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Theorem sadcaddlem 13957
Description: Lemma for sadcadd 13958. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
sadcp1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sadcadd.k  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
sadcaddlem.1  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  N )  <->  ( 2 ^ N )  <_  ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sadcaddlem  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m    n, N
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)    K( m, n, c)    N( m, c)

Proof of Theorem sadcaddlem
StepHypRef Expression
1 cad1 1445 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  ( C `  N
)  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) ) )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) ) )
3 2nn 10684 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
43a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
5 sadcp1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
64, 5nnexpcld 12288 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
76nnred 10542 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR )
87ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  RR )
9 inss1 3713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
10 sadval.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
119, 10syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
12 fzofi 12042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
14 inss2 3714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
15 ssfi 7732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
17 elfpw 7813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
1811, 16, 17sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
19 bitsf1o 13945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
20 f1ocnv 5821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
-1-1-onto-> NN0
22 sadcadd.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
23 f1oeq1 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  =  `' (bits  |`  NN0 )  ->  ( K : ( ~P NN0  i^i  Fin )
-1-1-onto-> NN0 
<->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0  <->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
2521, 24mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
26 f1of 5809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0 )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0
2827ffvelrni 6013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
2918, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
30 inss1 3713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
31 sadval.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3230, 31syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
33 inss2 3714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
34 ssfi 7732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
3513, 33, 34sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
36 elfpw 7813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
3732, 35, 36sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
3827ffvelrni 6013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
4029, 39nn0addcld 10847 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  NN0 )
4140nn0red 10844 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
4241ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
43 2nn0 10803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  2  e.  NN0 )
455adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  N  e.  NN0 )
4644, 45nn0expcld 12289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  e.  NN0 )
47 0nn0 10801 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  A )  ->  0  e.  NN0 )
4946, 48ifclda 3966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
5043a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  2  e.  NN0 )
515adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
5250, 51nn0expcld 12289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  e.  NN0 )
5347a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  B )  ->  0  e.  NN0 )
5452, 53ifclda 3966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
5549, 54nn0addcld 10847 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e. 
NN0 )
5655nn0red 10844 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  RR )
5756ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  RR )
58 sadcaddlem.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  N )  <->  ( 2 ^ N )  <_  ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) ) )
5958biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  <_ 
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
6059adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( 2 ^ N
)  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
616nnnn0d 10843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN0 )
62 ifcl 3976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6361, 47, 62sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6463nn0ge0d 10846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )
657adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
66 0red 9588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  B )  ->  0  e.  RR )
6765, 66ifclda 3966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
687, 67addge01d 10131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <->  ( 2 ^ N )  <_  (
( 2 ^ N
)  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) ) )
6964, 68mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  <_  ( (
2 ^ N )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( ( 2 ^ N )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
71 iftrue 3940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  A  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
7271adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
7372oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
7470, 73breqtrrd 4468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
75 ifcl 3976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
7661, 47, 75sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
7776nn0ge0d 10846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )
787adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  A )  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
79 0red 9588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  A )  ->  0  e.  RR )
8078, 79ifclda 3966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
817, 80addge02d 10132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <->  ( 2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) ) )
8277, 81mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  <_  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) )
8382ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) )
84 iftrue 3940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  B  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
8584adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  ( 2 ^ N ) )
8685oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  ( 2 ^ N ) ) )
8783, 86breqtrrd 4468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  N  e.  B )  ->  (
2 ^ N )  <_  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
8874, 87jaodan 783 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( 2 ^ N
)  <_  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
898, 8, 42, 57, 60, 88le2addd 10161 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  \/  N  e.  B ) )  -> 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9089ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  \/  N  e.  B )  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
91 ioran 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N  e.  A  \/  N  e.  B
)  <->  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B ) )
92 iffalse 3943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  N  e.  A  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
9392ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
94 iffalse 3943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  N  e.  B  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
9594ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  0 )
9693, 95oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
97 00id 9745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  0 )  =  0
9896, 97syl6eq 2519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  0 )
9998oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  0 ) )
10029nn0red 10844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
101100ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
10239nn0red 10844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  RR )
104101, 103readdcld 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
105104recnd 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  CC )
106105addid1d 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  0 )  =  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
10799, 106eqtrd 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
10822fveq1i 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )
109108fveq2i 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
110 fvres 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
11129, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
112 f1ocnvfv2 6164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )  -> 
( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
11319, 18, 112sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
114109, 111, 1133eqtr3a 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )
115114, 14syl6eqss 3549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) )
11629nn0zd 10955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
117 bitsfzo 13935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <-> 
(bits `  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) ) )
118116, 5, 117syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N
) )  <->  (bits `  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
119115, 118mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
120 elfzolt2 11796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  < 
( 2 ^ N
) )
12222fveq1i 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
123122fveq2i 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
124 fvres 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
12539, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
126 f1ocnvfv2 6164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )  -> 
( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
12719, 37, 126sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( `' (bits  |`  NN0 ) `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
128123, 125, 1273eqtr3a 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )
129128, 33syl6eqss 3549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (bits `  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) )
13039nn0zd 10955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
131 bitsfzo 13935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  <-> 
(bits `  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )  C_  (
0..^ N ) ) )
132130, 5, 131syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N
) )  <->  (bits `  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  C_  ( 0..^ N ) ) )
133129, 132mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
134 elfzolt2 11796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ( 0..^ ( 2 ^ N ) )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  < 
( 2 ^ N
) )
136100, 102, 7, 7, 121, 135lt2addd 10165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) ) )
137136ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) )
138107, 137eqbrtrd 4462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
13980ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
14067ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  RR )
141139, 140readdcld 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  e.  RR )
142104, 141readdcld 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1437ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
144143, 143readdcld 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
145142, 144ltnled 9722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  (
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <->  -.  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
146138, 145mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  /\  ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
) )  ->  -.  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
147146ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( -.  N  e.  A  /\  -.  N  e.  B
)  ->  -.  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
14891, 147syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( -.  ( N  e.  A  \/  N  e.  B
)  ->  -.  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
14990, 148impcon4bid 205 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  \/  N  e.  B )  <->  ( ( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
1502, 149bitrd 253 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
151 cad0 1447 . . . . 5  |-  ( -.  (/)  e.  ( C `  N )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) )  <-> 
( N  e.  A  /\  N  e.  B
) ) )
152151adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
15340nn0ge0d 10846 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
1547, 7readdcld 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
155154, 41addge02d 10132 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <-> 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) ) ) )
156153, 155mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) ) )
157156ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) ) ) )
15871, 84oveqan12d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  A  /\  N  e.  B )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
159158adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
160159oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) ) ) )
161157, 160breqtrrd 4468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  (/) 
e.  ( C `  N ) )  /\  ( N  e.  A  /\  N  e.  B
) )  ->  (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
162161ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  /\  N  e.  B )  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
163100adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  RR )
164102adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  RR )
165163, 164readdcld 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
1667adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  e.  RR )
1677, 41lenltd 9721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  <_  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <->  -.  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )
16858, 167bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  N )  <->  -.  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
2 ^ N ) ) )
169168con2bid 329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  (
2 ^ N )  <->  -.  (/)  e.  ( C `
 N ) ) )
170169biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  <  ( 2 ^ N ) )
171165, 166, 166, 170ltadd1dd 10154 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
172165, 166readdcld 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
173154adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR )
17441, 56readdcld 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
175174adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
176 ltletr 9667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  /\  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
177172, 173, 175, 176syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  <  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  /\  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )  ->  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  <  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
178171, 177mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  < 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
17956adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  e.  RR )
18041adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  RR )
181166, 179, 180ltadd2d 9728 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <-> 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( 2 ^ N ) )  <  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
182178, 181sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( 2 ^ N )  < 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
1837, 56ltnled 9722 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <->  -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
18463nn0cnd 10845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
185184addid2d 9771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
1867leidd 10110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  <_  ( 2 ^ N ) )
18761nn0ge0d 10846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2 ^ N ) )
188 breq1 4445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ N )  =  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( ( 2 ^ N )  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
189 breq1 4445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
190188, 189ifboth 3970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  <_  ( 2 ^ N )  /\  0  <_  ( 2 ^ N ) )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  ( 2 ^ N ) )
191186, 187, 190syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) )
192185, 191eqbrtrd 4462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  (
2 ^ N ) )
19392oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  e.  A  -> 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
194193breq1d 4452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  N  e.  A  -> 
( ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  <->  ( 0  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
195192, 194syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  N  e.  A  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
196195con1d 124 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  ->  N  e.  A )
)
19776nn0cnd 10845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
198197addid1d 9770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 )  =  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
199 breq1 4445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ N )  =  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( ( 2 ^ N )  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
200 breq1 4445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
2 ^ N )  <-> 
if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) ) )
201199, 200ifboth 3970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  <_  ( 2 ^ N )  /\  0  <_  ( 2 ^ N ) )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  ( 2 ^ N ) )
202186, 187, 201syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  <_  (
2 ^ N ) )
203198, 202eqbrtrd 4462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 )  <_  (
2 ^ N ) )
20494oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  e.  B  -> 
( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 ) )
205204breq1d 4452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  N  e.  B  -> 
( ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  <->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  0 )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
206203, 205syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  N  e.  B  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N ) ) )
207206con1d 124 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  ->  N  e.  B )
)
208196, 207jcad 533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  <_  ( 2 ^ N )  -> 
( N  e.  A  /\  N  e.  B
) ) )
209183, 208sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  ->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
210209adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
2 ^ N )  <  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  ->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
211182, 210syld 44 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  ->  ( N  e.  A  /\  N  e.  B ) ) )
212162, 211impbid 191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( N  e.  A  /\  N  e.  B )  <->  ( ( 2 ^ N
)  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
213152, 212bitrd 253 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) )  <->  ( (
2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_ 
( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
214150, 213pm2.61dan 789 . 2  |-  ( ph  ->  (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) )  <->  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N
) )  <_  (
( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
215 sadval.c . . 3  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
21610, 31, 215, 5sadcp1 13955 . 2  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ) )
217 2cnd 10599 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
218217, 5expp1d 12268 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
2196nncnd 10543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
220219times2d 10773 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
221218, 220eqtrd 2503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) ) )
22222bitsinvp1 13949 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
22310, 5, 222syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
22422bitsinvp1 13949 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
22531, 5, 224syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
226223, 225oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
22729nn0cnd 10845 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
22839nn0cnd 10845 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
229227, 197, 228, 184add4d 9794 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
230226, 229eqtrd 2503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
231221, 230breq12d 4455 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) )  <-> 
( ( 2 ^ N )  +  ( 2 ^ N ) )  <_  ( (
( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) ) )
232214, 216, 2313bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374  caddwcad 1425    e. wcel 1762    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3780   ifcif 3934   ~Pcpw 4005   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   `'ccnv 4993    |` cres 4996   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   1oc1o 7115   2oc2o 7116   Fincfn 7508   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   NNcn 10527   2c2 10576   NN0cn0 10786   ZZcz 10855  ..^cfzo 11783    seqcseq 12065   ^cexp 12124  bitscbits 13919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-xor 1356  df-tru 1377  df-fal 1380  df-cad 1427  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460  df-dvds 13839  df-bits 13922
This theorem is referenced by:  sadcadd  13958
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