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Theorem sadadd2lem 13957
Description: Lemma for sadadd2 13958. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
sadcp1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sadcadd.k  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
sadadd2lem.1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m    n, N
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)    K( m, n, c)    N( m, c)

Proof of Theorem sadadd2lem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( A sadd  B )
2 sadval.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
3 sadval.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
4 sadval.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
52, 3, 4sadfval 13950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B )  =  { k  e. 
NN0  | hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  k ) ) } )
6 ssrab2 3578 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  k ) ) } 
C_  NN0
75, 6syl6eqss 3547 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B ) 
C_  NN0 )
81, 7syl5ss 3508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
9 fzofi 12040 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
11 inss2 3712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
12 ssfi 7730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
14 elfpw 7811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) 
<->  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
158, 13, 14sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
16 bitsf1o 13943 . . . . . . . . . 10  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
17 f1ocnv 5819 . . . . . . . . . 10  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
18 f1of 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0
20 sadcadd.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
2120feq1i 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) --> NN0  <->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
2219, 21mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0
2322ffvelrni 6011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
2415, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
2524nn0cnd 10843 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
26 2nn0 10801 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
28 sadcp1.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2927, 28nn0expcld 12287 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN0 )
30 0nn0 10799 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
31 ifcl 3974 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 )  e.  NN0 )
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
3332nn0cnd 10843 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
34 1nn0 10800 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
3628, 35nn0addcld 10845 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
3727, 36nn0expcld 12287 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  NN0 )
38 ifcl 3974 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 )  e.  NN0 )
3937, 30, 38sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 )  e.  NN0 )
4039nn0cnd 10843 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 )  e.  CC )
4133, 40addcld 9604 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  ( A sadd  B
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 ( N  + 
1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) )  e.  CC )
4225, 41addcld 9604 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
43 inss1 3711 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
4443, 2syl5ss 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
45 inss2 3712 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
46 ssfi 7730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
4710, 45, 46sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
48 elfpw 7811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
4944, 47, 48sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
5022ffvelrni 6011 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
5251nn0cnd 10843 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
53 inss1 3711 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
5453, 3syl5ss 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
55 inss2 3712 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
56 ssfi 7730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
5710, 55, 56sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
58 elfpw 7811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
5954, 57, 58sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
6022ffvelrni 6011 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
6159, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
6261nn0cnd 10843 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
6352, 62addcld 9604 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  CC )
64 ifcl 3974 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6529, 30, 64sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6665nn0cnd 10843 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
67 ifcl 3974 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6829, 30, 67sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6968nn0cnd 10843 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
7066, 69addcld 9604 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  CC )
7163, 70addcld 9604 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
7229nn0cnd 10843 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
7372adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
74 0cnd 9578 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  0  e.  CC )
7573, 74ifclda 3964 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
76 sadadd2lem.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
772, 3, 4, 28sadval 13954 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( A sadd  B )  <-> hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) ) ) )
7877ifbid 3954 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  if (hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
792, 3, 4, 28sadcp1 13953 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ) )
8027nn0cnd 10843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
8180, 28expp1d 12266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
8272, 80mulcomd 9606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ N ) ) )
8381, 82eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ N ) ) )
8479, 83ifbieq1d 3955 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 )  =  if (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ,  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ,  0 ) )
8578, 84oveq12d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  ( A sadd  B
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 ( N  + 
1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( if (hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ,  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ,  0 ) ) )
86 sadadd2lem2 13948 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ N )  e.  CC  ->  ( if (hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ,  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
8772, 86syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if (hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) ) ,  ( 2  x.  (
2 ^ N ) ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
8885, 87eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  ( A sadd  B
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 ( N  + 
1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
8976, 88oveq12d 6293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9025, 41, 75add32d 9791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
9163, 70, 75addassd 9607 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9289, 90, 913eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
9342, 71, 75, 92addcan2ad 9774 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9425, 33, 40addassd 9607 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
9552, 66, 62, 69add4d 9792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9693, 94, 953eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9720bitsinvp1 13947 . . . 4  |-  ( ( ( A sadd  B ) 
C_  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( K `  ( ( A sadd  B )  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
987, 28, 97syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
9998oveq1d 6290 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )
10020bitsinvp1 13947 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
1012, 28, 100syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
10220bitsinvp1 13947 . . . 4  |-  ( ( B  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
1033, 28, 102syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
104101, 103oveq12d 6293 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
10596, 99, 1043eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374  haddwhad 1424  caddwcad 1425    e. wcel 1762   {crab 2811    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   ifcif 3932   ~Pcpw 4003    |-> cmpt 4498   `'ccnv 4991    |` cres 4994   -->wf 5575   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   1oc1o 7113   2oc2o 7114   Fincfn 7506   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9794   2c2 10574   NN0cn0 10784  ..^cfzo 11781    seqcseq 12063   ^cexp 12122  bitscbits 13917   sadd csad 13918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-xor 1356  df-tru 1377  df-fal 1380  df-had 1426  df-cad 1427  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-dvds 13837  df-bits 13920  df-sad 13949
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