MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadeq Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sadeq 14439
Description: Any element of a sequence sum only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadeq.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadeq.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadeq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
sadeq  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )

Proof of Theorem sadeq
Dummy variables  m  c  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inass 3641 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( A  i^i  ( ( 0..^ N )  i^i  (
0..^ N ) ) )
2 inidm 3640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )
32ineq2i 3630 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( ( 0..^ N )  i^i  (
0..^ N ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )
41, 3eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )
54fveq2i 5866 . . . . . 6  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )
6 inass 3641 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( B  i^i  ( ( 0..^ N )  i^i  (
0..^ N ) ) )
72ineq2i 3630 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( ( 0..^ N )  i^i  (
0..^ N ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )
86, 7eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )
98fveq2i 5866 . . . . . 6  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
105, 9oveq12i 6300 . . . . 5  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
1110oveq1i 6298 . . . 4  |-  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )
12 inss1 3651 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
13 sadeq.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
1412, 13syl5ss 3442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
15 inss1 3651 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
16 sadeq.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
1715, 16syl5ss 3442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
18 eqid 2450 . . . . 5  |-  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ,  m  e.  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ,  (/)  e.  c
) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )  =  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ,  m  e.  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ,  (/)  e.  c
) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
19 sadeq.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
20 eqid 2450 . . . . 5  |-  `' (bits  |`  NN0 )  =  `' (bits  |`  NN0 )
2114, 17, 18, 19, 20sadadd3 14428 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )
22 eqid 2450 . . . . 5  |-  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
2313, 16, 22, 19, 20sadadd3 14428 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
2411, 21, 233eqtr4a 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
25 inss1 3651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
26 sadcl 14429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )  ->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  C_  NN0 )
2714, 17, 26syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  C_  NN0 )
2825, 27syl5ss 3442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
29 fzofi 12184 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
31 inss2 3652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
32 ssfi 7789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
3330, 31, 32sylancl 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
34 elfpw 7873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 
/\  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
3528, 33, 34sylanbrc 669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )
)
36 bitsf1o 14412 . . . . . . . 8  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
37 f1ocnv 5824 . . . . . . . 8  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
38 f1of 5812 . . . . . . . 8  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0
4039ffvelrni 6019 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
4135, 40syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
4241nn0red 10923 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
43 2rp 11304 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
4443a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
4519nn0zd 11035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4644, 45rpexpcld 12436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
4741nn0ge0d 10925 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
48 fvres 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
4941, 48syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
50 f1ocnvfv2 6174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )
)  ->  ( (bits  |` 
NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
5136, 35, 50sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
5249, 51eqtr3d 2486 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
5352, 31syl6eqss 3481 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) )
5441nn0zd 11035 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
55 bitsfzo 14402 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
5654, 19, 55syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
5753, 56mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
58 elfzolt2 11926 . . . . 5  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  -> 
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  (
2 ^ N ) )
5957, 58syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  (
2 ^ N ) )
60 modid 12118 . . . 4  |-  ( ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR  /\  (
2 ^ N )  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  /\  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )  ->  (
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
6142, 46, 47, 59, 60syl22anc 1268 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
62 inss1 3651 . . . . . . . 8  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( A sadd  B )
63 sadcl 14429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  C_  NN0 )
6413, 16, 63syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B ) 
C_  NN0 )
6562, 64syl5ss 3442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
66 inss2 3652 . . . . . . . 8  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
67 ssfi 7789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
6830, 66, 67sylancl 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
69 elfpw 7873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) 
<->  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
7065, 68, 69sylanbrc 669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
7139ffvelrni 6019 . . . . . 6  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
7270, 71syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
7372nn0red 10923 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
7472nn0ge0d 10925 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
75 fvres 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
7672, 75syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
77 f1ocnvfv2 6174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )  -> 
( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
7836, 70, 77sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
7976, 78eqtr3d 2486 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
8079, 66syl6eqss 3481 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) )
8172nn0zd 11035 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
82 bitsfzo 14402 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
8381, 19, 82syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
8480, 83mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
85 elfzolt2 11926 . . . . 5  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
8684, 85syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
87 modid 12118 . . . 4  |-  ( ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR  /\  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  /\  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )  ->  (
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
8873, 46, 74, 86, 87syl22anc 1268 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
8924, 61, 883eqtr3rd 2493 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
90 f1of1 5811 . . . . 5  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-> NN0 )
9136, 37, 90mp2b 10 . . . 4  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-> NN0
92 f1fveq 6161 . . . 4  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-> NN0  /\  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  /\  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) ) )  -> 
( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( ( A sadd  B )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
9391, 92mpan 675 . . 3  |-  ( ( ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )  ->  (
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
9470, 35, 93syl2anc 666 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( ( A sadd  B )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
9589, 94mpbid 214 1  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443  caddwcad 1508    e. wcel 1886    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ifcif 3880   ~Pcpw 3950   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   `'ccnv 4832    |` cres 4835   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    |-> cmpt2 6290   1oc1o 7172   2oc2o 7173   Fincfn 7566   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   2c2 10656   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   RR+crp 11299  ..^cfzo 11912    mod cmo 12093    seqcseq 12210   ^cexp 12269  bitscbits 14385   sadd csad 14386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-xor 1405  df-tru 1446  df-fal 1449  df-had 1496  df-cad 1509  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-dvds 14299  df-bits 14388  df-sad 14418
This theorem is referenced by:  smuval2  14449  smueqlem  14457
  Copyright terms: Public domain W3C validator