MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcom Structured version   Unicode version

Theorem sadcom 14115
Description: The adder sequence function is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sadcom  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  =  ( B sadd  A ) )

Proof of Theorem sadcom
Dummy variables  k 
c  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hadcoma 1462 . . . 4  |-  (hadd ( k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  (  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) )  <-> hadd ( k  e.  B ,  k  e.  A ,  (/)  e.  (  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  (hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  (  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) )  <-> hadd ( k  e.  B ,  k  e.  A ,  (/)  e.  (  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) ) )
32rabbidv 3026 . 2  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  (  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) }  =  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  B , 
k  e.  A ,  (/) 
e.  (  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) } )
4 simpl 455 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  A  C_ 
NN0 )
5 simpr 459 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  B  C_ 
NN0 )
6 eqid 2382 . . 3  |-  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
74, 5, 6sadfval 14104 . 2  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  =  {
k  e.  NN0  | hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  (  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) } )
8 cadcoma 1469 . . . . . . 7  |-  (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c )  <-> cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) )
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  2o  /\  m  e.  NN0 )  -> 
(cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c )  <-> cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ) )
109ifbid 3879 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  2o  /\  m  e.  NN0 )  ->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) )  =  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )
1110mpt2eq3ia 6261 . . . 4  |-  ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )  =  ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )
12 seqeq2 12014 . . . 4  |-  ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )  =  ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )  ->  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . 3  |-  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
145, 4, 13sadfval 14104 . 2  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( B sadd  A )  =  {
k  e.  NN0  | hadd ( k  e.  B ,  k  e.  A ,  (/)  e.  (  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) } )
153, 7, 143eqtr4d 2433 1  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  =  ( B sadd  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399  haddwhad 1452  caddwcad 1453    e. wcel 1826   {crab 2736    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ifcif 3857    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   1oc1o 7041   2oc2o 7042   0cc0 9403   1c1 9404    - cmin 9718   NN0cn0 10712    seqcseq 12010   sadd csad 14072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1402  df-had 1454  df-cad 1455  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-nn 10453  df-n0 10713  df-seq 12011  df-sad 14103
This theorem is referenced by:  sadid2  14121
  Copyright terms: Public domain W3C validator