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Theorem s4f1o 12543
Description: A length 4 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s4f1o  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) )  -> 
( E  =  <" A B C D ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) ) )

Proof of Theorem s4f1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oun2prg 12542 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
21imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
4 s4prop 12540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  <" A B C D ">  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  ->  <" A B C D ">  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
65eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  ->  ( E  = 
<" A B C D ">  <->  E  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) ) )
76biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  E  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
87eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } )  =  E )
9 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
10 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
118, 9, 10f1oeq123d 5653 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
123, 11mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
13 dff1o5 5665 . . . . . . . 8  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
1413biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
-1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
15 dff12 5620 . . . . . . . . 9  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  <->  ( E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y ) )
1615bicomi 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  <->  E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) )
1716anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )  <->  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
1814, 17sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( ( E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
19 ffdm 5587 . . . . . . . . 9  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  ->  ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  dom  E 
C_  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ) )
2019simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  ->  E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) )
2120anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  -> 
( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y ) )
2221anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )  -> 
( ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
2318, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
24 dff12 5620 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y ) )
2524anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )  <->  ( ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
2623, 25sylibr 212 . . . 4  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( E : dom  E
-1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
27 dff1o5 5665 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  ( E : dom  E -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
2826, 27sylibr 212 . . 3  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
2912, 28syl 16 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
3029exp31 604 1  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) )  -> 
( E  =  <" A B C D ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   E*wmo 2254    =/= wne 2620    u. cun 3341    C_ wss 3343   {cpr 3894   <.cop 3898   class class class wbr 4307   dom cdm 4855   ran crn 4856   -->wf 5429   -1-1->wf1 5430   -1-1-onto->wf1o 5432   0cc0 9297   1c1 9298   2c2 10386   3c3 10387   <"cs4 12485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-card 8124  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-hash 12119  df-word 12244  df-concat 12246  df-s1 12247  df-s2 12490  df-s3 12491  df-s4 12492
This theorem is referenced by:  usgraexmpl  23334
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