MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s2prop Structured version   Unicode version

Theorem s2prop 12812
Description: A length 2 word is an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s2prop  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  <" A B ">  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )

Proof of Theorem s2prop
StepHypRef Expression
1 df-s2 12763 . 2  |-  <" A B ">  =  (
<" A "> concat  <" B "> )
2 s1cl 12564 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  <" A ">  e. Word  S )
3 cats1un 12651 . . . 4  |-  ( (
<" A ">  e. Word  S  /\  B  e.  S )  ->  ( <" A "> concat  <" B "> )  =  ( <" A ">  u.  {
<. ( # `  <" A "> ) ,  B >. } ) )
42, 3sylan 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( <" A "> concat  <" B "> )  =  ( <" A ">  u. 
{ <. ( # `  <" A "> ) ,  B >. } ) )
5 s1val 12561 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  <" A ">  =  { <. 0 ,  A >. } )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  <" A ">  =  { <. 0 ,  A >. } )
76uneq1d 3650 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( <" A ">  u.  { <. (
# `  <" A "> ) ,  B >. } )  =  ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. (
# `  <" A "> ) ,  B >. } ) )
8 df-pr 4023 . . . 4  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. ( # `  <" A "> ) ,  B >. }  =  ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. (
# `  <" A "> ) ,  B >. } )
9 s1len 12567 . . . . . . 7  |-  ( # `  <" A "> )  =  1
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( # `  <" A "> )  =  1 )
1110opeq1d 4212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  -> 
<. ( # `  <" A "> ) ,  B >.  =  <. 1 ,  B >. )
1211preq2d 4106 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. ( # `  <" A "> ) ,  B >. }  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )
138, 12syl5eqr 2515 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. ( # `  <" A "> ) ,  B >. } )  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
144, 7, 133eqtrd 2505 . 2  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( <" A "> concat  <" B "> )  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )
151, 14syl5eq 2513 1  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  <" A B ">  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    u. cun 3467   {csn 4020   {cpr 4022   <.cop 4026   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   1c1 9482   #chash 12360  Word cword 12487   concat cconcat 12489   <"cs1 12490   <"cs2 12756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-s1 12498  df-s2 12763
This theorem is referenced by:  s4prop  12813  s2f1o  12814  wrdlen2s2  12837
  Copyright terms: Public domain W3C validator