Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgranumwwlkg Structured version   Unicode version

Theorem rusgranumwwlkg 25258
 Description: In a k-regular graph, the number of walks (represented by words) of a fixed length n from a fixed vertex is k to the power of n. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
rusgranumwwlkg RegUSGrph WWalksN
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem rusgranumwwlkg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6260 . . . . . 6 Walks
21rabex 4542 . . . . 5 Walks
32a1i 11 . . . 4 RegUSGrph Walks
4 fvex 5813 . . . . 5 WWalksN
54rabex 4542 . . . 4 WWalksN
63, 5jctil 535 . . 3 RegUSGrph WWalksN Walks
7 rusisusgra 25230 . . . . . 6 RegUSGrph USGrph
87adantr 463 . . . . 5 RegUSGrph USGrph
9 simpr3 1003 . . . . 5 RegUSGrph
10 simpr2 1002 . . . . 5 RegUSGrph
11 wlknwwlknvbij 25039 . . . . 5 USGrph Walks WWalksN
128, 9, 10, 11syl3anc 1228 . . . 4 RegUSGrph Walks WWalksN
13 f1oexbi 6686 . . . 4 WWalksN Walks Walks WWalksN
1412, 13sylibr 212 . . 3 RegUSGrph WWalksN Walks
15 hasheqf1oi 12376 . . 3 WWalksN Walks WWalksN Walks WWalksN Walks
166, 14, 15sylc 59 . 2 RegUSGrph WWalksN Walks
17 rusgranumwlkg 25257 . 2 RegUSGrph Walks
1816, 17eqtrd 2441 1 RegUSGrph WWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 972   wceq 1403  wex 1631   wcel 1840  crab 2755  cvv 3056  cop 3975   class class class wbr 4392  wf1o 5522  cfv 5523  (class class class)co 6232  c1st 6734  c2nd 6735  cfn 7472  cc0 9440  cn0 10754  cexp 12118  chash 12357   USGrph cusg 24629   Walks cwalk 24797   WWalksN cwwlkn 24977   RegUSGrph crusgra 25222 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-disj 4364  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-xadd 11288  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-word 12496  df-lsw 12497  df-concat 12498  df-s1 12499  df-substr 12500  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-sum 13563  df-usgra 24632  df-nbgra 24719  df-wlk 24807  df-wwlk 24978  df-wwlkn 24979  df-vdgr 25193  df-rgra 25223  df-rusgra 25224 This theorem is referenced by:  clwlknclwlkdifnum  25260
 Copyright terms: Public domain W3C validator