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Theorem sadcaddlem 14314
Description: Lemma for sadcadd 14315. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
sadcp1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sadcadd.k  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
sadcaddlem.1  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  N )  <->  ( 2 ^ N )  <_  ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sadcaddlem  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m    n, N
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)    K( m, n, c)    N( m, c)

Proof of Theorem sadcaddlem
StepHypRef Expression
1 cad1 1483 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  ( C `  N
)  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) ) )
21adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) ) )
3 2nn 10733 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
43a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
5 sadcp1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
64, 5nnexpcld 12373 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
76nnred 10590 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR )
87ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  RR )
9 inss1 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
10 sadval.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
119, 10syl5ss 3452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
12 fzofi 12123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
14 inss2 3659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
15 ssfi 7774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
1613, 14, 15sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
17 elfpw 7855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
1811, 16, 17sylanbrc 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
19 bitsf1o 14302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
20 f1ocnv 5810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
-1-1-onto-> NN0
22 sadcadd.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
23 f1oeq1 5789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  =  `' (bits  |`  NN0 )  ->  ( K : ( ~P NN0  i^i  Fin )
-1-1-onto-> NN0 
<->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0  <->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
2521, 24mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
26 f1of 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0 )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0
2827ffvelrni 6007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
2918, 28syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
30 inss1 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
31 sadval.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3230, 31syl5ss 3452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
33 inss2 3659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
34 ssfi 7774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
3513, 33, 34sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
36 elfpw 7855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
3732, 35, 36sylanbrc 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
3827ffvelrni 6007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
4029, 39nn0addcld 10896 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  NN0 )
4140nn0red 10893 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
4241ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
43 2nn0 10852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  2  e.  NN0 )
455adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  N  e.  NN0 )
4644, 45nn0expcld 12374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  e.  NN0 )
47 0nn0 10850 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  A )  ->  0  e.  NN0 )
4946, 48ifclda 3916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
5043a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  2  e.  NN0 )
515adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
5250, 51nn0expcld 12374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  e.  NN0 )
5347a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  B )  ->  0  e.  NN0 )
5452, 53ifclda 3916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
5549, 54nn0addcld 10896 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e. 
NN0 )
5655nn0red 10893 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  RR )
5756ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  RR )
58 sadcaddlem.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  N )  <->  ( 2 ^ N )  <_  ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
5958biimpa 482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  <_ 
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
6059adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( 2 ^ N
)  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
616nnnn0d 10892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN0 )
62 ifcl 3926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6361, 47, 62sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6463nn0ge0d 10895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )
657adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
66 0red 9626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  B )  ->  0  e.  RR )
6765, 66ifclda 3916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
687, 67addge01d 10179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <->  ( 2 ^ N )  <_  (
( 2 ^ N
)  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) ) )
6964, 68mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  <_  ( (
2 ^ N )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
7069ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( ( 2 ^ N )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
71 iftrue 3890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  A  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
7271adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
7372oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
7470, 73breqtrrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
75 ifcl 3926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
7661, 47, 75sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
7776nn0ge0d 10895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )
787adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
79 0red 9626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  A )  ->  0  e.  RR )
8078, 79ifclda 3916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
817, 80addge02d 10180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <->  ( 2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) ) )
8277, 81mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  <_  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) )
8382ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) )
84 iftrue 3890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  B  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
8584adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
8685oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) )
8783, 86breqtrrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
8874, 87jaodan 786 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( 2 ^ N
)  <_  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
898, 8, 42, 57, 60, 88le2addd 10209 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9089ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  \/  N  e.  B )  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
91 ioran 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N  e.  A  \/  N  e.  B
)  <->  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B ) )
92 iffalse 3893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  N  e.  A  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
9392ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
94 iffalse 3893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  N  e.  B  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
9594ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
9693, 95oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
97 00id 9788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  0 )  =  0
9896, 97syl6eq 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  0 )
9998oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  0 ) )
10029nn0red 10893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
101100ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
10239nn0red 10893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
103102ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
104101, 103readdcld 9652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
105104recnd 9651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  CC )
106105addid1d 9813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  0 )  =  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
10799, 106eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
10822fveq1i 5849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )
109108fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
110 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
11129, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
112 f1ocnvfv2 6163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )  -> 
( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
11319, 18, 112sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
114109, 111, 1133eqtr3a 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
115114, 14syl6eqss 3491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) )
11629nn0zd 11005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
117 bitsfzo 14292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <-> 
(bits `  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) ) )
118116, 5, 117syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N
) )  <->  (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
119115, 118mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
120 elfzolt2 11866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  < 
( 2 ^ N
) )
12222fveq1i 5849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
123122fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
124 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
12539, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
126 f1ocnvfv2 6163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )  -> 
( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
12719, 37, 126sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
128123, 125, 1273eqtr3a 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
129128, 33syl6eqss 3491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) )
13039nn0zd 11005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
131 bitsfzo 14292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <-> 
(bits `  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) ) )
132130, 5, 131syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N
) )  <->  (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
133129, 132mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
134 elfzolt2 11866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  < 
( 2 ^ N
) )
136100, 102, 7, 7, 121, 135lt2addd 10213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) ) )
137136ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) )
138107, 137eqbrtrd 4414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
13980ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
14067ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
141139, 140readdcld 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  e.  RR )
142104, 141readdcld 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1437ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
144143, 143readdcld 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
145142, 144ltnled 9763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <->  -.  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
146138, 145mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  -.  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
147146ex 432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
)  ->  -.  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
14891, 147syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( -.  ( N  e.  A  \/  N  e.  B
)  ->  -.  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
14990, 148impcon4bid 205 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  \/  N  e.  B )  <->  ( ( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
1502, 149bitrd 253 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
151 cad0 1486 . . . . 5  |-  ( -.  (/)  e.  ( C `  N )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) )  <-> 
( N  e.  A  /\  N  e.  B
) ) )
152151adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
15340nn0ge0d 10895 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
1547, 7readdcld 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
155154, 41addge02d 10180 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <-> 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) ) ) )
156153, 155mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) ) )
157156ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) ) )
15871, 84oveqan12d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  A  /\  N  e.  B )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
159158adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
160159oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) ) ) )
161157, 160breqtrrd 4420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
162161ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  /\  N  e.  B )  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
163100adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  RR )
164102adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  RR )
165163, 164readdcld 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
1667adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  e.  RR )
1677, 41lenltd 9762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  <_  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <->  -.  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )
16858, 167bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  N )  <->  -.  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )
169168con2bid 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
2 ^ N )  <->  -.  (/)  e.  ( C `
 N ) ) )
170169biimpar 483 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
171165, 166, 166, 170ltadd1dd 10202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
172165, 166readdcld 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
173154adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
17441, 56readdcld 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
175174adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
176 ltletr 9706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  /\  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
177172, 173, 175, 176syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  <  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  /\  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  <  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
178171, 177mpand 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
17956adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  e.  RR )
18041adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
181166, 179, 180ltadd2d 9771 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <-> 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  <  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
182178, 181sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( 2 ^ N )  < 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
1837, 56ltnled 9763 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <->  -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
18463nn0cnd 10894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
185184addid2d 9814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
1867leidd 10158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  <_  ( 2 ^ N ) )
18761nn0ge0d 10895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2 ^ N ) )
188 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ N )  =  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( ( 2 ^ N )  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
189 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
190188, 189ifboth 3920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  <_  ( 2 ^ N )  /\  0  <_  ( 2 ^ N ) )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  ( 2 ^ N ) )
191186, 187, 190syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) )
192185, 191eqbrtrd 4414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  (
2 ^ N ) )
19392oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  e.  A  -> 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
194193breq1d 4404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  N  e.  A  -> 
( ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  <->  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
195192, 194syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  N  e.  A  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
196195con1d 124 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  ->  N  e.  A )
)
19776nn0cnd 10894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
198197addid1d 9813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 )  =  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
199 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ N )  =  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( ( 2 ^ N )  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
200 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
201199, 200ifboth 3920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  <_  ( 2 ^ N )  /\  0  <_  ( 2 ^ N ) )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  ( 2 ^ N ) )
202186, 187, 201syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) )
203198, 202eqbrtrd 4414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 )  <_  (
2 ^ N ) )
20494oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  e.  B  -> 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 ) )
205204breq1d 4404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  N  e.  B  -> 
( ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  <->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
206203, 205syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  N  e.  B  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
207206con1d 124 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  ->  N  e.  B )
)
208196, 207jcad 531 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  -> 
( N  e.  A  /\  N  e.  B
) ) )
209183, 208sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  ->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
210209adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  ->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
211182, 210syld 42 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
212162, 211impbid 191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  /\  N  e.  B )  <->  ( ( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
213152, 212bitrd 253 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
214150, 213pm2.61dan 792 . 2  |-  ( ph  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) )  <->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) )  <_  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
215 sadval.c . . 3  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
21610, 31, 215, 5sadcp1 14312 . 2  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ) )
217 2cnd 10648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
218217, 5expp1d 12353 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
2196nncnd 10591 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
220219times2d 10822 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
221218, 220eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
22222bitsinvp1 14306 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
22310, 5, 222syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
22422bitsinvp1 14306 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
22531, 5, 224syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
226223, 225oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
22729nn0cnd 10894 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
22839nn0cnd 10894 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
229227, 197, 228, 184add4d 9838 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
230226, 229eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
231221, 230breq12d 4407 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) )  <-> 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
232214, 216, 2313bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405  caddwcad 1460    e. wcel 1842    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ifcif 3884   ~Pcpw 3954   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   `'ccnv 4821    |` cres 4824   -->wf 5564   -1-1-onto->wf1o 5567   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   1oc1o 7159   2oc2o 7160   Fincfn 7553   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840   NNcn 10575   2c2 10625   NN0cn0 10835   ZZcz 10904  ..^cfzo 11852    seqcseq 12149   ^cexp 12208  bitscbits 14276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1367  df-tru 1408  df-fal 1411  df-cad 1462  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-dvds 14194  df-bits 14279
This theorem is referenced by:  sadcadd  14315
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