MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadeq Structured version   Unicode version

Theorem sadeq 13667
Description: Any element of a sequence sum only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadeq.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadeq.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadeq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
sadeq  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )

Proof of Theorem sadeq
Dummy variables  m  c  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inass 3559 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( A  i^i  ( ( 0..^ N )  i^i  (
0..^ N ) ) )
2 inidm 3558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )
32ineq2i 3548 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( ( 0..^ N )  i^i  (
0..^ N ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )
41, 3eqtri 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )
54fveq2i 5693 . . . . . 6  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )
6 inass 3559 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( B  i^i  ( ( 0..^ N )  i^i  (
0..^ N ) ) )
72ineq2i 3548 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( ( 0..^ N )  i^i  (
0..^ N ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )
86, 7eqtri 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )
98fveq2i 5693 . . . . . 6  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
105, 9oveq12i 6102 . . . . 5  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
1110oveq1i 6100 . . . 4  |-  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )
12 inss1 3569 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
13 sadeq.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
1412, 13syl5ss 3366 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
15 inss1 3569 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
16 sadeq.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
1715, 16syl5ss 3366 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
18 eqid 2442 . . . . 5  |-  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ,  m  e.  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ,  (/)  e.  c
) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )  =  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ,  m  e.  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ,  (/)  e.  c
) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
19 sadeq.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
20 eqid 2442 . . . . 5  |-  `' (bits  |`  NN0 )  =  `' (bits  |`  NN0 )
2114, 17, 18, 19, 20sadadd3 13656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )
22 eqid 2442 . . . . 5  |-  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
2313, 16, 22, 19, 20sadadd3 13656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
2411, 21, 233eqtr4a 2500 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
25 inss1 3569 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
26 sadcl 13657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )  ->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  C_  NN0 )
2714, 17, 26syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  C_  NN0 )
2825, 27syl5ss 3366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
29 fzofi 11795 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
31 inss2 3570 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
32 ssfi 7532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
3330, 31, 32sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
34 elfpw 7612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 
/\  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
3528, 33, 34sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )
)
36 bitsf1o 13640 . . . . . . . 8  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
37 f1ocnv 5652 . . . . . . . 8  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
38 f1of 5640 . . . . . . . 8  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0
4039ffvelrni 5841 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
4135, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
4241nn0red 10636 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
43 2rp 10995 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
4443a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
4519nn0zd 10744 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4644, 45rpexpcld 12030 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
4741nn0ge0d 10638 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
48 fvres 5703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
4941, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
50 f1ocnvfv2 5983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )
)  ->  ( (bits  |` 
NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
5136, 35, 50sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
5249, 51eqtr3d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
5352, 31syl6eqss 3405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) )
5441nn0zd 10744 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
55 bitsfzo 13630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
5654, 19, 55syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
5753, 56mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
58 elfzolt2 11560 . . . . 5  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  -> 
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  (
2 ^ N ) )
5957, 58syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  (
2 ^ N ) )
60 modid 11731 . . . 4  |-  ( ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR  /\  (
2 ^ N )  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  /\  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )  ->  (
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
6142, 46, 47, 59, 60syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
62 inss1 3569 . . . . . . . 8  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( A sadd  B )
63 sadcl 13657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  C_  NN0 )
6413, 16, 63syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B ) 
C_  NN0 )
6562, 64syl5ss 3366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
66 inss2 3570 . . . . . . . 8  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
67 ssfi 7532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
6830, 66, 67sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
69 elfpw 7612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) 
<->  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
7065, 68, 69sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
7139ffvelrni 5841 . . . . . 6  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
7270, 71syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
7372nn0red 10636 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
7472nn0ge0d 10638 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
75 fvres 5703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
7672, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
77 f1ocnvfv2 5983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )  -> 
( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
7836, 70, 77sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
7976, 78eqtr3d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
8079, 66syl6eqss 3405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) )
8172nn0zd 10744 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
82 bitsfzo 13630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
8381, 19, 82syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
8480, 83mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
85 elfzolt2 11560 . . . . 5  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
8684, 85syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
87 modid 11731 . . . 4  |-  ( ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR  /\  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  /\  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )  ->  (
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
8873, 46, 74, 86, 87syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
8924, 61, 883eqtr3rd 2483 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
90 f1of1 5639 . . . . 5  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-> NN0 )
9136, 37, 90mp2b 10 . . . 4  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-> NN0
92 f1fveq 5974 . . . 4  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-> NN0  /\  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  /\  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) ) )  -> 
( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( ( A sadd  B )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
9391, 92mpan 670 . . 3  |-  ( ( ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )  ->  (
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
9470, 35, 93syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( ( A sadd  B )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
9589, 94mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369  caddwcad 1420    e. wcel 1756    i^i cin 3326    C_ wss 3327   (/)c0 3636   ifcif 3790   ~Pcpw 3859   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   `'ccnv 4838    |` cres 4841   -->wf 5413   -1-1->wf1 5414   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   1oc1o 6912   2oc2o 6913   Fincfn 7309   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594   2c2 10370   NN0cn0 10578   ZZcz 10645   RR+crp 10990  ..^cfzo 11547    mod cmo 11707    seqcseq 11805   ^cexp 11864  bitscbits 13614   sadd csad 13615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-fal 1375  df-had 1421  df-cad 1422  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-disj 4262  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-mod 11708  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-sum 13163  df-dvds 13535  df-bits 13617  df-sad 13646
This theorem is referenced by:  smuval2  13677  smueqlem  13685
  Copyright terms: Public domain W3C validator