MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rzgrp Structured version   Unicode version

Theorem rzgrp 23502
Description: The quotient group R/Z is a group. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rzgrp.r  |-  R  =  (RRfld  /.s  (RRfld ~QG  ZZ ) )
Assertion
Ref Expression
rzgrp  |-  R  e. 
Grp

Proof of Theorem rzgrp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 19021 . . . . 5  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2 zssre 10952 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
3 resubdrg 19175 . . . . . . 7  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\ RRfld  e.  DivRing )
43simpli 459 . . . . . 6  |-  RR  e.  (SubRing ` fld )
5 df-refld 19172 . . . . . . 7  |- RRfld  =  (flds  RR )
65subsubrg 18034 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  ->  ( ZZ  e.  (SubRing ` RRfld )  <->  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  /\  ZZ  C_  RR ) ) )
74, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` RRfld )  <->  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  /\  ZZ  C_  RR ) )
81, 2, 7mpbir2an 928 . . . 4  |-  ZZ  e.  (SubRing ` RRfld )
9 subrgsubg 18014 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` RRfld )  ->  ZZ  e.  (SubGrp ` RRfld ) )
108, 9ax-mp 5 . . 3  |-  ZZ  e.  (SubGrp ` RRfld )
11 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
1211recnd 9677 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
13 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
1413recnd 9677 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
1512, 14addcomd 9843 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  =  ( y  +  x ) )
1615eleq1d 2491 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  +  y )  e.  ZZ  <->  ( y  +  x )  e.  ZZ ) )
1716rgen2a 2849 . . 3  |-  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( ( x  +  y )  e.  ZZ  <->  ( y  +  x )  e.  ZZ )
18 rebase 19173 . . . 4  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
19 replusg 19177 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` RRfld )
2018, 19isnsg 16846 . . 3  |-  ( ZZ  e.  (NrmSGrp ` RRfld )  <->  ( ZZ  e.  (SubGrp ` RRfld )  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( ( x  +  y )  e.  ZZ  <->  ( y  +  x )  e.  ZZ ) ) )
2110, 17, 20mpbir2an 928 . 2  |-  ZZ  e.  (NrmSGrp ` RRfld )
22 rzgrp.r . . 3  |-  R  =  (RRfld  /.s  (RRfld ~QG  ZZ ) )
2322qusgrp 16872 . 2  |-  ( ZZ  e.  (NrmSGrp ` RRfld )  ->  R  e.  Grp )
2421, 23ax-mp 5 1  |-  R  e. 
Grp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771    C_ wss 3436   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   RRcr 9546    + caddc 9550   ZZcz 10945    /.s cqus 15404   Grpcgrp 16669  SubGrpcsubg 16811  NrmSGrpcnsg 16812   ~QG cqg 16813   DivRingcdr 17975  SubRingcsubrg 18004  ℂfldccnfld 18970  RRfldcrefld 19171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-addf 9626  ax-mulf 9627
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-tpos 6985  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-ec 7377  df-qs 7381  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-sup 7966  df-inf 7967  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-fz 11793  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-0g 15340  df-imas 15407  df-qus 15409  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-subg 16814  df-nsg 16815  df-eqg 16816  df-cmn 17432  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-subrg 18006  df-cnfld 18971  df-refld 19172
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator