MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s4dom Structured version   Unicode version

Theorem s4dom 12633
Description: The domain of a length 4 word is the union of two (disjunct) pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s4dom  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( E  =  <" A B C D ">  ->  dom  E  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ) )

Proof of Theorem s4dom
StepHypRef Expression
1 dmeq 5140 . . 3  |-  ( E  =  <" A B C D ">  ->  dom  E  =  dom  <" A B C D "> )
2 s4prop 12629 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  <" A B C D ">  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
32dmeqd 5142 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  dom  <" A B C D ">  =  dom  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
4 dmun 5146 . . . . 5  |-  dom  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } )  =  ( dom  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  dom  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  D >. } )
5 dmpropg 5412 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  dom  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  =  {
0 ,  1 } )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  dom  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  =  { 0 ,  1 } )
7 dmpropg 5412 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  S  /\  D  e.  S )  ->  dom  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  D >. }  =  {
2 ,  3 } )
87adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  dom  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  D >. }  =  { 2 ,  3 } )
96, 8uneq12d 3611 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( dom  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  dom  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  D >. } )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
104, 9syl5eq 2504 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  dom  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
113, 10eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  dom  <" A B C D ">  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
121, 11sylan9eqr 2514 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  dom  E  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
1312ex 434 1  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( E  =  <" A B C D ">  ->  dom  E  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3426   {cpr 3979   <.cop 3983   dom cdm 4940   0cc0 9385   1c1 9386   2c2 10474   3c3 10475   <"cs4 12574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-hash 12207  df-word 12333  df-concat 12335  df-s1 12336  df-s2 12579  df-s3 12580  df-s4 12581
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator