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Theorem salgenval 38294
Description: The sigma-algebra generated by a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
salgenval  |-  ( X  e.  V  ->  (SalGen `  X )  =  |^| { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s
) } )
Distinct variable group:    X, s
Allowed substitution hint:    V( s)

Proof of Theorem salgenval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-salgen 38286 . . 3  |- SalGen  =  ( x  e.  _V  |->  |^|
{ s  e. SAlg  | 
( U. s  = 
U. x  /\  x  C_  s ) } )
21a1i 11 . 2  |-  ( X  e.  V  -> SalGen  =  ( x  e.  _V  |->  |^|
{ s  e. SAlg  | 
( U. s  = 
U. x  /\  x  C_  s ) } ) )
3 unieq 4198 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  U. x  =  U. X )
43eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( U. s  =  U. x 
<-> 
U. s  =  U. X ) )
5 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  s  <->  X  C_  s
) )
64, 5anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( U. s  = 
U. x  /\  x  C_  s )  <->  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s ) ) )
76rabbidv 3022 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. x  /\  x  C_  s ) }  =  { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s ) } )
87inteqd 4231 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  |^| { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. x  /\  x  C_  s ) }  =  |^| { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s ) } )
98adantl 473 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  x  =  X )  ->  |^| { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. x  /\  x  C_  s ) }  =  |^| { s  e. SAlg  | 
( U. s  = 
U. X  /\  X  C_  s ) } )
10 elex 3040 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
11 uniexg 6607 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  U. X  e.  _V )
12 pwsal 38288 . . . . . . 7  |-  ( U. X  e.  _V  ->  ~P
U. X  e. SAlg )
1311, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( X  e.  V  ->  ~P U. X  e. SAlg )
14 unipw 4650 . . . . . . 7  |-  U. ~P U. X  =  U. X
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( X  e.  V  ->  U. ~P U. X  =  U. X
)
16 pwuni 4631 . . . . . . 7  |-  X  C_  ~P U. X
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( X  e.  V  ->  X  C_ 
~P U. X )
1813, 15, 17jca32 544 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P U. X  e. SAlg  /\  ( U. ~P U. X  =  U. X  /\  X  C_ 
~P U. X ) ) )
19 unieq 4198 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ~P U. X  ->  U. s  =  U. ~P U. X )
2019eqeq1d 2473 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ~P U. X  ->  ( U. s  = 
U. X  <->  U. ~P U. X  =  U. X ) )
21 sseq2 3440 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ~P U. X  ->  ( X  C_  s  <->  X 
C_  ~P U. X ) )
2220, 21anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( s  =  ~P U. X  ->  ( ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s )  <->  ( U. ~P U. X  =  U. X  /\  X  C_  ~P U. X ) ) )
2322elrab 3184 . . . . 5  |-  ( ~P
U. X  e.  {
s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s
) }  <->  ( ~P U. X  e. SAlg  /\  ( U. ~P U. X  = 
U. X  /\  X  C_ 
~P U. X ) ) )
2418, 23sylibr 217 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ~P U. X  e.  { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s ) } )
25 ne0i 3728 . . . 4  |-  ( ~P
U. X  e.  {
s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s
) }  ->  { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s ) }  =/=  (/) )
2624, 25syl 17 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s ) }  =/=  (/) )
27 intex 4557 . . 3  |-  ( { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s
) }  =/=  (/)  <->  |^| { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s ) }  e.  _V )
2826, 27sylib 201 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  |^| { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s ) }  e.  _V )
292, 9, 10, 28fvmptd 5969 1  |-  ( X  e.  V  ->  (SalGen `  X )  =  |^| { s  e. SAlg  |  ( U. s  =  U. X  /\  X  C_  s
) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|cint 4226    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  SAlgcsalg 38281  SalGencsalgen 38285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-salg 38282  df-salgen 38286
This theorem is referenced by:  salgencl  38303  sssalgen  38306  salgenss  38307  salgenuni  38308  issalgend  38309
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