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Theorem s4f1o 12829
Description: A length 4 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s4f1o  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) )  -> 
( E  =  <" A B C D ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) ) )

Proof of Theorem s4f1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oun2prg 12828 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
21imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
4 s4prop 12826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  <" A B C D ">  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  ->  <" A B C D ">  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
65eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  ->  ( E  = 
<" A B C D ">  <->  E  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) ) )
76biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  E  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
87eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } )  =  E )
9 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
10 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
118, 9, 10f1oeq123d 5813 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
123, 11mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
13 dff1o5 5825 . . . . . . . 8  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
1413biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
-1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
15 dff12 5780 . . . . . . . . 9  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  <->  ( E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y ) )
1615bicomi 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  <->  E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) )
1716anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )  <->  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
1814, 17sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( ( E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
19 ffdm 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  ->  ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  dom  E 
C_  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ) )
2019simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  ->  E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) )
2120anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  -> 
( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y ) )
2221anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )  -> 
( ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
2318, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
24 dff12 5780 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y ) )
2524anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )  <->  ( ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
2623, 25sylibr 212 . . . 4  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( E : dom  E
-1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
27 dff1o5 5825 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  ( E : dom  E -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
2826, 27sylibr 212 . . 3  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
2912, 28syl 16 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
3029exp31 604 1  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) )  -> 
( E  =  <" A B C D ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   E*wmo 2276    =/= wne 2662    u. cun 3474    C_ wss 3476   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   -1-1-onto->wf1o 5587   0cc0 9492   1c1 9493   2c2 10585   3c3 10586   <"cs4 12771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374  df-word 12508  df-concat 12510  df-s1 12511  df-s2 12776  df-s3 12777  df-s4 12778
This theorem is referenced by:  usgraexmpl  24105  usgraexmpledg  24107
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