MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s2prop Unicode version

Theorem s2prop 11790
Description: A length 2 word is an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s2prop  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  <" A B ">  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )

Proof of Theorem s2prop
StepHypRef Expression
1 df-s2 11741 . 2  |-  <" A B ">  =  (
<" A "> concat  <" B "> )
2 s1cl 11684 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  <" A ">  e. Word  S )
3 cats1un 11719 . . . 4  |-  ( (
<" A ">  e. Word  S  /\  B  e.  S )  ->  ( <" A "> concat  <" B "> )  =  ( <" A ">  u.  {
<. ( # `  <" A "> ) ,  B >. } ) )
42, 3sylan 458 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( <" A "> concat  <" B "> )  =  ( <" A ">  u. 
{ <. ( # `  <" A "> ) ,  B >. } ) )
5 s1val 11681 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  <" A ">  =  { <. 0 ,  A >. } )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  <" A ">  =  { <. 0 ,  A >. } )
76uneq1d 3445 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( <" A ">  u.  { <. (
# `  <" A "> ) ,  B >. } )  =  ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. (
# `  <" A "> ) ,  B >. } ) )
8 df-pr 3766 . . . 4  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. ( # `  <" A "> ) ,  B >. }  =  ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. (
# `  <" A "> ) ,  B >. } )
9 s1len 11687 . . . . . . 7  |-  ( # `  <" A "> )  =  1
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( # `  <" A "> )  =  1 )
1110opeq1d 3934 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  -> 
<. ( # `  <" A "> ) ,  B >.  =  <. 1 ,  B >. )
1211preq2d 3835 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. ( # `  <" A "> ) ,  B >. }  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )
138, 12syl5eqr 2435 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. ( # `  <" A "> ) ,  B >. } )  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
144, 7, 133eqtrd 2425 . 2  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( <" A "> concat  <" B "> )  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )
151, 14syl5eq 2433 1  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  <" A B ">  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3263   {csn 3759   {cpr 3760   <.cop 3762   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   0cc0 8925   1c1 8926   #chash 11547  Word cword 11646   concat cconcat 11647   <"cs1 11648   <"cs2 11734
This theorem is referenced by:  s4prop  11791  s2f1o  11792
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-hash 11548  df-word 11652  df-concat 11653  df-s1 11654  df-s2 11741
  Copyright terms: Public domain W3C validator