Theorem sadcom 14115

Description: The adder sequence function is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sadcom	|- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( A sadd B ) = ( B sadd A ) )

Proof of Theorem sadcom

Dummy variables k c m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hadcoma 1462	. . . 4 |- (hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) <-> hadd ( k e. B , k e. A , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> (hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) <-> hadd ( k e. B , k e. A , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) ) )
3	2	rabbidv 3026	. 2 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) } = { k e. NN0 | hadd ( k e. B , k e. A , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) } )
4		simpl 455	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> A C_ NN0 )
5		simpr 459	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> B C_ NN0 )
6		eqid 2382	. . 3 |- seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
7	4, 5, 6	sadfval 14104	. 2 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( A sadd B ) = { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) } )
8		cadcoma 1469	. . . . . . 7 |- (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) <-> cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) )
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( c e. 2o /\ m e. NN0 ) -> (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) <-> cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) ) )
10	9	ifbid 3879	. . . . 5 |- ( ( c e. 2o /\ m e. NN0 ) -> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) = if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) )
11	10	mpt2eq3ia 6261	. . . 4 |- ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) = ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) )
12		seqeq2 12014	. . . 4 |- ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) = ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) -> seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
14	5, 4, 13	sadfval 14104	. 2 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( B sadd A ) = { k e. NN0 | hadd ( k e. B , k e. A , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) } )
15	3, 7, 14	3eqtr4d 2433	1 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( A sadd B ) = ( B sadd A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1399  haddwhad 1452  caddwcad 1453   e. wcel 1826   {crab 2736   C_ wss 3389   (/)c0 3711   ifcif 3857   |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   |-> cmpt2 6198   1oc1o 7041   2oc2o 7042   0cc0 9403   1c1 9404   - cmin 9718   NN0cn0 10712   seqcseq 12010   sadd csad 14072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1402  df-had 1454  df-cad 1455  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-nn 10453  df-n0 10713  df-seq 12011  df-sad 14103

This theorem is referenced by:  sadid2  14121