MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s4f1o Structured version   Unicode version

Theorem s4f1o 12922
Description: A length 4 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s4f1o  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) )  -> 
( E  =  <" A B C D ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) ) )

Proof of Theorem s4f1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oun2prg 12921 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
21imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
32adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
4 s4prop 12919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  <" A B C D ">  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
54adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  ->  <" A B C D ">  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
65eqeq2d 2416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  ->  ( E  = 
<" A B C D ">  <->  E  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) ) )
76biimpa 482 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  E  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
87eqcomd 2410 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } )  =  E )
9 eqidd 2403 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
10 eqidd 2403 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
118, 9, 10f1oeq123d 5796 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
123, 11mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
13 dff1o5 5808 . . . . . . . 8  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
1413biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
-1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
15 dff12 5763 . . . . . . . . 9  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  <->  ( E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y ) )
1615bicomi 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  <->  E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) )
1716anbi1i 693 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )  <->  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
1814, 17sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( ( E :
( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
19 ffdm 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  ->  ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  dom  E 
C_  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ) )
2019simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  ->  E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) )
2120anim1i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  -> 
( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y ) )
2221anim1i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )  -> 
( ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
2318, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
)  /\  A. y E* x  x E
y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
24 dff12 5763 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y ) )
2524anbi1i 693 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )  <->  ( ( E : dom  E --> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  A. y E* x  x E y )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
2623, 25sylibr 212 . . . 4  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  -> 
( E : dom  E
-1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) )
27 dff1o5 5808 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  <->  ( E : dom  E -1-1-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  /\  ran  E  =  ( { A ,  B }  u.  { C ,  D }
) ) )
2826, 27sylibr 212 . . 3  |-  ( E : ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
2912, 28syl 17 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) ) )  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) )
3029exp31 602 1  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  A  =/= 
D )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  D  /\  C  =/= 
D ) )  -> 
( E  =  <" A B C D ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { A ,  B }  u.  { C ,  D } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974   A.wal 1403    = wceq 1405    e. wcel 1842   E*wmo 2239    =/= wne 2598    u. cun 3412    C_ wss 3414   {cpr 3974   <.cop 3978   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   ran crn 4824   -->wf 5565   -1-1->wf1 5566   -1-1-onto->wf1o 5568   0cc0 9522   1c1 9523   2c2 10626   3c3 10627   <"cs4 12864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-concat 12593  df-s1 12594  df-s2 12869  df-s3 12870  df-s4 12871
This theorem is referenced by:  usgraexmpl  24818  usgraexmpledg  24820
  Copyright terms: Public domain W3C validator