MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s4f1o Structured version   Unicode version

Theorem s4f1o 12848
Description: A length 4 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s4f1o  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) )  -> 
( E  =  <" A B C D ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) ) )

Proof of Theorem s4f1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oun2prg 12847 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
21imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
4 s4prop 12845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  <" A B C D ">  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  ->  <" A B C D ">  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
65eqeq2d 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  ->  ( E  = 
<" A B C D ">  <->  E  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) ) )
76biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  E  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
87eqcomd 2451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } )  =  E )
9 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
10 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
118, 9, 10f1oeq123d 5803 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
123, 11mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
13 dff1o5 5815 . . . . . . . 8  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
1413biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
-1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
15 dff12 5770 . . . . . . . . 9  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  <->  ( E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y ) )
1615bicomi 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  <->  E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) )
1716anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )  <->  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
1814, 17sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( ( E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
19 ffdm 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  ->  ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  dom  E 
C_  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ) )
2019simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  ->  E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) )
2120anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  -> 
( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y ) )
2221anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )  -> 
( ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
2318, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
24 dff12 5770 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y ) )
2524anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )  <->  ( ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
2623, 25sylibr 212 . . . 4  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( E : dom  E
-1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
27 dff1o5 5815 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  ( E : dom  E -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
2826, 27sylibr 212 . . 3  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
2912, 28syl 16 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
3029exp31 604 1  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) )  -> 
( E  =  <" A B C D ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974   A.wal 1381    = wceq 1383    e. wcel 1804   E*wmo 2269    =/= wne 2638    u. cun 3459    C_ wss 3461   {cpr 4016   <.cop 4020   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ran crn 4990   -->wf 5574   -1-1->wf1 5575   -1-1-onto->wf1o 5577   0cc0 9495   1c1 9496   2c2 10592   3c3 10593   <"cs4 12790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-hash 12388  df-word 12524  df-concat 12526  df-s1 12527  df-s2 12795  df-s3 12796  df-s4 12797
This theorem is referenced by:  usgraexmpl  24379  usgraexmpledg  24381
  Copyright terms: Public domain W3C validator