MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s2prop Unicode version

Theorem s2prop 11816
Description: A length 2 word is an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s2prop  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  <" A B ">  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )

Proof of Theorem s2prop
StepHypRef Expression
1 df-s2 11767 . 2  |-  <" A B ">  =  (
<" A "> concat  <" B "> )
2 s1cl 11710 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  <" A ">  e. Word  S )
3 cats1un 11745 . . . 4  |-  ( (
<" A ">  e. Word  S  /\  B  e.  S )  ->  ( <" A "> concat  <" B "> )  =  ( <" A ">  u.  {
<. ( # `  <" A "> ) ,  B >. } ) )
42, 3sylan 458 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( <" A "> concat  <" B "> )  =  ( <" A ">  u. 
{ <. ( # `  <" A "> ) ,  B >. } ) )
5 s1val 11707 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  <" A ">  =  { <. 0 ,  A >. } )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  <" A ">  =  { <. 0 ,  A >. } )
76uneq1d 3460 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( <" A ">  u.  { <. (
# `  <" A "> ) ,  B >. } )  =  ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. (
# `  <" A "> ) ,  B >. } ) )
8 df-pr 3781 . . . 4  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. ( # `  <" A "> ) ,  B >. }  =  ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. (
# `  <" A "> ) ,  B >. } )
9 s1len 11713 . . . . . . 7  |-  ( # `  <" A "> )  =  1
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( # `  <" A "> )  =  1 )
1110opeq1d 3950 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  -> 
<. ( # `  <" A "> ) ,  B >.  =  <. 1 ,  B >. )
1211preq2d 3850 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. ( # `  <" A "> ) ,  B >. }  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )
138, 12syl5eqr 2450 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. ( # `  <" A "> ) ,  B >. } )  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
144, 7, 133eqtrd 2440 . 2  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( <" A "> concat  <" B "> )  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )
151, 14syl5eq 2448 1  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  <" A B ">  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3278   {csn 3774   {cpr 3775   <.cop 3777   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947   #chash 11573  Word cword 11672   concat cconcat 11673   <"cs1 11674   <"cs2 11760
This theorem is referenced by:  s4prop  11817  s2f1o  11818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-s1 11680  df-s2 11767
  Copyright terms: Public domain W3C validator