Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salgencntex Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem salgencntex 38239
Description: This counter example shows that df-salgen 38211 needs to require that all containing sigma-algebra have the same base set. Otherwise, the intersection could lead to a set that is not a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salgencntex.a  |-  A  =  ( 0 [,] 2
)
salgencntex.s  |-  S  =  { x  e.  ~P A  |  ( x  ~<_  om  \/  ( A  \  x )  ~<_  om ) }
salgencntex.b  |-  B  =  ( 0 [,] 1
)
salgencntex.t  |-  T  =  ~P B
salgencntex.c  |-  C  =  ( S  i^i  T
)
salgencntex.z  |-  Z  = 
|^| { s  e. SAlg  |  C  C_  s }
Assertion
Ref Expression
salgencntex  |-  -.  Z  e. SAlg
Distinct variable groups:    x, A    x, B    C, s    S, s   
x, S    T, s
Allowed substitution hints:    A( s)    B( s)    C( x)    T( x)    Z( x, s)

Proof of Theorem salgencntex
Dummy variables  t 
y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 saluni 38222 . 2  |-  ( Z  e. SAlg  ->  U. Z  e.  Z
)
2 salgencntex.z . . . . . . . 8  |-  Z  = 
|^| { s  e. SAlg  |  C  C_  s }
3 salgencntex.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ~P B
4 salgencntex.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( 0 [,] 1
)
5 ovex 6342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
64, 5eqeltri 2535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
_V
7 pwsal 38213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  ~P B  e. SAlg )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P B  e. SAlg
93, 8eqeltri 2535 . . . . . . . . . . 11  |-  T  e. SAlg
10 salgencntex.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( S  i^i  T
)
11 inss2 3664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  i^i  T )  C_  T
1210, 11eqsstri 3473 . . . . . . . . . . 11  |-  C  C_  T
139, 12pm3.2i 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e. SAlg  /\  C  C_  T
)
14 sseq2 3465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  T  ->  ( C  C_  s  <->  C  C_  T
) )
1514elrab 3207 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  { s  e. SAlg  |  C  C_  s }  <-> 
( T  e. SAlg  /\  C  C_  T ) )
1613, 15mpbir 214 . . . . . . . . 9  |-  T  e. 
{ s  e. SAlg  |  C  C_  s }
17 intss1 4262 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  { s  e. SAlg  |  C  C_  s }  ->  |^| { s  e. SAlg  |  C  C_  s } 
C_  T )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  |^| { s  e. SAlg  |  C  C_  s }  C_  T
192, 18eqsstri 3473 . . . . . . 7  |-  Z  C_  T
2019unissi 4234 . . . . . 6  |-  U. Z  C_ 
U. T
213unieqi 4220 . . . . . . 7  |-  U. T  =  U. ~P B
22 unipw 4663 . . . . . . 7  |-  U. ~P B  =  B
2321, 22eqtri 2483 . . . . . 6  |-  U. T  =  B
2420, 23sseqtri 3475 . . . . 5  |-  U. Z  C_  B
25 sseq2 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  t  ->  ( C  C_  s  <->  C  C_  t
) )
2625elrab 3207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  { s  e. SAlg  |  C  C_  s }  <-> 
( t  e. SAlg  /\  C  C_  t ) )
2726biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  { s  e. SAlg  |  C  C_  s }  ->  ( t  e. SAlg  /\  C  C_  t ) )
2827simprd 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  { s  e. SAlg  |  C  C_  s }  ->  C  C_  t
)
2928adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  B  /\  t  e.  { s  e. SAlg  |  C  C_  s } )  ->  C  C_  t )
30 0red 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  B  ->  0  e.  RR )
31 2re 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  B  ->  2  e.  RR )
33 unitssre 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  B )
3534, 4syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( 0 [,] 1
) )
3633, 35sseldi 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  RR )
3730rexrd 9715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  B  ->  0  e.  RR* )
38 1re 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  RR
3938rexri 9718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  B  ->  1  e.  RR* )
41 iccgelb 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  0  <_  y )
4237, 40, 35, 41syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  B  ->  0  <_  y )
4338a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  B  ->  1  e.  RR )
44 iccleub 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  y  <_  1 )
4537, 40, 35, 44syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  B  ->  y  <_  1 )
46 1le2 10851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <_  2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  B  ->  1  <_  2 )
4836, 43, 32, 45, 47letrd 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  B  ->  y  <_  2 )
4930, 32, 36, 42, 48eliccd 37638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( 0 [,] 2
) )
50 salgencntex.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A  =  ( 0 [,] 2
)
5149, 50syl6eleqr 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  A )
52 snelpwi 4658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  e.  ~P A
)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  e.  ~P A
)
54 snfi 7675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { y }  e.  Fin
55 fict 8183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( { y }  e.  Fin  ->  { y }  ~<_  om )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { y }  ~<_  om
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  ~<_  om )
58 orc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { y }  ~<_  om  ->  ( { y }  ~<_  om  \/  ( A  \  { y } )  ~<_  om )
)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  B  ->  ( { y }  ~<_  om  \/  ( A  \  { y } )  ~<_  om )
)
6053, 59jca 539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  B  ->  ( { y }  e.  ~P A  /\  ( { y }  ~<_  om  \/  ( A  \  { y } )  ~<_  om )
) )
61 breq1 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  ~<_  om  <->  { y }  ~<_  om )
)
62 difeq2 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  { y }  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  { y } ) )
6362breq1d 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  { y }  ->  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  <->  ( A  \  { y } )  ~<_  om )
)
6461, 63orbi12d 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  { y }  ->  ( ( x  ~<_  om  \/  ( A 
\  x )  ~<_  om )  <->  ( { y }  ~<_  om  \/  ( A  \  { y } )  ~<_  om ) ) )
65 salgencntex.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  { x  e.  ~P A  |  ( x  ~<_  om  \/  ( A  \  x )  ~<_  om ) }
6664, 65elrab2 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { y }  e.  S  <->  ( { y }  e.  ~P A  /\  ( { y }  ~<_  om  \/  ( A  \  { y } )  ~<_  om )
) )
6760, 66sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  e.  S )
68 snelpwi 4658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  e.  ~P B
)
6968, 3syl6eleqr 2550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  e.  T )
7067, 69elind 3629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  e.  ( S  i^i  T ) )
7110eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  i^i  T )  =  C
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  B  ->  ( S  i^i  T )  =  C )
7370, 72eleqtrd 2541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  e.  C )
7473adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  B  /\  t  e.  { s  e. SAlg  |  C  C_  s } )  ->  { y }  e.  C )
7529, 74sseldd 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  B  /\  t  e.  { s  e. SAlg  |  C  C_  s } )  ->  { y }  e.  t )
7675ralrimiva 2813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  ->  A. t  e.  { s  e. SAlg  |  C  C_  s }  {
y }  e.  t )
77 snex 4654 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y }  e.  _V
7877elint2 4254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y }  e.  |^| { s  e. SAlg  |  C  C_  s }  <->  A. t  e.  { s  e. SAlg  |  C  C_  s }  {
y }  e.  t )
7976, 78sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  e.  |^| { s  e. SAlg  |  C  C_  s } )
8079, 2syl6eleqr 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  e.  Z )
81 snidg 4005 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  { y } )
82 eleq2 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { y }  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  {
y } ) )
8382rspcev 3161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y }  e.  Z  /\  y  e.  {
y } )  ->  E. w  e.  Z  y  e.  w )
8480, 81, 83syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  E. w  e.  Z  y  e.  w )
85 eluni2 4215 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U. Z  <->  E. w  e.  Z  y  e.  w )
8684, 85sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  U. Z )
8786rgen 2758 . . . . . 6  |-  A. y  e.  B  y  e.  U. Z
88 dfss3 3433 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  U. Z  <->  A. y  e.  B  y  e.  U. Z )
8987, 88mpbir 214 . . . . 5  |-  B  C_  U. Z
9024, 89eqssi 3459 . . . 4  |-  U. Z  =  B
91 ovex 6342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] 2 )  e. 
_V
9250, 91eqeltri 2535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
_V
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  A  e.  _V )
9493, 65salexct 38230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  S  e. SAlg )
9594trud 1463 . . . . . . . . . 10  |-  S  e. SAlg
96 inss1 3663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  i^i  T )  C_  S
9710, 96eqsstri 3473 . . . . . . . . . 10  |-  C  C_  S
9895, 97pm3.2i 461 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. SAlg  /\  C  C_  S
)
99 sseq2 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( C  C_  s  <->  C  C_  S
) )
10099elrab 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  { s  e. SAlg  |  C  C_  s }  <-> 
( S  e. SAlg  /\  C  C_  S ) )
10198, 100mpbir 214 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
{ s  e. SAlg  |  C  C_  s }
102 intss1 4262 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { s  e. SAlg  |  C  C_  s }  ->  |^| { s  e. SAlg  |  C  C_  s } 
C_  S )
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  |^| { s  e. SAlg  |  C  C_  s }  C_  S
1042, 103eqsstri 3473 . . . . . 6  |-  Z  C_  S
105104sseli 3439 . . . . 5  |-  ( B  e.  Z  ->  B  e.  S )
10650, 65, 4salexct2 38235 . . . . . 6  |-  -.  B  e.  S
107106a1i 11 . . . . 5  |-  ( B  e.  Z  ->  -.  B  e.  S )
108105, 107pm2.65i 178 . . . 4  |-  -.  B  e.  Z
10990, 108eqneltri 37458 . . 3  |-  -.  U. Z  e.  Z
110109a1i 11 . 2  |-  ( Z  e. SAlg  ->  -.  U. Z  e.  Z )
1111, 110pm2.65i 178 1  |-  -.  Z  e. SAlg
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1454   T. wtru 1455    e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749   {crab 2752   _Vcvv 3056    \ cdif 3412    i^i cin 3414    C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   {csn 3979   U.cuni 4211   |^|cint 4247   class class class wbr 4415  (class class class)co 6314   omcom 6718    ~<_ cdom 7592   Fincfn 7594   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565   RR*cxr 9699    <_ cle 9701   2c2 10686   [,]cicc 11666  SAlgcsalg 38206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cc 8890  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-omul 7212  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-acn 8401  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-limsup 13574  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-topgen 15390  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-ntr 20083  df-salg 38207
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator