Theorem sadcaddlem 14314

Description: Lemma for sadcadd 14315. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	|- ( ph -> A C_ NN0 )
sadval.b	|- ( ph -> B C_ NN0 )
sadval.c	|- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
sadcp1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
sadcadd.k	|- K = `' (bits |` NN0 )
sadcaddlem.1	|- ( ph -> ( (/) e. ( C ` N ) <-> ( 2 ^ N ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sadcaddlem	|- ( ph -> ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, c, n   A, c, m   B, c, m   n, N

Allowed substitution hints:   ph( m, n, c)   A( n)   B( n)   C( m, n, c)   K( m, n, c)   N( m, c)

Proof of Theorem sadcaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cad1 1483	. . . . 5 |- ( (/) e. ( C ` N ) -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( N e. A \/ N e. B ) ) )
2	1	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( N e. A \/ N e. B ) ) )
3		2nn 10733	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. NN )
5		sadcp1.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	4, 5	nnexpcld 12373	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN )
7	6	nnred 10590	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. RR )
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A \/ N e. B ) ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
9		inss1 3658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ A
10		sadval.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ NN0 )
11	9, 10	syl5ss 3452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 )
12		fzofi 12123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0..^ N ) e. Fin
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
14		inss2 3659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N )
15		ssfi 7774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N ) ) -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
16	13, 14, 15	sylancl 660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
17		elfpw 7855	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 /\ ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin ) )
18	11, 16, 17	sylanbrc 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
19		bitsf1o 14302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin )
20		f1ocnv 5810	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin ) -> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0
22		sadcadd.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = `' (bits |` NN0 )
23		f1oeq1 5789	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K = `' (bits |` NN0 ) -> ( K : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 <-> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 <-> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
25	21, 24	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . 13 |- K : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0
26		f1of 5798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 -> K : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0 )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- K : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0
28	27	ffvelrni 6007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
29	18, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
30		inss1 3658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ B
31		sadval.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B C_ NN0 )
32	30, 31	syl5ss 3452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 )
33		inss2 3659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N )
34		ssfi 7774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N ) ) -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
35	13, 33, 34	sylancl 660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
36		elfpw 7855	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 /\ ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin ) )
37	32, 35, 36	sylanbrc 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
38	27	ffvelrni 6007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
40	29, 39	nn0addcld 10896	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. NN0 )
41	40	nn0red 10893	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. RR )
42	41	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A \/ N e. B ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. RR )
43		2nn0 10852	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. A ) -> 2 e. NN0 )
45	5	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. A ) -> N e. NN0 )
46	44, 45	nn0expcld 12374	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. A ) -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
47		0nn0 10850	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. N e. A ) -> 0 e. NN0 )
49	46, 48	ifclda 3916	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
50	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. B ) -> 2 e. NN0 )
51	5	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. B ) -> N e. NN0 )
52	50, 51	nn0expcld 12374	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. B ) -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
53	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. N e. B ) -> 0 e. NN0 )
54	52, 53	ifclda 3916	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
55	49, 54	nn0addcld 10896	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. NN0 )
56	55	nn0red 10893	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. RR )
57	56	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A \/ N e. B ) ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. RR )
58		sadcaddlem.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (/) e. ( C ` N ) <-> ( 2 ^ N ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
59	58	biimpa 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
60	59	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A \/ N e. B ) ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
61	6	nnnn0d 10892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
62		ifcl 3926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
63	61, 47, 62	sylancl 660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
64	63	nn0ge0d 10895	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
65	7	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N e. B ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
66		0red 9626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. N e. B ) -> 0 e. RR )
67	65, 66	ifclda 3916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. RR )
68	7, 67	addge01d 10179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 <_ if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) <-> ( 2 ^ N ) <_ ( ( 2 ^ N ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
69	64, 68	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) <_ ( ( 2 ^ N ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
70	69	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. A ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( ( 2 ^ N ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
71		iftrue 3890	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. A -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) = ( 2 ^ N ) )
72	71	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. A ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) = ( 2 ^ N ) )
73	72	oveq1d 6292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. A ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( 2 ^ N ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
74	70, 73	breqtrrd 4420	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. A ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
75		ifcl 3926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
76	61, 47, 75	sylancl 660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
77	76	nn0ge0d 10895	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
78	7	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N e. A ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
79		0red 9626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. N e. A ) -> 0 e. RR )
80	78, 79	ifclda 3916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. RR )
81	7, 80	addge02d 10180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 <_ if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) <-> ( 2 ^ N ) <_ ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + ( 2 ^ N ) ) ) )
82	77, 81	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) <_ ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + ( 2 ^ N ) ) )
83	82	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. B ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + ( 2 ^ N ) ) )
84		iftrue 3890	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. B -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) = ( 2 ^ N ) )
85	84	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. B ) -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) = ( 2 ^ N ) )
86	85	oveq2d 6293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. B ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + ( 2 ^ N ) ) )
87	83, 86	breqtrrd 4420	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. B ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
88	74, 87	jaodan 786	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A \/ N e. B ) ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
89	8, 8, 42, 57, 60, 88	le2addd 10209	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A \/ N e. B ) ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
90	89	ex 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( N e. A \/ N e. B ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
91		ioran 488	. . . . . 6 |- ( -. ( N e. A \/ N e. B ) <-> ( -. N e. A /\ -. N e. B ) )
92		iffalse 3893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. N e. A -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) = 0 )
93	92	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) = 0 )
94		iffalse 3893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. N e. B -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) = 0 )
95	94	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) = 0 )
96	93, 95	oveq12d 6295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
97		00id 9788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 0 ) = 0
98	96, 97	syl6eq 2459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = 0 )
99	98	oveq2d 6293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + 0 ) )
100	29	nn0red 10893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. RR )
101	100	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. RR )
102	39	nn0red 10893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. RR )
103	102	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. RR )
104	101, 103	readdcld 9652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. RR )
105	104	recnd 9651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. CC )
106	105	addid1d 9813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + 0 ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
107	99, 106	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
108	22	fveq1i 5849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) = ( `' (bits |` NN0 ) ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) )
109	108	fveq2i 5851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (bits |` NN0 ) ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( (bits |` NN0 ) ` ( `' (bits |` NN0 ) ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) )
110		fvres 5862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 -> ( (bits |` NN0 ) ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = (bits ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
111	29, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( (bits |` NN0 ) ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = (bits ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
112		f1ocnvfv2 6163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin ) /\ ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) ) -> ( (bits |` NN0 ) ` ( `' (bits |` NN0 ) ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( A i^i ( 0..^ N ) ) )
113	19, 18, 112	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( (bits |` NN0 ) ` ( `' (bits |` NN0 ) ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( A i^i ( 0..^ N ) ) )
114	109, 111, 113	3eqtr3a 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (bits ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( A i^i ( 0..^ N ) ) )
115	114, 14	syl6eqss 3491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (bits ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) C_ ( 0..^ N ) )
116	29	nn0zd 11005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ZZ )
117		bitsfzo 14292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) C_ ( 0..^ N ) ) )
118	116, 5, 117	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) C_ ( 0..^ N ) ) )
119	115, 118	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
120		elfzolt2 11866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) < ( 2 ^ N ) )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) < ( 2 ^ N ) )
122	22	fveq1i 5849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) = ( `' (bits |` NN0 ) ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) )
123	122	fveq2i 5851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (bits |` NN0 ) ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( (bits |` NN0 ) ` ( `' (bits |` NN0 ) ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) )
124		fvres 5862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 -> ( (bits |` NN0 ) ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = (bits ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
125	39, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( (bits |` NN0 ) ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = (bits ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
126		f1ocnvfv2 6163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin ) /\ ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) ) -> ( (bits |` NN0 ) ` ( `' (bits |` NN0 ) ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( B i^i ( 0..^ N ) ) )
127	19, 37, 126	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( (bits |` NN0 ) ` ( `' (bits |` NN0 ) ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( B i^i ( 0..^ N ) ) )
128	123, 125, 127	3eqtr3a 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (bits ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( B i^i ( 0..^ N ) ) )
129	128, 33	syl6eqss 3491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (bits ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) C_ ( 0..^ N ) )
130	39	nn0zd 11005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ZZ )
131		bitsfzo 14292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) C_ ( 0..^ N ) ) )
132	130, 5, 131	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) C_ ( 0..^ N ) ) )
133	129, 132	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
134		elfzolt2 11866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) < ( 2 ^ N ) )
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) < ( 2 ^ N ) )
136	100, 102, 7, 7, 121, 135	lt2addd 10213	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
137	136	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
138	107, 137	eqbrtrd 4414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
139	80	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. RR )
140	67	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. RR )
141	139, 140	readdcld 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. RR )
142	104, 141	readdcld 9652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) e. RR )
143	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
144	143, 143	readdcld 9652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) e. RR )
145	142, 144	ltnled 9763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <-> -. ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
146	138, 145	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> -. ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
147	146	ex 432	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( -. N e. A /\ -. N e. B ) -> -. ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
148	91, 147	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( -. ( N e. A \/ N e. B ) -> -. ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
149	90, 148	impcon4bid 205	. . . 4 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( N e. A \/ N e. B ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
150	2, 149	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
151		cad0 1486	. . . . 5 |- ( -. (/) e. ( C ` N ) -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( N e. A /\ N e. B ) ) )
152	151	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( N e. A /\ N e. B ) ) )
153	40	nn0ge0d 10895	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
154	7, 7	readdcld 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) e. RR )
155	154, 41	addge02d 10180	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) ) ) )
156	153, 155	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) ) )
157	156	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A /\ N e. B ) ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) ) )
158	71, 84	oveqan12d 6296	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. A /\ N e. B ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
159	158	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A /\ N e. B ) ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
160	159	oveq2d 6293	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A /\ N e. B ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) ) )
161	157, 160	breqtrrd 4420	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A /\ N e. B ) ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
162	161	ex 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( N e. A /\ N e. B ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
163	100	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. RR )
164	102	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. RR )
165	163, 164	readdcld 9652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. RR )
166	7	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
167	7, 41	lenltd 9762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) <-> -. ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) < ( 2 ^ N ) ) )
168	58, 167	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (/) e. ( C ` N ) <-> -. ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) < ( 2 ^ N ) ) )
169	168	con2bid 327	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) < ( 2 ^ N ) <-> -. (/) e. ( C ` N ) ) )
170	169	biimpar 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) < ( 2 ^ N ) )
171	165, 166, 166, 170	ltadd1dd 10202	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
172	165, 166	readdcld 9652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) e. RR )
173	154	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) e. RR )
174	41, 56	readdcld 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) e. RR )
175	174	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) e. RR )
176		ltletr 9706	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) /\ ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
177	172, 173, 175, 176	syl3anc 1230	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) /\ ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
178	171, 177	mpand 673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
179	56	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. RR )
180	41	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. RR )
181	166, 179, 180	ltadd2d 9771	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( 2 ^ N ) < ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <-> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
182	178, 181	sylibrd 234	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) -> ( 2 ^ N ) < ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
183	7, 56	ltnled 9763	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) < ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <-> -. ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
184	63	nn0cnd 10894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
185	184	addid2d 9814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
186	7	leidd 10158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) <_ ( 2 ^ N ) )
187	61	nn0ge0d 10895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ ( 2 ^ N ) )
188		breq1 4397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 ^ N ) = if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) -> ( ( 2 ^ N ) <_ ( 2 ^ N ) <-> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
189		breq1 4397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 = if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) -> ( 0 <_ ( 2 ^ N ) <-> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
190	188, 189	ifboth 3920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 ^ N ) <_ ( 2 ^ N ) /\ 0 <_ ( 2 ^ N ) ) -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) )
191	186, 187, 190	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) )
192	185, 191	eqbrtrd 4414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) )
193	92	oveq1d 6292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N e. A -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( 0 + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
194	193	breq1d 4404	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. N e. A -> ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) <-> ( 0 + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
195	192, 194	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. N e. A -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
196	195	con1d 124	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) -> N e. A ) )
197	76	nn0cnd 10894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
198	197	addid1d 9813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + 0 ) = if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
199		breq1 4397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 ^ N ) = if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) -> ( ( 2 ^ N ) <_ ( 2 ^ N ) <-> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
200		breq1 4397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 = if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) -> ( 0 <_ ( 2 ^ N ) <-> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
201	199, 200	ifboth 3920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 ^ N ) <_ ( 2 ^ N ) /\ 0 <_ ( 2 ^ N ) ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) )
202	186, 187, 201	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) )
203	198, 202	eqbrtrd 4414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + 0 ) <_ ( 2 ^ N ) )
204	94	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N e. B -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + 0 ) )
205	204	breq1d 4404	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. N e. B -> ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) <-> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + 0 ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
206	203, 205	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. N e. B -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
207	206	con1d 124	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) -> N e. B ) )
208	196, 207	jcad 531	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) -> ( N e. A /\ N e. B ) ) )
209	183, 208	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) < ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) -> ( N e. A /\ N e. B ) ) )
210	209	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( 2 ^ N ) < ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) -> ( N e. A /\ N e. B ) ) )
211	182, 210	syld 42	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) -> ( N e. A /\ N e. B ) ) )
212	162, 211	impbid 191	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( N e. A /\ N e. B ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
213	152, 212	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
214	150, 213	pm2.61dan 792	. 2 |- ( ph -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
215		sadval.c	. . 3 |- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
216	10, 31, 215, 5	sadcp1 14312	. 2 |- ( ph -> ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) <-> cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) ) )
217		2cnd 10648	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. CC )
218	217, 5	expp1d 12353	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
219	6	nncnd 10591	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. CC )
220	219	times2d 10822	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) = ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
221	218, 220	eqtrd 2443	. . 3 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
222	22	bitsinvp1 14306	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
223	10, 5, 222	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
224	22	bitsinvp1 14306	. . . . . 6 |- ( ( B C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
225	31, 5, 224	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
226	223, 225	oveq12d 6295	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
227	29	nn0cnd 10894	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. CC )
228	39	nn0cnd 10894	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. CC )
229	227, 197, 228, 184	add4d 9838	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
230	226, 229	eqtrd 2443	. . 3 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
231	221, 230	breq12d 4407	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
232	214, 216, 231	3bitr4d 285	1 |- ( ph -> ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1405  caddwcad 1460   e. wcel 1842   i^i cin 3412   C_ wss 3413   (/)c0 3737   ifcif 3884   ~Pcpw 3954   class class class wbr 4394   |-> cmpt 4452   `'ccnv 4821   |` cres 4824   -->wf 5564   -1-1-onto->wf1o 5567   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   |-> cmpt2 6279   1oc1o 7159   2oc2o 7160   Fincfn 7553   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522   + caddc 9524   x. cmul 9526   < clt 9657   <_ cle 9658   - cmin 9840   NNcn 10575   2c2 10625   NN0cn0 10835   ZZcz 10904  ..^cfzo 11852   seqcseq 12149   ^cexp 12208  bitscbits 14276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1367  df-tru 1408  df-fal 1411  df-cad 1462  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-dvds 14194  df-bits 14279

This theorem is referenced by:  sadcadd  14315