Theorem rusgranumwlks 25682

Description: Induction step for rusgranumwlk 25683. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
rusgranumwlk.w	|- W = ( n e. NN0 |-> { c e. ( V Walks E ) | ( # ` ( 1st ` c ) ) = n } )
rusgranumwlk.l	|- L = ( v e. V , n e. NN0 |-> ( # ` { w e. ( W ` n ) | ( ( 2nd ` w ) ` 0 ) = v } ) )

Assertion

Ref	Expression
rusgranumwlks	|- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   E, c, n   N, c, n   V, c, n   v, N, w   P, n, v, w   v, V   n, W, v, w   w, V, c   v, E, w   w, K

Allowed substitution hints:   P( c)   K( v, n, c)   L( w, v, n, c)   W( c)

Proof of Theorem rusgranumwlks

Dummy variables i p y x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusisusgra 25657	. . . 4 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> V USGrph E )
2	1	adantr 466	. . 3 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> V USGrph E )
3		simpr2 1012	. . 3 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> P e. V )
4		simp3 1007	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
5	4	adantl 467	. . 3 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> N e. NN0 )
6		rusgranumwlk.w	. . . . 5 |- W = ( n e. NN0 |-> { c e. ( V Walks E ) | ( # ` ( 1st ` c ) ) = n } )
7		rusgranumwlk.l	. . . . 5 |- L = ( v e. V , n e. NN0 |-> ( # ` { w e. ( W ` n ) | ( ( 2nd ` w ) ` 0 ) = v } ) )
8	6, 7	rusgranumwlklem4 25678	. . . 4 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( P L N ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) )
9	8	eqeq1d 2424	. . 3 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) )
10	2, 3, 5, 9	syl3anc 1264	. 2 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) )
11		wwlknredwwlkn0 25453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
12	11	ex 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
13	12	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
14	13	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
15	14	imp 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
16	15	rabbidva 3070	. . . . . . 7 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
17	16	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
18	17	fveq2d 5885	. . . . 5 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
19		simp2 1006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) -> ( y ` 0 ) = P )
20	19	pm4.71ri 637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) /\ y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ) -> ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
22	21	rexbidva 2933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
23		fveq1 5880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
24	23	eqeq1d 2424	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( x ` 0 ) = P <-> ( y ` 0 ) = P ) )
25	24	rexrab 3234	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
26	22, 25	syl6bbr 266	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
27	26	rabbidva 3070	. . . . . . . 8 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
28	27	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
29	28	fveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
30		simplr1 1047	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> V e. Fin )
31		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) )
32		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } = { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P }
33	31, 32	hashwwlkext 25472	. . . . . . 7 |- ( V e. Fin -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
35		fveq1 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( x ` 0 ) = ( w ` 0 ) )
36	35	eqeq1d 2424	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ( x ` 0 ) = P <-> ( w ` 0 ) = P ) )
37	36	cbvrabv 3079	. . . . . . . 8 |- { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P }
38	37	sumeq1i 13763	. . . . . . 7 |- sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
39	38	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
40	29, 34, 39	3eqtrd 2467	. . . . 5 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
41		rusgranumwlklem0 25674	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
42	41	eqcomd 2430	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
43	42	fveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
44	43	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
45		elrabi 3225	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) )
46	45	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) )
47		wwlkexthasheq 25460	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) )
49		rusgraprop3 25669	. . . . . . . . . 10 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) )
50		fveq1 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = y -> ( w ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
51	50	eqeq1d 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = y -> ( ( w ` 0 ) = P <-> ( y ` 0 ) = P ) )
52	51	elrab 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } <-> ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( y ` 0 ) = P ) )
53		wwlknimp 25413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
54	53	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( y ` 0 ) = P ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
55		simpll 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> y e. Word V )
56		nn0p1gt0 10906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN0 -> 0 < ( N + 1 ) )
57	56	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> 0 < ( N + 1 ) )
58	57	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> 0 < ( N + 1 ) )
59		breq2 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( 0 < ( # ` y ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
60	59	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( 0 < ( # ` y ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
61	58, 60	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> 0 < ( # ` y ) )
62		hashle00 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( ( # ` y ) <_ 0 <-> y = (/) ) )
63		lencl 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. Word V -> ( # ` y ) e. NN0 )
64	63	nn0red 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. Word V -> ( # ` y ) e. RR )
65		0re 9650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. RR
66		lenlt 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( # ` y ) <_ 0 <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
67	66	bicomd 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( -. 0 < ( # ` y ) <-> ( # ` y ) <_ 0 ) )
68	64, 65, 67	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( -. 0 < ( # ` y ) <-> ( # ` y ) <_ 0 ) )
69		nne 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( -. y =/= (/) <-> y = (/) )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( -. y =/= (/) <-> y = (/) ) )
71	62, 68, 70	3bitr4rd 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. Word V -> ( -. y =/= (/) <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
72	71	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( -. y =/= (/) <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
73	72	con4bid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y =/= (/) <-> 0 < ( # ` y ) ) )
74	61, 73	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> y =/= (/) )
75	55, 74	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) )
76	75	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
77	76	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
78	54, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( y ` 0 ) = P ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
79	52, 78	sylbi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
80	79	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) )
81		lswcl 12719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) -> ( lastS ` y ) e. V )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( lastS ` y ) e. V )
83	82	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( lastS ` y ) e. V )
84		preq1 4079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = ( lastS ` y ) -> { p , n } = { ( lastS ` y ) , n } )
85	84	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( { p , n } e. ran E <-> { ( lastS ` y ) , n } e. ran E ) )
86	85	rabbidv 3071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = ( lastS ` y ) -> { n e. V | { p , n } e. ran E } = { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } )
87	86	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) )
88	87	eqeq1d 2424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K <-> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) )
89	88	rspcva 3180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( lastS ` y ) e. V /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K )
90	83, 89	sylancom 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K )
91	90	exp41 613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
92	91	com14 91	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
93	92	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
94	49, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
95	94	imp41 596	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K )
96	44, 48, 95	3eqtrd 2467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = K )
97	96	sumeq2dv 13768	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K )
98		oveq1 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
99	98	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
100		wwlknfi 25464	. . . . . . . . . . 11 |- ( V e. Fin -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin )
101	100	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin )
102	101	ad2antlr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin )
103		rabfi 7805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin )
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin )
105		rusgraprop 25655	. . . . . . . . . 10 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( ( V VDeg E ) ` p ) = K ) )
106		nn0cn 10886	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN0 -> K e. CC )
107	106	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( ( V VDeg E ) ` p ) = K ) -> K e. CC )
108	105, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> K e. CC )
109	108	ad2antrr 730	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> K e. CC )
110		fsumconst 13850	. . . . . . . 8 |- ( ( { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin /\ K e. CC ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) )
111	104, 109, 110	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) )
112		expp1 12285	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
113	108, 4, 112	syl2an 479	. . . . . . . 8 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
114	113	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
115	99, 111, 114	3eqtr4d 2473	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
116	97, 115	eqtrd 2463	. . . . 5 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
117	18, 40, 116	3eqtrd 2467	. . . 4 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
118		peano2nn0 10917	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
119	118	3ad2ant3 1028	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
120	119	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
121	6, 7	rusgranumwlklem4 25678	. . . . . . 7 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) )
122	121	eqeq1d 2424	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
123	2, 3, 120, 122	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
124	123	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
125	117, 124	mpbird 235	. . 3 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
126	125	ex 435	. 2 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
127	10, 126	sylbid 218	1 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   (/)c0 3761   {cpr 4000   <.cop 4004   class class class wbr 4423   |-> cmpt 4482   ran crn 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   |-> cmpt2 6307   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   Fincfn 7580   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547   + caddc 9549   x. cmul 9551   < clt 9682   <_ cle 9683   NN0cn0 10876  ..^cfzo 11922   ^cexp 12278   #chash 12521  Word cword 12660   lastS clsw 12661   substr csubstr 12664   sum_csu 13751   USGrph cusg 25055   Walks cwalk 25224   WWalksN cwwlkn 25404   VDeg cvdg 25619   RegUSGrph crusgra 25649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-word 12668  df-lsw 12669  df-concat 12670  df-s1 12671  df-substr 12672  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-usgra 25058  df-nbgra 25146  df-wlk 25234  df-wwlk 25405  df-wwlkn 25406  df-vdgr 25620  df-rgra 25650  df-rusgra 25651

This theorem is referenced by:  rusgranumwlk  25683