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Theorem salincl 37985
Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
salincl  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S  /\  F  e.  S )  ->  ( E  i^i  F )  e.  S )

Proof of Theorem salincl
StepHypRef Expression
1 eqidd 2423 . . 3  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S  /\  F  e.  S )  ->  ( E  i^i  F )  =  ( E  i^i  F
) )
2 inss1 3682 . . . . . . . 8  |-  ( E  i^i  F )  C_  E
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S )  ->  ( E  i^i  F )  C_  E )
4 elssuni 4245 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  S  ->  E  C_ 
U. S )
54adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S )  ->  E  C_ 
U. S )
63, 5sstrd 3474 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S )  ->  ( E  i^i  F )  C_  U. S )
7 dfss4 3707 . . . . . 6  |-  ( ( E  i^i  F ) 
C_  U. S  <->  ( U. S  \  ( U. S  \  ( E  i^i  F
) ) )  =  ( E  i^i  F
) )
86, 7sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S )  ->  ( U. S  \  ( U. S  \  ( E  i^i  F ) ) )  =  ( E  i^i  F ) )
98eqcomd 2430 . . . 4  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S )  ->  ( E  i^i  F )  =  ( U. S  \ 
( U. S  \ 
( E  i^i  F
) ) ) )
1093adant3 1025 . . 3  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S  /\  F  e.  S )  ->  ( E  i^i  F )  =  ( U. S  \ 
( U. S  \ 
( E  i^i  F
) ) ) )
11 difindi 3727 . . . . 5  |-  ( U. S  \  ( E  i^i  F ) )  =  ( ( U. S  \  E )  u.  ( U. S  \  F ) )
1211difeq2i 3580 . . . 4  |-  ( U. S  \  ( U. S  \  ( E  i^i  F
) ) )  =  ( U. S  \ 
( ( U. S  \  E )  u.  ( U. S  \  F ) ) )
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S  /\  F  e.  S )  ->  ( U. S  \  ( U. S  \  ( E  i^i  F ) ) )  =  ( U. S  \  ( ( U. S  \  E )  u.  ( U. S  \  F ) ) ) )
141, 10, 133eqtrd 2467 . 2  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S  /\  F  e.  S )  ->  ( E  i^i  F )  =  ( U. S  \ 
( ( U. S  \  E )  u.  ( U. S  \  F ) ) ) )
15 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S  /\  F  e.  S )  ->  S  e. SAlg )
16 saldifcl 37981 . . . . 5  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S )  ->  ( U. S  \  E )  e.  S )
17163adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S  /\  F  e.  S )  ->  ( U. S  \  E )  e.  S )
18 saldifcl 37981 . . . . 5  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  F  e.  S )  ->  ( U. S  \  F )  e.  S )
19183adant2 1024 . . . 4  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S  /\  F  e.  S )  ->  ( U. S  \  F )  e.  S )
20 saluncl 37979 . . . 4  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  ( U. S  \  E )  e.  S  /\  ( U. S  \  F )  e.  S )  -> 
( ( U. S  \  E )  u.  ( U. S  \  F ) )  e.  S )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S  /\  F  e.  S )  ->  (
( U. S  \  E )  u.  ( U. S  \  F ) )  e.  S )
22 saldifcl 37981 . . 3  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  (
( U. S  \  E )  u.  ( U. S  \  F ) )  e.  S )  ->  ( U. S  \  ( ( U. S  \  E )  u.  ( U. S  \  F ) ) )  e.  S
)
2315, 21, 22syl2anc 665 . 2  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S  /\  F  e.  S )  ->  ( U. S  \  (
( U. S  \  E )  u.  ( U. S  \  F ) ) )  e.  S
)
2414, 23eqeltrd 2510 1  |-  ( ( S  e. SAlg  /\  E  e.  S  /\  F  e.  S )  ->  ( E  i^i  F )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   U.cuni 4216  SAlgcsalg 37970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-salg 37971
This theorem is referenced by:  saldifcl2  37988
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