MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadeq Structured version   Unicode version

Theorem sadeq 14134
Description: Any element of a sequence sum only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadeq.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadeq.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadeq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
sadeq  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )

Proof of Theorem sadeq
Dummy variables  m  c  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inass 3704 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( A  i^i  ( ( 0..^ N )  i^i  (
0..^ N ) ) )
2 inidm 3703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )
32ineq2i 3693 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( ( 0..^ N )  i^i  (
0..^ N ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )
41, 3eqtri 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )
54fveq2i 5875 . . . . . 6  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )
6 inass 3704 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( B  i^i  ( ( 0..^ N )  i^i  (
0..^ N ) ) )
72ineq2i 3693 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( ( 0..^ N )  i^i  (
0..^ N ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )
86, 7eqtri 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )
98fveq2i 5875 . . . . . 6  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
105, 9oveq12i 6308 . . . . 5  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
1110oveq1i 6306 . . . 4  |-  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )
12 inss1 3714 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
13 sadeq.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
1412, 13syl5ss 3510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
15 inss1 3714 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
16 sadeq.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
1715, 16syl5ss 3510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
18 eqid 2457 . . . . 5  |-  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ,  m  e.  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ,  (/)  e.  c
) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )  =  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ,  m  e.  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ,  (/)  e.  c
) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
19 sadeq.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
20 eqid 2457 . . . . 5  |-  `' (bits  |`  NN0 )  =  `' (bits  |`  NN0 )
2114, 17, 18, 19, 20sadadd3 14123 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )
22 eqid 2457 . . . . 5  |-  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
2313, 16, 22, 19, 20sadadd3 14123 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
2411, 21, 233eqtr4a 2524 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
25 inss1 3714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
26 sadcl 14124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )  ->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  C_  NN0 )
2714, 17, 26syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  C_  NN0 )
2825, 27syl5ss 3510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
29 fzofi 12087 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
31 inss2 3715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
32 ssfi 7759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
3330, 31, 32sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
34 elfpw 7840 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 
/\  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
3528, 33, 34sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )
)
36 bitsf1o 14107 . . . . . . . 8  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
37 f1ocnv 5834 . . . . . . . 8  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
38 f1of 5822 . . . . . . . 8  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0
4039ffvelrni 6031 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
4135, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
4241nn0red 10874 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
43 2rp 11250 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
4443a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
4519nn0zd 10988 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4644, 45rpexpcld 12336 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
4741nn0ge0d 10876 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
48 fvres 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
4941, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
50 f1ocnvfv2 6184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )
)  ->  ( (bits  |` 
NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
5136, 35, 50sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
5249, 51eqtr3d 2500 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
5352, 31syl6eqss 3549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) )
5441nn0zd 10988 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
55 bitsfzo 14097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
5654, 19, 55syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
5753, 56mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
58 elfzolt2 11835 . . . . 5  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  -> 
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  (
2 ^ N ) )
5957, 58syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  (
2 ^ N ) )
60 modid 12023 . . . 4  |-  ( ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR  /\  (
2 ^ N )  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  /\  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )  ->  (
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
6142, 46, 47, 59, 60syl22anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
62 inss1 3714 . . . . . . . 8  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( A sadd  B )
63 sadcl 14124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  C_  NN0 )
6413, 16, 63syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B ) 
C_  NN0 )
6562, 64syl5ss 3510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
66 inss2 3715 . . . . . . . 8  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
67 ssfi 7759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
6830, 66, 67sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
69 elfpw 7840 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) 
<->  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
7065, 68, 69sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
7139ffvelrni 6031 . . . . . 6  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
7270, 71syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
7372nn0red 10874 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
7472nn0ge0d 10876 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
75 fvres 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
7672, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
77 f1ocnvfv2 6184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )  -> 
( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
7836, 70, 77sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
7976, 78eqtr3d 2500 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
8079, 66syl6eqss 3549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) )
8172nn0zd 10988 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
82 bitsfzo 14097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
8381, 19, 82syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
8480, 83mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
85 elfzolt2 11835 . . . . 5  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
8684, 85syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
87 modid 12023 . . . 4  |-  ( ( ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR  /\  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  /\  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )  ->  (
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
8873, 46, 74, 86, 87syl22anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
8924, 61, 883eqtr3rd 2507 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
90 f1of1 5821 . . . . 5  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-> NN0 )
9136, 37, 90mp2b 10 . . . 4  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-> NN0
92 f1fveq 6171 . . . 4  |-  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-> NN0  /\  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  /\  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) ) )  -> 
( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( ( A sadd  B )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
9391, 92mpan 670 . . 3  |-  ( ( ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )  ->  (
( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
9470, 35, 93syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( `' (bits  |`  NN0 ) `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( ( A sadd  B )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
9589, 94mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395  caddwcad 1446    e. wcel 1819    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007    |` cres 5010   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   1oc1o 7141   2oc2o 7142   Fincfn 7535   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   RR+crp 11245  ..^cfzo 11821    mod cmo 11999    seqcseq 12110   ^cexp 12169  bitscbits 14081   sadd csad 14082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-fal 1401  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-dvds 13999  df-bits 14084  df-sad 14113
This theorem is referenced by:  smuval2  14144  smueqlem  14152
  Copyright terms: Public domain W3C validator