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Theorem sadadd2lem 13766
Description: Lemma for sadadd2 13767. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
sadval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
sadval.c  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
sadcp1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sadcadd.k  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
sadadd2lem.1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, n    A, c, m    B, c, m    n, N
Allowed substitution hints:    ph( m, n, c)    A( n)    B( n)    C( m, n, c)    K( m, n, c)    N( m, c)

Proof of Theorem sadadd2lem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( A sadd  B )
2 sadval.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
3 sadval.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
4 sadval.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  seq 0 ( ( c  e.  2o ,  m  e.  NN0  |->  if (cadd ( m  e.  A ,  m  e.  B ,  (/)  e.  c ) ,  1o ,  (/) ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
52, 3, 4sadfval 13759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B )  =  { k  e. 
NN0  | hadd ( k  e.  A ,  k  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  k ) ) } )
6 ssrab2 3538 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  NN0  | hadd (
k  e.  A , 
k  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  k ) ) } 
C_  NN0
75, 6syl6eqss 3507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A sadd  B ) 
C_  NN0 )
81, 7syl5ss 3468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0 )
9 fzofi 11906 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
11 inss2 3672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N )
12 ssfi 7637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e. 
Fin )
14 elfpw 7717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) 
<->  ( ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0  /\  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
)
158, 13, 14sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
16 bitsf1o 13752 . . . . . . . . . 10  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
17 f1ocnv 5754 . . . . . . . . . 10  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
18 f1of 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  `' (bits  |`  NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0
20 sadcadd.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  `' (bits  |`  NN0 )
2120feq1i 5652 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) --> NN0  <->  `' (bits  |` 
NN0 ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
--> NN0 )
2219, 21mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  K :
( ~P NN0  i^i  Fin ) --> NN0
2322ffvelrni 5944 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
2415, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
2524nn0cnd 10742 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
26 2nn0 10700 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
28 sadcp1.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2927, 28nn0expcld 12140 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN0 )
30 0nn0 10698 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
31 ifcl 3932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 )  e.  NN0 )
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
3332nn0cnd 10742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
34 1nn0 10699 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
3628, 35nn0addcld 10744 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
3727, 36nn0expcld 12140 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  NN0 )
38 ifcl 3932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 )  e.  NN0 )
3937, 30, 38sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 )  e.  NN0 )
4039nn0cnd 10742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 )  e.  CC )
4133, 40addcld 9509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  ( A sadd  B
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 ( N  + 
1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) )  e.  CC )
4225, 41addcld 9509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
43 inss1 3671 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
4443, 2syl5ss 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
45 inss2 3672 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
46 ssfi 7637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
4710, 45, 46sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
48 elfpw 7717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
4944, 47, 48sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
5022ffvelrni 5944 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
5251nn0cnd 10742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
53 inss1 3671 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
5453, 3syl5ss 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
55 inss2 3672 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
56 ssfi 7637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
5710, 55, 56sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
58 elfpw 7717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  <->  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  NN0  /\  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  Fin ) )
5954, 57, 58sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
6022ffvelrni 5944 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  e.  NN0 )
6159, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e. 
NN0 )
6261nn0cnd 10742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  e.  CC )
6352, 62addcld 9509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  e.  CC )
64 ifcl 3932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6529, 30, 64sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6665nn0cnd 10742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
67 ifcl 3932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6829, 30, 67sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  NN0 )
6968nn0cnd 10742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
7066, 69addcld 9509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  e.  CC )
7163, 70addcld 9509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
7229nn0cnd 10742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
7372adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
74 0cnd 9483 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (/)  e.  ( C `  N ) )  ->  0  e.  CC )
7573, 74ifclda 3922 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  e.  CC )
76 sadadd2lem.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
772, 3, 4, 28sadval 13763 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( A sadd  B )  <-> hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) ) ) )
7877ifbid 3912 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  =  if (hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )
792, 3, 4, 28sadcp1 13762 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) )  <-> cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ) )
8027nn0cnd 10742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
8180, 28expp1d 12119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
8272, 80mulcomd 9511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ N ) ) )
8381, 82eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ N ) ) )
8479, 83ifbieq1d 3913 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 )  =  if (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ,  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ,  0 ) )
8578, 84oveq12d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  ( A sadd  B
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 ( N  + 
1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( if (hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ,  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ,  0 ) ) )
86 sadadd2lem2 13757 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ N )  e.  CC  ->  ( if (hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `  N ) ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/)  e.  ( C `
 N ) ) ,  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
8772, 86syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if (hadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if (cadd ( N  e.  A ,  N  e.  B ,  (/) 
e.  ( C `  N ) ) ,  ( 2  x.  (
2 ^ N ) ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
8885, 87eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( N  e.  ( A sadd  B
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 ( N  + 
1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `
 N ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
8976, 88oveq12d 6211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9025, 41, 75add32d 9696 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
9163, 70, 75addassd 9512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9289, 90, 913eqtr4d 2502 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  N
) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  =  ( ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  +  if (
(/)  e.  ( C `  N ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
9342, 71, 75, 92addcan2ad 9679 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9425, 33, 40addassd 9512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ,  0 ) ) ) )
9552, 66, 62, 69add4d 9697 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )  +  ( if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9693, 94, 953eqtr4d 2502 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( ( K `
 ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
9720bitsinvp1 13756 . . . 4  |-  ( ( ( A sadd  B ) 
C_  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( K `  ( ( A sadd  B )  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( ( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
987, 28, 97syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  (
( A sadd  B )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd  B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
9998oveq1d 6208 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( ( K `
 ( ( A sadd 
B )  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  ( A sadd 
B ) ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )
10020bitsinvp1 13756 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
1012, 28, 100syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
10220bitsinvp1 13756 . . . 4  |-  ( ( B  C_  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) )
1033, 28, 102syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( K `  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) ) )
104101, 103oveq12d 6211 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  A , 
( 2 ^ N
) ,  0 ) )  +  ( ( K `  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  +  if ( N  e.  B ,  ( 2 ^ N ) ,  0 ) ) ) )
10596, 99, 1043eqtr4d 2502 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  ( ( A sadd  B
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  +  if ( (/)  e.  ( C `  ( N  +  1 ) ) ,  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( K `  ( A  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  +  ( K `
 ( B  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370  haddwhad 1420  caddwcad 1421    e. wcel 1758   {crab 2799    i^i cin 3428    C_ wss 3429   (/)c0 3738   ifcif 3892   ~Pcpw 3961    |-> cmpt 4451   `'ccnv 4940    |` cres 4943   -->wf 5515   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    |-> cmpt2 6195   1oc1o 7016   2oc2o 7017   Fincfn 7413   CCcc 9384   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    x. cmul 9391    - cmin 9699   2c2 10475   NN0cn0 10683  ..^cfzo 11658    seqcseq 11916   ^cexp 11975  bitscbits 13726   sadd csad 13727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-fal 1376  df-had 1422  df-cad 1423  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-disj 4364  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275  df-dvds 13647  df-bits 13729  df-sad 13758
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