Theorem sadcom 13747

Description: The adder sequence function is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sadcom	|- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( A sadd B ) = ( B sadd A ) )

Proof of Theorem sadcom

Dummy variables k c m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hadcoma 1430	. . . 4 |- (hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) <-> hadd ( k e. B , k e. A , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> (hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) <-> hadd ( k e. B , k e. A , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) ) )
3	2	rabbidv 3046	. 2 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) } = { k e. NN0 | hadd ( k e. B , k e. A , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) } )
4		simpl 457	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> A C_ NN0 )
5		simpr 461	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> B C_ NN0 )
6		eqid 2450	. . 3 |- seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
7	4, 5, 6	sadfval 13736	. 2 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( A sadd B ) = { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) } )
8		cadcoma 1438	. . . . . . 7 |- (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) <-> cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) )
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( c e. 2o /\ m e. NN0 ) -> (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) <-> cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) ) )
10	9	ifbid 3895	. . . . 5 |- ( ( c e. 2o /\ m e. NN0 ) -> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) = if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) )
11	10	mpt2eq3ia 6236	. . . 4 |- ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) = ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) )
12		seqeq2 11897	. . . 4 |- ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) = ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) -> seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
14	5, 4, 13	sadfval 13736	. 2 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( B sadd A ) = { k e. NN0 | hadd ( k e. B , k e. A , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) } )
15	3, 7, 14	3eqtr4d 2500	1 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( A sadd B ) = ( B sadd A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370  haddwhad 1420  caddwcad 1421   e. wcel 1757   {crab 2796   C_ wss 3412   (/)c0 3721   ifcif 3875   |-> cmpt 4434   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   |-> cmpt2 6178   1oc1o 6999   2oc2o 7000   0cc0 9369   1c1 9370   - cmin 9682   NN0cn0 10666   seqcseq 11893   sadd csad 13704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-had 1422  df-cad 1423  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-nn 10410  df-n0 10667  df-seq 11894  df-sad 13735

This theorem is referenced by:  sadid2  13753