MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcf Structured version   Unicode version

Theorem sadcf 13645
Description: The carry sequence is a sequence of elements of  2o encoding a "sequence of wffs". (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sadcf  |-  ( ph  ->  C : NN0 --> 2o )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)

Proof of Theorem sadcf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10590 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
2 iftrue 3794 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) )  =  (/) )
3 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) )
4 0ex 4419 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
52, 3, 4fvmpt 5771 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 0 )  =  (/) )
61, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 0 )  =  (/)
74prid1 3980 . . . . . 6  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
8 df2o3 6929 . . . . . 6  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
97, 8eleqtrri 2514 . . . . 5  |-  (/)  e.  2o
106, 9eqeltri 2511 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 0 )  e.  2o
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ` 
0 )  e.  2o )
12 df-ov 6093 . . . . 5  |-  ( x ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) y )  =  ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) `
 <. x ,  y
>. )
13 1on 6923 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
1413elexi 2980 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
1514prid2 3981 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
1615, 8eleqtrri 2514 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  2o
1716, 9keepel 3854 . . . . . . . 8  |-  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) )  e.  2o
1817rgen2w 2782 . . . . . . 7  |-  A. c  e.  2o  A. m  e. 
NN0  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) )  e.  2o
19 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )  =  ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) )
2019fmpt2 6640 . . . . . . 7  |-  ( A. c  e.  2o  A. m  e.  NN0  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) )  e.  2o  <->  ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) : ( 2o  X.  NN0 ) --> 2o )
2118, 20mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) : ( 2o  X.  NN0 ) --> 2o
2221, 9f0cli 5851 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) `  <. x ,  y >. )  e.  2o
2312, 22eqeltri 2511 . . . 4  |-  ( x ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) y )  e.  2o
2423a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  2o  /\  y  e. 
_V ) )  -> 
( x ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) y )  e.  2o )
25 nn0uz 10891 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
26 0zd 10654 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
27 fvex 5698 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 x )  e. 
_V
2827a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 x )  e. 
_V )
2911, 24, 25, 26, 28seqf2 11821 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) : NN0 --> 2o )
30 sadval.c . . 3  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
3130feq1i 5548 . 2  |-  ( C : NN0 --> 2o  <->  seq 0
( ( c  e.  2o ,  m  e. 
NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/) 
e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) : NN0 --> 2o )
3229, 31sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  C : NN0 --> 2o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364  caddwcad 1425    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   {cpr 3876   <.cop 3880    e. cmpt 4347   Oncon0 4715    X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   1oc1o 6909   2oc2o 6910   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    - cmin 9591   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857    seqcseq 11802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-seq 11803
This theorem is referenced by:  sadcp1  13647
  Copyright terms: Public domain W3C validator