MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s4dom Structured version   Unicode version

Theorem s4dom 12797
Description: The domain of a length 4 word is the union of two (disjunct) pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s4dom  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( E  =  <" A B C D ">  ->  dom  E  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ) )

Proof of Theorem s4dom
StepHypRef Expression
1 dmeq 5129 . . 3  |-  ( E  =  <" A B C D ">  ->  dom  E  =  dom  <" A B C D "> )
2 s4prop 12793 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  <" A B C D ">  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
32dmeqd 5131 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  dom  <" A B C D ">  =  dom  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } ) )
4 dmun 5135 . . . . 5  |-  dom  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } )  =  ( dom  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  dom  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  D >. } )
5 dmpropg 5402 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  dom  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  =  {
0 ,  1 } )
65adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  dom  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  =  { 0 ,  1 } )
7 dmpropg 5402 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  S  /\  D  e.  S )  ->  dom  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  D >. }  =  {
2 ,  3 } )
87adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  dom  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  D >. }  =  { 2 ,  3 } )
96, 8uneq12d 3586 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( dom  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  dom  {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  D >. } )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
104, 9syl5eq 2445 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  dom  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  D >. } )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
113, 10eqtrd 2433 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  ->  dom  <" A B C D ">  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
121, 11sylan9eqr 2455 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S )
)  /\  E  =  <" A B C D "> )  ->  dom  E  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
1312ex 432 1  |-  ( ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( C  e.  S  /\  D  e.  S ) )  -> 
( E  =  <" A B C D ">  ->  dom  E  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    u. cun 3400   {cpr 3959   <.cop 3963   dom cdm 4926   0cc0 9421   1c1 9422   2c2 10520   3c3 10521   <"cs4 12738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-oadd 7070  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-card 8251  df-cda 8479  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-hash 12327  df-word 12465  df-concat 12467  df-s1 12468  df-s2 12743  df-s3 12744  df-s4 12745
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator