MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1cl Structured version   Unicode version

Theorem s1cl 12580
Description: A singleton word is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
s1cl  |-  ( A  e.  B  ->  <" A ">  e. Word  B )

Proof of Theorem s1cl
StepHypRef Expression
1 s1val 12576 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  <" A ">  =  { <. 0 ,  A >. } )
2 snopiswrd 12523 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  { <. 0 ,  A >. }  e. Word  B )
31, 2eqeltrd 2555 1  |-  ( A  e.  B  ->  <" A ">  e. Word  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   {csn 4027   <.cop 4033   0cc0 9493  Word cword 12501   <"cs1 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-word 12509  df-s1 12512
This theorem is referenced by:  s1cld  12581  s1cli  12582  lsws1  12586  wrdl1s1  12588  ccatws1cl  12590  ccat2s1cl  12591  ccatws1len  12592  wrdlenccats1lenm1  12593  ccat2s1len  12594  ccats1val1  12596  ccats1val2  12597  ccat2s1p1  12598  ccat2s1p2  12599  ccatw2s1ass  12600  lswccats1  12604  ccat2s1fvw  12608  cats1un  12667  reuccats1  12672  s2prop  12828  s2eq2s1eq  12847  gsumws2  15845  gsumccatsn  15846  vrmdfval  15859  vrmdval  15860  vrmdf  15861  psgnpmtr  16350  wwlknext  24497  wwlknextbi  24498  wwlkextsur  24504  clwwlkext2edg  24575  wwlkext2clwwlk  24576  rusgranumwlkb0  24726  clwwlkextfrlem1  24850  numclwwlkovf2ex  24860  numclwlk1lem2foa  24865  numclwlk1lem2fo  24869  signstf0  28276  signstfvn  28277  signstfvp  28279  signstfvneq0  28280  signsvf1  28289
  Copyright terms: Public domain W3C validator