MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1len Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem s1len 12797
Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
s1len  |-  ( # `  <" A "> )  =  1

Proof of Theorem s1len
StepHypRef Expression
1 df-s1 12714 . . 3  |-  <" A ">  =  { <. 0 ,  (  _I  `  A ) >. }
21fveq2i 5882 . 2  |-  ( # `  <" A "> )  =  ( # `
 { <. 0 ,  (  _I  `  A
) >. } )
3 opex 4664 . . 3  |-  <. 0 ,  (  _I  `  A
) >.  e.  _V
4 hashsng 12587 . . 3  |-  ( <.
0 ,  (  _I 
`  A ) >.  e.  _V  ->  ( # `  { <. 0 ,  (  _I 
`  A ) >. } )  =  1 )
53, 4ax-mp 5 . 2  |-  ( # `  { <. 0 ,  (  _I  `  A )
>. } )  =  1
62, 5eqtri 2493 1  |-  ( # `  <" A "> )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   {csn 3959   <.cop 3965    _I cid 4749   ` cfv 5589   0cc0 9557   1c1 9558   #chash 12553   <"cs1 12706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-s1 12714
This theorem is referenced by:  s1nz  12798  s1dm  12799  lsws1  12802  eqs1  12803  wrdl1s1  12805  ccatws1len  12809  ccat2s1len  12811  ccats1val2  12814  ccat2s1p1  12815  ccat2s1p2  12816  cats1un  12886  revs1  12924  cats1fvn  13013  cats1len  13015  s2fv0  13041  s2fv1  13042  s2len  13043  s2prop  13061  s2eq2s1eq  13090  psgnpmtr  17229  efgsval2  17461  efgs1  17463  efgsp1  17465  efgsfo  17467  efgredlemc  17473  pgpfaclem1  17792  wwlknext  25531  wwlknextbi  25532  clwlkisclwwlk2  25597  clwwlkel  25600  wlklenvclwlk  25646  numclwlk1lem2fo  25902  ofs2  29505  signstf0  29529  signstfvn  29530  signstfvp  29532  signsvf1  29542  signsvfn  29543  signshf  29549  1ewlk  40004  1pthdlem1  40023  1pthdlem2  40024  11wlkdlem1  40025  11wlkdlem4  40028  1pthond  40032  lp1cycl  40040
  Copyright terms: Public domain W3C validator