MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rzgrp Structured version   Unicode version

Theorem rzgrp 23066
Description: The quotient group R/Z is a group. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rzgrp.r  |-  R  =  (RRfld  /.s  (RRfld ~QG  ZZ ) )
Assertion
Ref Expression
rzgrp  |-  R  e. 
Grp

Proof of Theorem rzgrp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 18597 . . . . 5  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2 zssre 10892 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
3 resubdrg 18770 . . . . . . 7  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\ RRfld  e.  DivRing )
43simpli 458 . . . . . 6  |-  RR  e.  (SubRing ` fld )
5 df-refld 18767 . . . . . . 7  |- RRfld  =  (flds  RR )
65subsubrg 17581 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  ->  ( ZZ  e.  (SubRing ` RRfld )  <->  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  /\  ZZ  C_  RR ) ) )
74, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` RRfld )  <->  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  /\  ZZ  C_  RR ) )
81, 2, 7mpbir2an 920 . . . 4  |-  ZZ  e.  (SubRing ` RRfld )
9 subrgsubg 17561 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` RRfld )  ->  ZZ  e.  (SubGrp ` RRfld ) )
108, 9ax-mp 5 . . 3  |-  ZZ  e.  (SubGrp ` RRfld )
11 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
1211recnd 9639 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
13 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
1413recnd 9639 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
1512, 14addcomd 9799 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  =  ( y  +  x ) )
1615eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  +  y )  e.  ZZ  <->  ( y  +  x )  e.  ZZ ) )
1716rgen2a 2884 . . 3  |-  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( ( x  +  y )  e.  ZZ  <->  ( y  +  x )  e.  ZZ )
18 rebase 18768 . . . 4  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
19 replusg 18772 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` RRfld )
2018, 19isnsg 16356 . . 3  |-  ( ZZ  e.  (NrmSGrp ` RRfld )  <->  ( ZZ  e.  (SubGrp ` RRfld )  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( ( x  +  y )  e.  ZZ  <->  ( y  +  x )  e.  ZZ ) ) )
2110, 17, 20mpbir2an 920 . 2  |-  ZZ  e.  (NrmSGrp ` RRfld )
22 rzgrp.r . . 3  |-  R  =  (RRfld  /.s  (RRfld ~QG  ZZ ) )
2322qusgrp 16382 . 2  |-  ( ZZ  e.  (NrmSGrp ` RRfld )  ->  R  e.  Grp )
2421, 23ax-mp 5 1  |-  R  e. 
Grp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    C_ wss 3471   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508    + caddc 9512   ZZcz 10885    /.s cqus 14921   Grpcgrp 16179  SubGrpcsubg 16321  NrmSGrpcnsg 16322   ~QG cqg 16323   DivRingcdr 17522  SubRingcsubrg 17551  ℂfldccnfld 18546  RRfldcrefld 18766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-0g 14858  df-imas 14924  df-qus 14925  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-subg 16324  df-nsg 16325  df-eqg 16326  df-cmn 16926  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-drng 17524  df-subrg 17553  df-cnfld 18547  df-refld 18767
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator