MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd3 Structured version   Unicode version

Theorem sadadd3 13970
Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
sadcp1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sadcadd.k  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
Assertion
Ref Expression
sadadd3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m    n, N
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)    K( m, n, c)    N( m, c)

Proof of Theorem sadadd3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10693 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
21a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
3 sadcp1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
42, 3nnexpcld 12299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
54nnzd 10965 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  ZZ )
6 iddvds 13858 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ N )  e.  ZZ  ->  (
2 ^ N ) 
||  ( 2 ^ N ) )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  ( 2 ^ N ) )
8 dvds0 13860 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ N )  e.  ZZ  ->  (
2 ^ N ) 
||  0 )
95, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  0 )
10 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ N )  =  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  ->  (
( 2 ^ N
)  ||  ( 2 ^ N )  <->  ( 2 ^ N )  ||  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
11 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  ->  (
( 2 ^ N
)  ||  0  <->  ( 2 ^ N )  ||  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
1210, 11ifboth 3975 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  ||  ( 2 ^ N )  /\  ( 2 ^ N
)  ||  0 )  ->  ( 2 ^ N )  ||  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )
137, 9, 12syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  if ( (/) 
e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
14 inss1 3718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( A sadd  B )
15 sadval.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
16 sadval.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
17 sadval.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
1815, 16, 17sadfval 13961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B )  =  { k  e. 
NN0  | hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  k ) ) } )
19 ssrab2 3585 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  k ) ) } 
C_  NN0
2018, 19syl6eqss 3554 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B ) 
C_  NN0 )
2114, 20syl5ss 3515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
22 fzofi 12052 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
24 inss2 3719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
25 ssfi 7740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
2623, 24, 25sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
27 elfpw 7822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) 
<->  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
2821, 26, 27sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
29 bitsf1o 13954 . . . . . . . . . 10  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
30 f1ocnv 5828 . . . . . . . . . 10  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
31 f1of 5816 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
3229, 30, 31mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0
33 sadcadd.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
3433feq1i 5723 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) --> NN0  <->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
3532, 34mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0
3635ffvelrni 6020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
3728, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
3837nn0cnd 10854 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
394nncnd 10552 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
40 0cn 9588 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
41 ifcl 3981 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
4338, 42pncan2d 9932 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  -  ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
4413, 43breqtrrd 4473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  ( (
( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  -  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) )
4537nn0zd 10964 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
465adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  e.  ZZ )
47 0zd 10876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  0  e.  ZZ )
4846, 47ifclda 3971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  ZZ )
4945, 48zaddcld 10970 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  ZZ )
50 moddvds 13854 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN  /\  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  ZZ  /\  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  <-> 
( 2 ^ N
)  ||  ( (
( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  -  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) ) )
514, 49, 45, 50syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K `  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  <-> 
( 2 ^ N
)  ||  ( (
( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  -  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) ) )
5244, 51mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )
5315, 16, 17, 3, 33sadadd2 13969 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
5453oveq1d 6299 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
5552, 54eqtr3d 2510 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379  haddwhad 1429  caddwcad 1430    e. wcel 1767   {crab 2818    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998    |` cres 5001   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   1oc1o 7123   2oc2o 7124   Fincfn 7516   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    - cmin 9805   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864  ..^cfzo 11792    mod cmo 11964    seqcseq 12075   ^cexp 12134    || cdivides 13847  bitscbits 13928   sadd csad 13929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-fal 1385  df-had 1431  df-cad 1432  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-dvds 13848  df-bits 13931  df-sad 13960
This theorem is referenced by:  sadaddlem  13975  sadasslem  13979  sadeq  13981
  Copyright terms: Public domain W3C validator