Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rusgranumwwlkg Structured version   Unicode version

Theorem rusgranumwwlkg 30745
 Description: In a k-regular graph, the number of walks (represented by words) of a fixed length n from a fixed vertex is k to the power of n. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
rusgranumwwlkg RegUSGrph WWalksN
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem rusgranumwwlkg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6228 . . . . . 6 Walks
21rabex 4554 . . . . 5 Walks
32a1i 11 . . . 4 RegUSGrph Walks
4 fvex 5812 . . . . 5 WWalksN
54rabex 4554 . . . 4 WWalksN
63, 5jctil 537 . . 3 RegUSGrph WWalksN Walks
7 rusisusgra 30716 . . . . . 6 RegUSGrph USGrph
87adantr 465 . . . . 5 RegUSGrph USGrph
9 simpr3 996 . . . . 5 RegUSGrph
10 simpr2 995 . . . . 5 RegUSGrph
11 wlknwwlknvbij 30540 . . . . 5 USGrph Walks WWalksN
128, 9, 10, 11syl3anc 1219 . . . 4 RegUSGrph Walks WWalksN
13 f1oexbi 30324 . . . 4 WWalksN Walks Walks WWalksN
1412, 13sylibr 212 . . 3 RegUSGrph WWalksN Walks
15 hasheqf1oi 12242 . . 3 WWalksN Walks WWalksN Walks WWalksN Walks
166, 14, 15sylc 60 . 2 RegUSGrph WWalksN Walks
17 rusgranumwlkg 30744 . 2 RegUSGrph Walks
1816, 17eqtrd 2495 1 RegUSGrph WWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370  wex 1587   wcel 1758  crab 2803  cvv 3078  cop 3994   class class class wbr 4403  wf1o 5528  cfv 5529  (class class class)co 6203  c1st 6688  c2nd 6689  cfn 7423  cc0 9396  cn0 10693  cexp 11985  chash 12223   USGrph cusg 23436   Walks cwalk 23577   WWalksN cwwlkn 30480   RegUSGrph crusgra 30708 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-disj 4374  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-xadd 11204  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-word 12350  df-lsw 12351  df-concat 12352  df-s1 12353  df-substr 12354  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-sum 13285  df-usgra 23438  df-nbgra 23504  df-wlk 23587  df-vdgr 23736  df-wwlk 30481  df-wwlkn 30482  df-rgra 30709  df-rusgra 30710 This theorem is referenced by:  clwlknclwlkdifnum  30747
 Copyright terms: Public domain W3C validator