MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcom Structured version   Unicode version

Theorem sadcom 13747
Description: The adder sequence function is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sadcom  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  =  ( B sadd  A ) )

Proof of Theorem sadcom
Dummy variables  k 
c  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hadcoma 1430 . . . 4  |-  (hadd ( k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  (  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) )  <-> hadd ( k  e.  B ,  k  e.  A ,  (/)  e.  (  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  (hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  (  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) )  <-> hadd ( k  e.  B ,  k  e.  A ,  (/)  e.  (  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) ) )
32rabbidv 3046 . 2  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  (  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) }  =  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  B , 
k  e.  A ,  (/) 
e.  (  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) } )
4 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  A  C_ 
NN0 )
5 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  B  C_ 
NN0 )
6 eqid 2450 . . 3  |-  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
74, 5, 6sadfval 13736 . 2  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  =  {
k  e.  NN0  | hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  (  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) } )
8 cadcoma 1438 . . . . . . 7  |-  (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c )  <-> cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) )
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  2o  /\  m  e.  NN0 )  -> 
(cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c )  <-> cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ) )
109ifbid 3895 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  2o  /\  m  e.  NN0 )  ->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) )  =  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )
1110mpt2eq3ia 6236 . . . 4  |-  ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )  =  ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )
12 seqeq2 11897 . . . 4  |-  ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )  =  ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )  ->  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . 3  |-  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  B ,  m  e.  A ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
145, 4, 13sadfval 13736 . 2  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( B sadd  A )  =  {
k  e.  NN0  | hadd ( k  e.  B ,  k  e.  A ,  (/)  e.  (  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) } )
153, 7, 143eqtr4d 2500 1  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  B  C_ 
NN0 )  ->  ( A sadd  B )  =  ( B sadd  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370  haddwhad 1420  caddwcad 1421    e. wcel 1757   {crab 2796    C_ wss 3412   (/)c0 3721   ifcif 3875    |-> cmpt 4434   ` cfv 5502  (class class class)co 6176    |-> cmpt2 6178   1oc1o 6999   2oc2o 7000   0cc0 9369   1c1 9370    - cmin 9682   NN0cn0 10666    seqcseq 11893   sadd csad 13704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-had 1422  df-cad 1423  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-nn 10410  df-n0 10667  df-seq 11894  df-sad 13735
This theorem is referenced by:  sadid2  13753
  Copyright terms: Public domain W3C validator