Theorem sadcaddlem 14443

Description: Lemma for sadcadd 14444. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	|- ( ph -> A C_ NN0 )
sadval.b	|- ( ph -> B C_ NN0 )
sadval.c	|- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
sadcp1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
sadcadd.k	|- K = `' (bits |` NN0 )
sadcaddlem.1	|- ( ph -> ( (/) e. ( C ` N ) <-> ( 2 ^ N ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sadcaddlem	|- ( ph -> ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, c, n   A, c, m   B, c, m   n, N

Allowed substitution hints:   ph( m, n, c)   A( n)   B( n)   C( m, n, c)   K( m, n, c)   N( m, c)

Proof of Theorem sadcaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cad1 1521	. . . . 5 |- ( (/) e. ( C ` N ) -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( N e. A \/ N e. B ) ) )
2	1	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( N e. A \/ N e. B ) ) )
3		2nn 10774	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. NN )
5		sadcp1.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	4, 5	nnexpcld 12444	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN )
7	6	nnred 10631	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. RR )
8	7	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A \/ N e. B ) ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
9		inss1 3654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ A
10		sadval.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ NN0 )
11	9, 10	syl5ss 3445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 )
12		fzofi 12194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0..^ N ) e. Fin
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
14		inss2 3655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N )
15		ssfi 7797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N ) ) -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
16	13, 14, 15	sylancl 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
17		elfpw 7881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 /\ ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin ) )
18	11, 16, 17	sylanbrc 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
19		bitsf1o 14431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin )
20		f1ocnv 5831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin ) -> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0
22		sadcadd.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = `' (bits |` NN0 )
23		f1oeq1 5810	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K = `' (bits |` NN0 ) -> ( K : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 <-> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 <-> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
25	21, 24	mpbir 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- K : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0
26		f1of 5819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 -> K : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0 )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- K : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0
28	27	ffvelrni 6026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
29	18, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
30		inss1 3654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ B
31		sadval.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B C_ NN0 )
32	30, 31	syl5ss 3445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 )
33		inss2 3655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N )
34		ssfi 7797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N ) ) -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
35	13, 33, 34	sylancl 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
36		elfpw 7881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 /\ ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin ) )
37	32, 35, 36	sylanbrc 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
38	27	ffvelrni 6026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
40	29, 39	nn0addcld 10936	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. NN0 )
41	40	nn0red 10933	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. RR )
42	41	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A \/ N e. B ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. RR )
43		2nn0 10893	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. A ) -> 2 e. NN0 )
45	5	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. A ) -> N e. NN0 )
46	44, 45	nn0expcld 12445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. A ) -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
47		0nn0 10891	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. N e. A ) -> 0 e. NN0 )
49	46, 48	ifclda 3915	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
50	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. B ) -> 2 e. NN0 )
51	5	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. B ) -> N e. NN0 )
52	50, 51	nn0expcld 12445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. B ) -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
53	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. N e. B ) -> 0 e. NN0 )
54	52, 53	ifclda 3915	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
55	49, 54	nn0addcld 10936	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. NN0 )
56	55	nn0red 10933	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. RR )
57	56	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A \/ N e. B ) ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. RR )
58		sadcaddlem.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (/) e. ( C ` N ) <-> ( 2 ^ N ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
59	58	biimpa 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
60	59	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A \/ N e. B ) ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
61	6	nnnn0d 10932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
62		ifcl 3925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
63	61, 47, 62	sylancl 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
64	63	nn0ge0d 10935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
65	7	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N e. B ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
66		0red 9649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. N e. B ) -> 0 e. RR )
67	65, 66	ifclda 3915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. RR )
68	7, 67	addge01d 10208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 <_ if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) <-> ( 2 ^ N ) <_ ( ( 2 ^ N ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
69	64, 68	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) <_ ( ( 2 ^ N ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
70	69	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. A ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( ( 2 ^ N ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
71		iftrue 3889	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. A -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) = ( 2 ^ N ) )
72	71	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. A ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) = ( 2 ^ N ) )
73	72	oveq1d 6310	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. A ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( 2 ^ N ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
74	70, 73	breqtrrd 4432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. A ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
75		ifcl 3925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
76	61, 47, 75	sylancl 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
77	76	nn0ge0d 10935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
78	7	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N e. A ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
79		0red 9649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. N e. A ) -> 0 e. RR )
80	78, 79	ifclda 3915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. RR )
81	7, 80	addge02d 10209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 <_ if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) <-> ( 2 ^ N ) <_ ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + ( 2 ^ N ) ) ) )
82	77, 81	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) <_ ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + ( 2 ^ N ) ) )
83	82	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. B ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + ( 2 ^ N ) ) )
84		iftrue 3889	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. B -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) = ( 2 ^ N ) )
85	84	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. B ) -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) = ( 2 ^ N ) )
86	85	oveq2d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. B ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + ( 2 ^ N ) ) )
87	83, 86	breqtrrd 4432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ N e. B ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
88	74, 87	jaodan 795	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A \/ N e. B ) ) -> ( 2 ^ N ) <_ ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
89	8, 8, 42, 57, 60, 88	le2addd 10239	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A \/ N e. B ) ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
90	89	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( N e. A \/ N e. B ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
91		ioran 493	. . . . . 6 |- ( -. ( N e. A \/ N e. B ) <-> ( -. N e. A /\ -. N e. B ) )
92		iffalse 3892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. N e. A -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) = 0 )
93	92	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) = 0 )
94		iffalse 3892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. N e. B -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) = 0 )
95	94	ad2antll 736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) = 0 )
96	93, 95	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
97		00id 9813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 0 ) = 0
98	96, 97	syl6eq 2503	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = 0 )
99	98	oveq2d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + 0 ) )
100	29	nn0red 10933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. RR )
101	100	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. RR )
102	39	nn0red 10933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. RR )
103	102	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. RR )
104	101, 103	readdcld 9675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. RR )
105	104	recnd 9674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. CC )
106	105	addid1d 9838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + 0 ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
107	99, 106	eqtrd 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
108	22	fveq1i 5871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) = ( `' (bits |` NN0 ) ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) )
109	108	fveq2i 5873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (bits |` NN0 ) ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( (bits |` NN0 ) ` ( `' (bits |` NN0 ) ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) )
110		fvres 5884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 -> ( (bits |` NN0 ) ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = (bits ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
111	29, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( (bits |` NN0 ) ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = (bits ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
112		f1ocnvfv2 6181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin ) /\ ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) ) -> ( (bits |` NN0 ) ` ( `' (bits |` NN0 ) ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( A i^i ( 0..^ N ) ) )
113	19, 18, 112	sylancr 670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( (bits |` NN0 ) ` ( `' (bits |` NN0 ) ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( A i^i ( 0..^ N ) ) )
114	109, 111, 113	3eqtr3a 2511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (bits ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( A i^i ( 0..^ N ) ) )
115	114, 14	syl6eqss 3484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (bits ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) C_ ( 0..^ N ) )
116	29	nn0zd 11045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ZZ )
117		bitsfzo 14421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) C_ ( 0..^ N ) ) )
118	116, 5, 117	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) ) C_ ( 0..^ N ) ) )
119	115, 118	mpbird 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
120		elfzolt2 11936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) < ( 2 ^ N ) )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) < ( 2 ^ N ) )
122	22	fveq1i 5871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) = ( `' (bits |` NN0 ) ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) )
123	122	fveq2i 5873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (bits |` NN0 ) ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( (bits |` NN0 ) ` ( `' (bits |` NN0 ) ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) )
124		fvres 5884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 -> ( (bits |` NN0 ) ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = (bits ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
125	39, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( (bits |` NN0 ) ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = (bits ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
126		f1ocnvfv2 6181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin ) /\ ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) ) -> ( (bits |` NN0 ) ` ( `' (bits |` NN0 ) ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( B i^i ( 0..^ N ) ) )
127	19, 37, 126	sylancr 670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( (bits |` NN0 ) ` ( `' (bits |` NN0 ) ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( B i^i ( 0..^ N ) ) )
128	123, 125, 127	3eqtr3a 2511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (bits ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) = ( B i^i ( 0..^ N ) ) )
129	128, 33	syl6eqss 3484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (bits ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) C_ ( 0..^ N ) )
130	39	nn0zd 11045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ZZ )
131		bitsfzo 14421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) C_ ( 0..^ N ) ) )
132	130, 5, 131	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) C_ ( 0..^ N ) ) )
133	129, 132	mpbird 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
134		elfzolt2 11936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) < ( 2 ^ N ) )
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) < ( 2 ^ N ) )
136	100, 102, 7, 7, 121, 135	lt2addd 10243	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
137	136	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
138	107, 137	eqbrtrd 4426	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
139	80	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. RR )
140	67	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. RR )
141	139, 140	readdcld 9675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. RR )
142	104, 141	readdcld 9675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) e. RR )
143	7	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
144	143, 143	readdcld 9675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) e. RR )
145	142, 144	ltnled 9787	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <-> -. ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
146	138, 145	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( -. N e. A /\ -. N e. B ) ) -> -. ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
147	146	ex 436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( -. N e. A /\ -. N e. B ) -> -. ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
148	91, 147	syl5bi 221	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( -. ( N e. A \/ N e. B ) -> -. ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
149	90, 148	impcon4bid 209	. . . 4 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( N e. A \/ N e. B ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
150	2, 149	bitrd 257	. . 3 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
151		cad0 1522	. . . . 5 |- ( -. (/) e. ( C ` N ) -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( N e. A /\ N e. B ) ) )
152	151	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( N e. A /\ N e. B ) ) )
153	40	nn0ge0d 10935	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
154	7, 7	readdcld 9675	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) e. RR )
155	154, 41	addge02d 10209	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) ) ) )
156	153, 155	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) ) )
157	156	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A /\ N e. B ) ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) ) )
158	71, 84	oveqan12d 6314	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. A /\ N e. B ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
159	158	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A /\ N e. B ) ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
160	159	oveq2d 6311	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A /\ N e. B ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) ) )
161	157, 160	breqtrrd 4432	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) /\ ( N e. A /\ N e. B ) ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
162	161	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( N e. A /\ N e. B ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
163	100	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. RR )
164	102	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. RR )
165	163, 164	readdcld 9675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. RR )
166	7	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
167	7, 41	lenltd 9786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) <-> -. ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) < ( 2 ^ N ) ) )
168	58, 167	bitrd 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (/) e. ( C ` N ) <-> -. ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) < ( 2 ^ N ) ) )
169	168	con2bid 331	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) < ( 2 ^ N ) <-> -. (/) e. ( C ` N ) ) )
170	169	biimpar 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) < ( 2 ^ N ) )
171	165, 166, 166, 170	ltadd1dd 10231	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
172	165, 166	readdcld 9675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) e. RR )
173	154	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) e. RR )
174	41, 56	readdcld 9675	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) e. RR )
175	174	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) e. RR )
176		ltletr 9730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) /\ ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
177	172, 173, 175, 176	syl3anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) /\ ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
178	171, 177	mpand 682	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
179	56	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. RR )
180	41	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. RR )
181	166, 179, 180	ltadd2d 9796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( 2 ^ N ) < ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <-> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( 2 ^ N ) ) < ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
182	178, 181	sylibrd 238	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) -> ( 2 ^ N ) < ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
183	7, 56	ltnled 9787	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) < ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <-> -. ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
184	63	nn0cnd 10934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
185	184	addid2d 9839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
186	7	leidd 10187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) <_ ( 2 ^ N ) )
187	61	nn0ge0d 10935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ ( 2 ^ N ) )
188		breq1 4408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 ^ N ) = if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) -> ( ( 2 ^ N ) <_ ( 2 ^ N ) <-> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
189		breq1 4408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 = if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) -> ( 0 <_ ( 2 ^ N ) <-> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
190	188, 189	ifboth 3919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 ^ N ) <_ ( 2 ^ N ) /\ 0 <_ ( 2 ^ N ) ) -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) )
191	186, 187, 190	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) )
192	185, 191	eqbrtrd 4426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) )
193	92	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N e. A -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( 0 + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
194	193	breq1d 4415	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. N e. A -> ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) <-> ( 0 + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
195	192, 194	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. N e. A -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
196	195	con1d 128	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) -> N e. A ) )
197	76	nn0cnd 10934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
198	197	addid1d 9838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + 0 ) = if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
199		breq1 4408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 ^ N ) = if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) -> ( ( 2 ^ N ) <_ ( 2 ^ N ) <-> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
200		breq1 4408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 = if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) -> ( 0 <_ ( 2 ^ N ) <-> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
201	199, 200	ifboth 3919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 ^ N ) <_ ( 2 ^ N ) /\ 0 <_ ( 2 ^ N ) ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) )
202	186, 187, 201	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) <_ ( 2 ^ N ) )
203	198, 202	eqbrtrd 4426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + 0 ) <_ ( 2 ^ N ) )
204	94	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N e. B -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + 0 ) )
205	204	breq1d 4415	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. N e. B -> ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) <-> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + 0 ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
206	203, 205	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. N e. B -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) ) )
207	206	con1d 128	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) -> N e. B ) )
208	196, 207	jcad 536	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) <_ ( 2 ^ N ) -> ( N e. A /\ N e. B ) ) )
209	183, 208	sylbid 219	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) < ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) -> ( N e. A /\ N e. B ) ) )
210	209	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( 2 ^ N ) < ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) -> ( N e. A /\ N e. B ) ) )
211	182, 210	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) -> ( N e. A /\ N e. B ) ) )
212	162, 211	impbid 194	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> ( ( N e. A /\ N e. B ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
213	152, 212	bitrd 257	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
214	150, 213	pm2.61dan 801	. 2 |- ( ph -> (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
215		sadval.c	. . 3 |- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
216	10, 31, 215, 5	sadcp1 14441	. 2 |- ( ph -> ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) <-> cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) ) )
217		2cnd 10689	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. CC )
218	217, 5	expp1d 12424	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
219	6	nncnd 10632	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. CC )
220	219	times2d 10863	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) = ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
221	218, 220	eqtrd 2487	. . 3 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) )
222	22	bitsinvp1 14435	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
223	10, 5, 222	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
224	22	bitsinvp1 14435	. . . . . 6 |- ( ( B C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
225	31, 5, 224	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
226	223, 225	oveq12d 6313	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
227	29	nn0cnd 10934	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. CC )
228	39	nn0cnd 10934	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. CC )
229	227, 197, 228, 184	add4d 9863	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
230	226, 229	eqtrd 2487	. . 3 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
231	221, 230	breq12d 4418	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ( 2 ^ N ) + ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) ) )
232	214, 216, 231	3bitr4d 289	1 |- ( ph -> ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1446  caddwcad 1511   e. wcel 1889   i^i cin 3405   C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   ~Pcpw 3953   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   `'ccnv 4836   |` cres 4839   -->wf 5581   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   1oc1o 7180   2oc2o 7181   Fincfn 7574   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   x. cmul 9549   < clt 9680   <_ cle 9681   - cmin 9865   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ZZcz 10944  ..^cfzo 11922   seqcseq 12220   ^cexp 12279  bitscbits 14404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-xor 1408  df-tru 1449  df-fal 1452  df-cad 1512  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-dvds 14318  df-bits 14407

This theorem is referenced by:  sadcadd  14444