Theorem salexct 38230

Description: An example of non trivial sigma-algebra: the collection of all subsets which either are countable or have countable complement. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct.a	|- ( ph -> A e. V )
salexct.b	|- S = { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) }

Assertion

Ref	Expression
salexct	|- ( ph -> S e. SAlg )

Distinct variable groups:   x, A   x, S   ph, x

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem salexct

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salexct.b	. . 3 |- S = { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) }
2		salexct.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
3		pwexg 4600	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ~P A e. _V )
5		rabexg 4566	. . . 4 |- ( ~P A e. _V -> { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) } e. _V )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) } e. _V )
7	1, 6	syl5eqel 2543	. 2 |- ( ph -> S e. _V )
8		0elpw 4585	. . . . 5 |- (/) e. ~P A
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. ~P A )
10		0fin 7824	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
11		fict 8183	. . . . . . 7 |- ( (/) e. Fin -> (/) ~<_ om )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (/) ~<_ om
13	12	orci 396	. . . . 5 |- ( (/) ~<_ om \/ ( A \ (/) ) ~<_ om )
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) ~<_ om \/ ( A \ (/) ) ~<_ om ) )
15	9, 14	jca 539	. . 3 |- ( ph -> ( (/) e. ~P A /\ ( (/) ~<_ om \/ ( A \ (/) ) ~<_ om ) ) )
16		breq1 4418	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x ~<_ om <-> (/) ~<_ om ) )
17		difeq2 3556	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A \ x ) = ( A \ (/) ) )
18	17	breq1d 4425	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A \ x ) ~<_ om <-> ( A \ (/) ) ~<_ om ) )
19	16, 18	orbi12d 721	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) <-> ( (/) ~<_ om \/ ( A \ (/) ) ~<_ om ) ) )
20	19, 1	elrab2 3209	. . 3 |- ( (/) e. S <-> ( (/) e. ~P A /\ ( (/) ~<_ om \/ ( A \ (/) ) ~<_ om ) ) )
21	15, 20	sylibr 217	. 2 |- ( ph -> (/) e. S )
22		snidg 4005	. . . . . 6 |- ( y e. A -> y e. { y } )
23		snelpwi 4658	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> { y } e. ~P A )
24		snfi 7675	. . . . . . . . . . 11 |- { y } e. Fin
25		fict 8183	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y } e. Fin -> { y } ~<_ om )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- { y } ~<_ om
27	26	orci 396	. . . . . . . . 9 |- ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om )
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) )
29	23, 28	jca 539	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( { y } e. ~P A /\ ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) ) )
30		breq1 4418	. . . . . . . . 9 |- ( x = { y } -> ( x ~<_ om <-> { y } ~<_ om ) )
31		difeq2 3556	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { y } -> ( A \ x ) = ( A \ { y } ) )
32	31	breq1d 4425	. . . . . . . . 9 |- ( x = { y } -> ( ( A \ x ) ~<_ om <-> ( A \ { y } ) ~<_ om ) )
33	30, 32	orbi12d 721	. . . . . . . 8 |- ( x = { y } -> ( ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) <-> ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) ) )
34	33, 1	elrab2 3209	. . . . . . 7 |- ( { y } e. S <-> ( { y } e. ~P A /\ ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) ) )
35	29, 34	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( y e. A -> { y } e. S )
36		elunii 4216	. . . . . 6 |- ( ( y e. { y } /\ { y } e. S ) -> y e. U. S )
37	22, 35, 36	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( y e. A -> y e. U. S )
38	37	rgen 2758	. . . 4 |- A. y e. A y e. U. S
39		dfss3 3433	. . . 4 |- ( A C_ U. S <-> A. y e. A y e. U. S )
40	38, 39	mpbir 214	. . 3 |- A C_ U. S
41		ssrab2 3525	. . . . . 6 |- { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) } C_ ~P A
42	1, 41	eqsstri 3473	. . . . 5 |- S C_ ~P A
43	42	unissi 4234	. . . 4 |- U. S C_ U. ~P A
44		unipw 4663	. . . 4 |- U. ~P A = A
45	43, 44	sseqtri 3475	. . 3 |- U. S C_ A
46	40, 45	eqssi 3459	. 2 |- A = U. S
47		difssd 3572	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A \ x ) C_ A )
48	2, 47	ssexd 4563	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A \ x ) e. _V )
49		elpwg 3970	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ x ) e. _V -> ( ( A \ x ) e. ~P A <-> ( A \ x ) C_ A ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A \ x ) e. ~P A <-> ( A \ x ) C_ A ) )
51	47, 50	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A \ x ) e. ~P A )
52	51	ad2antrr 737	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> ( A \ x ) e. ~P A )
53	42	sseli 3439	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S -> x e. ~P A )
54		elpwi 3971	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> x C_ A )
56		dfss4 3688	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ A <-> ( A \ ( A \ x ) ) = x )
57	55, 56	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( x e. S -> ( A \ ( A \ x ) ) = x )
58	57	ad2antlr 738	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> ( A \ ( A \ x ) ) = x )
59		simpr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> x ~<_ om )
60	58, 59	eqbrtrd 4436	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om )
61		olc 390	. . . . . 6 |- ( ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om -> ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) )
63	52, 62	jca 539	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> ( ( A \ x ) e. ~P A /\ ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) ) )
64		breq1 4418	. . . . . 6 |- ( y = ( A \ x ) -> ( y ~<_ om <-> ( A \ x ) ~<_ om ) )
65		difeq2 3556	. . . . . . 7 |- ( y = ( A \ x ) -> ( A \ y ) = ( A \ ( A \ x ) ) )
66	65	breq1d 4425	. . . . . 6 |- ( y = ( A \ x ) -> ( ( A \ y ) ~<_ om <-> ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) )
67	64, 66	orbi12d 721	. . . . 5 |- ( y = ( A \ x ) -> ( ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) <-> ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) ) )
68		breq1 4418	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x ~<_ om <-> y ~<_ om ) )
69		difeq2 3556	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A \ x ) = ( A \ y ) )
70	69	breq1d 4425	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( A \ x ) ~<_ om <-> ( A \ y ) ~<_ om ) )
71	68, 70	orbi12d 721	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) <-> ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) ) )
72	71	cbvrabv 3055	. . . . . 6 |- { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) } = { y e. ~P A | ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) }
73	1, 72	eqtri 2483	. . . . 5 |- S = { y e. ~P A | ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) }
74	67, 73	elrab2 3209	. . . 4 |- ( ( A \ x ) e. S <-> ( ( A \ x ) e. ~P A /\ ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) ) )
75	63, 74	sylibr 217	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> ( A \ x ) e. S )
76	51	ad2antrr 737	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> ( A \ x ) e. ~P A )
77	1	rabeq2i 3053	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S <-> ( x e. ~P A /\ ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) ) )
78	77	biimpi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S -> ( x e. ~P A /\ ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) ) )
79	78	simprd 469	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) )
80	79	adantl 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) )
81	80	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) )
82		simpr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> -. x ~<_ om )
83		pm2.53 379	. . . . . . 7 |- ( ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) -> ( -. x ~<_ om -> ( A \ x ) ~<_ om ) )
84	81, 82, 83	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> ( A \ x ) ~<_ om )
85		orc 391	. . . . . 6 |- ( ( A \ x ) ~<_ om -> ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) )
86	84, 85	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) )
87	76, 86	jca 539	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> ( ( A \ x ) e. ~P A /\ ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) ) )
88	87, 74	sylibr 217	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> ( A \ x ) e. S )
89	75, 88	pm2.61dan 805	. 2 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( A \ x ) e. S )
90		elpwi 3971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P S -> x C_ S )
91	90	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x ) -> x C_ S )
92		simpr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x ) -> y e. x )
93	91, 92	sseldd 3444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x ) -> y e. S )
94	42	sseli 3439	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. S -> y e. ~P A )
95		elpwi 3971	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P A -> y C_ A )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. S -> y C_ A )
97	93, 96	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x ) -> y C_ A )
98	97	ralrimiva 2813	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P S -> A. y e. x y C_ A )
99		unissb 4242	. . . . . . . 8 |- ( U. x C_ A <-> A. y e. x y C_ A )
100	98, 99	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P S -> U. x C_ A )
101		vex 3059	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
102	101	uniex 6613	. . . . . . . 8 |- U. x e. _V
103	102	elpw 3968	. . . . . . 7 |- ( U. x e. ~P A <-> U. x C_ A )
104	100, 103	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( x e. ~P S -> U. x e. ~P A )
105	104	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) -> U. x e. ~P A )
106		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( x ~<_ om /\ A. y e. x y ~<_ om ) -> ( x ~<_ om /\ A. y e. x y ~<_ om ) )
107	106	adantll 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) /\ A. y e. x y ~<_ om ) -> ( x ~<_ om /\ A. y e. x y ~<_ om ) )
108		unictb 9025	. . . . . . 7 |- ( ( x ~<_ om /\ A. y e. x y ~<_ om ) -> U. x ~<_ om )
109		orc 391	. . . . . . 7 |- ( U. x ~<_ om -> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
110	107, 108, 109	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) /\ A. y e. x y ~<_ om ) -> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
111		rexnal 2847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. x -. y ~<_ om <-> -. A. y e. x y ~<_ om )
112	111	bicomi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. y e. x y ~<_ om <-> E. y e. x -. y ~<_ om )
113	112	biimpi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. y e. x y ~<_ om -> E. y e. x -. y ~<_ om )
114	113	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P S /\ -. A. y e. x y ~<_ om ) -> E. y e. x -. y ~<_ om )
115		nfv 1771	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y x e. ~P S
116		nfra1 2780	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A. y e. x y ~<_ om
117	116	nfn 1993	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y -. A. y e. x y ~<_ om
118	115, 117	nfan 2021	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( x e. ~P S /\ -. A. y e. x y ~<_ om )
119		nfv 1771	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( A \ U. x ) ~<_ om
120		elssuni 4240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. x -> y C_ U. x )
121	120	3ad2ant2 1036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x /\ -. y ~<_ om ) -> y C_ U. x )
122	121	sscond 3581	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x /\ -. y ~<_ om ) -> ( A \ U. x ) C_ ( A \ y ) )
123	93	3adant3 1034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x /\ -. y ~<_ om ) -> y e. S )
124		simp3 1016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x /\ -. y ~<_ om ) -> -. y ~<_ om )
125	73	rabeq2i 3053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. S <-> ( y e. ~P A /\ ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) ) )
126	125	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. S -> ( y e. ~P A /\ ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) ) )
127	126	simprd 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. S -> ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) )
128	127	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. S /\ -. y ~<_ om ) -> ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) )
129		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. S /\ -. y ~<_ om ) -> -. y ~<_ om )
130		pm2.53 379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) -> ( -. y ~<_ om -> ( A \ y ) ~<_ om ) )
131	128, 129, 130	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. S /\ -. y ~<_ om ) -> ( A \ y ) ~<_ om )
132	123, 124, 131	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x /\ -. y ~<_ om ) -> ( A \ y ) ~<_ om )
133		ssct 7678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A \ U. x ) C_ ( A \ y ) /\ ( A \ y ) ~<_ om ) -> ( A \ U. x ) ~<_ om )
134	122, 132, 133	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x /\ -. y ~<_ om ) -> ( A \ U. x ) ~<_ om )
135	134	3exp 1214	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P S -> ( y e. x -> ( -. y ~<_ om -> ( A \ U. x ) ~<_ om ) ) )
136	135	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P S /\ -. A. y e. x y ~<_ om ) -> ( y e. x -> ( -. y ~<_ om -> ( A \ U. x ) ~<_ om ) ) )
137	118, 119, 136	rexlimd 2882	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P S /\ -. A. y e. x y ~<_ om ) -> ( E. y e. x -. y ~<_ om -> ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
138	114, 137	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~P S /\ -. A. y e. x y ~<_ om ) -> ( A \ U. x ) ~<_ om )
139		olc 390	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ U. x ) ~<_ om -> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
140	138, 139	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P S /\ -. A. y e. x y ~<_ om ) -> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
141	140	adantlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) /\ -. A. y e. x y ~<_ om ) -> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
142	110, 141	pm2.61dan 805	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) -> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
143	105, 142	jca 539	. . . 4 |- ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) -> ( U. x e. ~P A /\ ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) ) )
144		breq1 4418	. . . . . 6 |- ( y = U. x -> ( y ~<_ om <-> U. x ~<_ om ) )
145		difeq2 3556	. . . . . . 7 |- ( y = U. x -> ( A \ y ) = ( A \ U. x ) )
146	145	breq1d 4425	. . . . . 6 |- ( y = U. x -> ( ( A \ y ) ~<_ om <-> ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
147	144, 146	orbi12d 721	. . . . 5 |- ( y = U. x -> ( ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) <-> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) ) )
148	147, 73	elrab2 3209	. . . 4 |- ( U. x e. S <-> ( U. x e. ~P A /\ ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) ) )
149	143, 148	sylibr 217	. . 3 |- ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) -> U. x e. S )
150	149	3adant1 1032	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ~P S /\ x ~<_ om ) -> U. x e. S )
151	7, 21, 46, 89, 150	issald 38229	1 |- ( ph -> S e. SAlg )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749   {crab 2752   _Vcvv 3056   \ cdif 3412   C_ wss 3415   (/)c0 3742   ~Pcpw 3962   {csn 3979   U.cuni 4211   class class class wbr 4415   omcom 6718   ~<_ cdom 7592   Fincfn 7594  SAlgcsalg 38206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cc 8890

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-oi 8050  df-card 8398  df-acn 8401  df-salg 38207

This theorem is referenced by:  salexct3  38238  salgencntex  38239  salgensscntex  38240