
<-> 
A. x [ z  /  y ] ph ) )
2316, 22pm2.61d2 160 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377   F/wnf 1599   [wsb 1711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712
This theorem is referenced by:  sbal  2196  sbalOLD  2197
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