MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1cld Structured version   Unicode version

Theorem s1cld 12299
Description: A singleton word is a word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
s1cld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
Assertion
Ref Expression
s1cld  |-  ( ph  ->  <" A ">  e. Word  B )

Proof of Theorem s1cld
StepHypRef Expression
1 s1cld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
2 s1cl 12298 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  <" A ">  e. Word  B )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  <" A ">  e. Word  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  Word cword 12226   <"cs1 12229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-word 12234  df-s1 12237
This theorem is referenced by:  eqs1  12305  ccats1swrdeqbi  12394  cats1cld  12487  cats1co  12488  s2cld  12501  s2co  12535  gsumwspan  15529  frmdgsum  15545  frmdss2  15546  frmdup2  15548  gsumwrev  15886  psgnunilem5  16005  efginvrel2  16229  efgsval2  16235  efgs1  16237  efgsp1  16239  efgredlemd  16246  efgredlemc  16247  efgrelexlemb  16252  vrgpf  16270  vrgpinv  16271  frgpup2  16278  frgpup3lem  16279  frgpnabllem1  16356  pgpfaclem1  16587  konigsberg  23613  sseqf  26780  ofs2  26950  ofcs2  26951  signstfvneq0  26978  signstfvc  26980  signsvfn  26988  signsvtn  26990  signshf  26994  lswccats1fst  30267  clwlkisclwwlk2  30457  clwwlkel  30460  clwwlkfo  30464  wlkp1lenfislenp  30517  clwlkfoclwwlk  30523
  Copyright terms: Public domain W3C validator