Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rusgraprop3 Structured version   Unicode version

Theorem rusgraprop3 30693
Description: The properties of a k-regular undirected simple graph expressed with edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
rusgraprop3  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
Distinct variable groups:    E, p    K, p    V, p    n, E, p    n, V
Allowed substitution hint:    K( n)

Proof of Theorem rusgraprop3
StepHypRef Expression
1 rusgraprop2 30692 . 2  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `
 ( <. V ,  E >. Neighbors  p ) )  =  K ) )
2 simp1 988 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `  ( <. V ,  E >. Neighbors  p
) )  =  K )  ->  V USGrph  E )
3 simp2 989 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `  ( <. V ,  E >. Neighbors  p
) )  =  K )  ->  K  e.  NN0 )
4 usgrav 23405 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
54adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0 )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
6 nbgraop 23470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  p  e.  V
)  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  p )  =  { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )
75, 6sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0 )  /\  p  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  p )  =  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)
87fveq2d 5793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0 )  /\  p  e.  V )  ->  ( # `  ( <. V ,  E >. Neighbors  p
) )  =  (
# `  { n  e.  V  |  {
p ,  n }  e.  ran  E } ) )
98eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0 )  /\  p  e.  V )  ->  ( ( # `  ( <. V ,  E >. Neighbors  p
) )  =  K  <-> 
( # `  { n  e.  V  |  {
p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
109biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0 )  /\  p  e.  V )  ->  ( ( # `  ( <. V ,  E >. Neighbors  p
) )  =  K  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K ) )
1110ralimdva 2824 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0 )  ->  ( A. p  e.  V  ( # `  ( <. V ,  E >. Neighbors  p
) )  =  K  ->  A. p  e.  V  ( # `  { n  e.  V  |  {
p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
12113impia 1185 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `  ( <. V ,  E >. Neighbors  p
) )  =  K )  ->  A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K )
132, 3, 123jca 1168 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `  ( <. V ,  E >. Neighbors  p
) )  =  K )  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\ 
A. p  e.  V  ( # `  { n  e.  V  |  {
p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
141, 13syl 16 1  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   {crab 2799   _Vcvv 3068   {cpr 3977   <.cop 3981   class class class wbr 4390   ran crn 4939   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   NN0cn0 10680   #chash 12204   USGrph cusg 23399   Neighbors cnbgra 23464   RegUSGrph crusgra 30678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-xadd 11191  df-fz 11539  df-hash 12205  df-usgra 23401  df-nbgra 23467  df-vdgr 23699  df-rgra 30679  df-rusgra 30680
This theorem is referenced by:  rusgraprop4  30694  rusgrasn  30695  rusgranumwlkl1lem1  30696  rusgranumwlks  30712
  Copyright terms: Public domain W3C validator