MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd3 Structured version   Unicode version

Theorem sadadd3 14409
Description: Sum of initial segments of the sadd sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
sadcp1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sadcadd.k  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
Assertion
Ref Expression
sadadd3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m    n, N
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)    K( m, n, c)    N( m, c)

Proof of Theorem sadadd3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10767 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
21a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
3 sadcp1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
42, 3nnexpcld 12434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
54nnzd 11039 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  ZZ )
6 iddvds 14294 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ N )  e.  ZZ  ->  (
2 ^ N ) 
||  ( 2 ^ N ) )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  ( 2 ^ N ) )
8 dvds0 14296 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ N )  e.  ZZ  ->  (
2 ^ N ) 
||  0 )
95, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  0 )
10 breq2 4430 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ N )  =  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  ->  (
( 2 ^ N
)  ||  ( 2 ^ N )  <->  ( 2 ^ N )  ||  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
11 breq2 4430 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  ->  (
( 2 ^ N
)  ||  0  <->  ( 2 ^ N )  ||  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
1210, 11ifboth 3951 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  ||  ( 2 ^ N )  /\  ( 2 ^ N
)  ||  0 )  ->  ( 2 ^ N )  ||  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )
137, 9, 12syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  if ( (/) 
e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
14 inss1 3688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( A sadd  B )
15 sadval.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
16 sadval.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
17 sadval.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
1815, 16, 17sadfval 14400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B )  =  { k  e. 
NN0  | hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  k ) ) } )
19 ssrab2 3552 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  k ) ) } 
C_  NN0
2018, 19syl6eqss 3520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B ) 
C_  NN0 )
2114, 20syl5ss 3481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
22 fzofi 12184 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
24 inss2 3689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
25 ssfi 7798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
2623, 24, 25sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
27 elfpw 7882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) 
<->  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
2821, 26, 27sylanbrc 668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
29 bitsf1o 14393 . . . . . . . . . 10  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
30 f1ocnv 5843 . . . . . . . . . 10  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
31 f1of 5831 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
3229, 30, 31mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0
33 sadcadd.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
3433feq1i 5738 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) --> NN0  <->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
3532, 34mpbir 212 . . . . . . . 8  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0
3635ffvelrni 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
3728, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
3837nn0cnd 10927 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
394nncnd 10625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
40 0cn 9634 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
41 ifcl 3957 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
4239, 40, 41sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
4338, 42pncan2d 9987 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  -  ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  =  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
4413, 43breqtrrd 4452 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  ||  ( (
( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  -  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) )
4537nn0zd 11038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  ZZ )
465adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  e.  ZZ )
47 0zd 10949 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  0  e.  ZZ )
4846, 47ifclda 3947 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  ZZ )
4945, 48zaddcld 11044 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  ZZ )
50 moddvds 14290 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN  /\  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  ZZ  /\  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  <-> 
( 2 ^ N
)  ||  ( (
( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  -  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) ) )
514, 49, 45, 50syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K `  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  <-> 
( 2 ^ N
)  ||  ( (
( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) )  -  ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) ) )
5244, 51mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )
5315, 16, 17, 3, 33sadadd2 14408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
5453oveq1d 6320 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
5552, 54eqtr3d 2472 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  mod  (
2 ^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437  haddwhad 1491  caddwcad 1504    e. wcel 1870   {crab 2786    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ifcif 3915   ~Pcpw 3985   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   `'ccnv 4853    |` cres 4856   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   1oc1o 7183   2oc2o 7184   Fincfn 7577   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    - cmin 9859   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937  ..^cfzo 11913    mod cmo 12093    seqcseq 12210   ^cexp 12269    || cdvds 14283  bitscbits 14367   sadd csad 14368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-xor 1401  df-tru 1440  df-fal 1443  df-had 1492  df-cad 1505  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-dvds 14284  df-bits 14370  df-sad 14399
This theorem is referenced by:  sadaddlem  14414  sadasslem  14418  sadeq  14420
  Copyright terms: Public domain W3C validator