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Theorem sadcaddlem 14424
Description: Lemma for sadcadd 14425. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
sadcp1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sadcadd.k  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
sadcaddlem.1  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  N )  <->  ( 2 ^ N )  <_  ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sadcaddlem  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m    n, N
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)    K( m, n, c)    N( m, c)

Proof of Theorem sadcaddlem
StepHypRef Expression
1 cad1 1515 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  ( C `  N
)  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) ) )
21adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) ) )
3 2nn 10769 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
43a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
5 sadcp1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
64, 5nnexpcld 12438 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
76nnred 10626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR )
87ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  RR )
9 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
10 sadval.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
119, 10syl5ss 3476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
12 fzofi 12188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
14 inss2 3684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
15 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
1613, 14, 15sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
17 elfpw 7880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
1811, 16, 17sylanbrc 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
19 bitsf1o 14412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
20 f1ocnv 5841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
-1-1-onto-> NN0
22 sadcadd.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
23 f1oeq1 5820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  =  `' (bits  |`  NN0 )  ->  ( K : ( ~P NN0  i^i  Fin )
-1-1-onto-> NN0 
<->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0  <->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
2521, 24mpbir 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
26 f1of 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0 )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0
2827ffvelrni 6034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
2918, 28syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
30 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
31 sadval.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3230, 31syl5ss 3476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
33 inss2 3684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
34 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
3513, 33, 34sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
36 elfpw 7880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
3732, 35, 36sylanbrc 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
3827ffvelrni 6034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
4029, 39nn0addcld 10931 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  NN0 )
4140nn0red 10928 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
4241ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
43 2nn0 10888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  2  e.  NN0 )
455adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  N  e.  NN0 )
4644, 45nn0expcld 12439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  e.  NN0 )
47 0nn0 10886 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  A )  ->  0  e.  NN0 )
4946, 48ifclda 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
5043a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  2  e.  NN0 )
515adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
5250, 51nn0expcld 12439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  e.  NN0 )
5347a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  B )  ->  0  e.  NN0 )
5452, 53ifclda 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
5549, 54nn0addcld 10931 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e. 
NN0 )
5655nn0red 10928 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  RR )
5756ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  RR )
58 sadcaddlem.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  N )  <->  ( 2 ^ N )  <_  ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
5958biimpa 487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  <_ 
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
6059adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( 2 ^ N
)  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
616nnnn0d 10927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN0 )
62 ifcl 3952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6361, 47, 62sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6463nn0ge0d 10930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )
657adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
66 0red 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  B )  ->  0  e.  RR )
6765, 66ifclda 3942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
687, 67addge01d 10203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <->  ( 2 ^ N )  <_  (
( 2 ^ N
)  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) ) )
6964, 68mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  <_  ( (
2 ^ N )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
7069ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( ( 2 ^ N )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
71 iftrue 3916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  A  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
7271adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
7372oveq1d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
7470, 73breqtrrd 4448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
75 ifcl 3952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
7661, 47, 75sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
7776nn0ge0d 10930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )
787adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
79 0red 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  A )  ->  0  e.  RR )
8078, 79ifclda 3942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
817, 80addge02d 10204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <->  ( 2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) ) )
8277, 81mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  <_  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) )
8382ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) )
84 iftrue 3916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  B  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
8584adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
8685oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) )
8783, 86breqtrrd 4448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
8874, 87jaodan 793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( 2 ^ N
)  <_  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
898, 8, 42, 57, 60, 88le2addd 10234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9089ex 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  \/  N  e.  B )  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
91 ioran 493 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N  e.  A  \/  N  e.  B
)  <->  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B ) )
92 iffalse 3919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  N  e.  A  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
9392ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
94 iffalse 3919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  N  e.  B  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
9594ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
9693, 95oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
97 00id 9810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  0 )  =  0
9896, 97syl6eq 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  0 )
9998oveq2d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  0 ) )
10029nn0red 10928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
101100ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
10239nn0red 10928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
103102ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
104101, 103readdcld 9672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
105104recnd 9671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  CC )
106105addid1d 9835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  0 )  =  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
10799, 106eqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
10822fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )
109108fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
110 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
11129, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
112 f1ocnvfv2 6189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )  -> 
( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
11319, 18, 112sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
114109, 111, 1133eqtr3a 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
115114, 14syl6eqss 3515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) )
11629nn0zd 11040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
117 bitsfzo 14402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <-> 
(bits `  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) ) )
118116, 5, 117syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N
) )  <->  (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
119115, 118mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
120 elfzolt2 11931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  < 
( 2 ^ N
) )
12222fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
123122fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
124 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
12539, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
126 f1ocnvfv2 6189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )  -> 
( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
12719, 37, 126sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
128123, 125, 1273eqtr3a 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
129128, 33syl6eqss 3515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) )
13039nn0zd 11040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
131 bitsfzo 14402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <-> 
(bits `  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) ) )
132130, 5, 131syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N
) )  <->  (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
133129, 132mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
134 elfzolt2 11931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  < 
( 2 ^ N
) )
136100, 102, 7, 7, 121, 135lt2addd 10238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) ) )
137136ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) )
138107, 137eqbrtrd 4442 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
13980ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
14067ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
141139, 140readdcld 9672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  e.  RR )
142104, 141readdcld 9672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1437ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
144143, 143readdcld 9672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
145142, 144ltnled 9784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <->  -.  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
146138, 145mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  -.  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
147146ex 436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
)  ->  -.  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
14891, 147syl5bi 221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( -.  ( N  e.  A  \/  N  e.  B
)  ->  -.  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
14990, 148impcon4bid 209 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  \/  N  e.  B )  <->  ( ( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
1502, 149bitrd 257 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
151 cad0 1516 . . . . 5  |-  ( -.  (/)  e.  ( C `  N )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) )  <-> 
( N  e.  A  /\  N  e.  B
) ) )
152151adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
15340nn0ge0d 10930 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
1547, 7readdcld 9672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
155154, 41addge02d 10204 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <-> 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) ) ) )
156153, 155mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) ) )
157156ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) ) )
15871, 84oveqan12d 6322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  A  /\  N  e.  B )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
159158adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
160159oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) ) ) )
161157, 160breqtrrd 4448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
162161ex 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  /\  N  e.  B )  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
163100adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  RR )
164102adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  RR )
165163, 164readdcld 9672 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
1667adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  e.  RR )
1677, 41lenltd 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  <_  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <->  -.  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )
16858, 167bitrd 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  N )  <->  -.  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )
169168con2bid 331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
2 ^ N )  <->  -.  (/)  e.  ( C `
 N ) ) )
170169biimpar 488 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
171165, 166, 166, 170ltadd1dd 10226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
172165, 166readdcld 9672 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
173154adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
17441, 56readdcld 9672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
175174adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
176 ltletr 9727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  /\  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
177172, 173, 175, 176syl3anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  <  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  /\  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  <  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
178171, 177mpand 680 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
17956adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  e.  RR )
18041adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
181166, 179, 180ltadd2d 9793 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <-> 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  <  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
182178, 181sylibrd 238 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( 2 ^ N )  < 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
1837, 56ltnled 9784 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <->  -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
18463nn0cnd 10929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
185184addid2d 9836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
1867leidd 10182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  <_  ( 2 ^ N ) )
18761nn0ge0d 10930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2 ^ N ) )
188 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ N )  =  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( ( 2 ^ N )  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
189 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
190188, 189ifboth 3946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  <_  ( 2 ^ N )  /\  0  <_  ( 2 ^ N ) )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  ( 2 ^ N ) )
191186, 187, 190syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) )
192185, 191eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  (
2 ^ N ) )
19392oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  e.  A  -> 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
194193breq1d 4431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  N  e.  A  -> 
( ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  <->  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
195192, 194syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  N  e.  A  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
196195con1d 128 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  ->  N  e.  A )
)
19776nn0cnd 10929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
198197addid1d 9835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 )  =  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
199 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ N )  =  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( ( 2 ^ N )  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
200 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
201199, 200ifboth 3946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  <_  ( 2 ^ N )  /\  0  <_  ( 2 ^ N ) )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  ( 2 ^ N ) )
202186, 187, 201syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) )
203198, 202eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 )  <_  (
2 ^ N ) )
20494oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  e.  B  -> 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 ) )
205204breq1d 4431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  N  e.  B  -> 
( ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  <->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
206203, 205syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  N  e.  B  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
207206con1d 128 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  ->  N  e.  B )
)
208196, 207jcad 536 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  -> 
( N  e.  A  /\  N  e.  B
) ) )
209183, 208sylbid 219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  ->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
210209adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  ->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
211182, 210syld 46 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
212162, 211impbid 194 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  /\  N  e.  B )  <->  ( ( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
213152, 212bitrd 257 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
214150, 213pm2.61dan 799 . 2  |-  ( ph  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) )  <->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) )  <_  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
215 sadval.c . . 3  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
21610, 31, 215, 5sadcp1 14422 . 2  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ) )
217 2cnd 10684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
218217, 5expp1d 12418 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
2196nncnd 10627 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
220219times2d 10858 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
221218, 220eqtrd 2464 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
22222bitsinvp1 14416 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
22310, 5, 222syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
22422bitsinvp1 14416 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
22531, 5, 224syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
226223, 225oveq12d 6321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
22729nn0cnd 10929 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
22839nn0cnd 10929 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
229227, 197, 228, 184add4d 9860 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
230226, 229eqtrd 2464 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
231221, 230breq12d 4434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) )  <-> 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
232214, 216, 2313bitr4d 289 1  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1438  caddwcad 1505    e. wcel 1869    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ifcif 3910   ~Pcpw 3980   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   `'ccnv 4850    |` cres 4853   -->wf 5595   -1-1-onto->wf1o 5598   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    |-> cmpt2 6305   1oc1o 7181   2oc2o 7182   Fincfn 7575   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862   NNcn 10611   2c2 10661   NN0cn0 10871   ZZcz 10939  ..^cfzo 11917    seqcseq 12214   ^cexp 12273  bitscbits 14385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-xor 1402  df-tru 1441  df-fal 1444  df-cad 1506  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-dvds 14299  df-bits 14388
This theorem is referenced by:  sadcadd  14425
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