Theorem rusgranumwlks 25740

Description: Induction step for rusgranumwlk 25741. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
rusgranumwlk.w	|- W = ( n e. NN0 |-> { c e. ( V Walks E ) | ( # ` ( 1st ` c ) ) = n } )
rusgranumwlk.l	|- L = ( v e. V , n e. NN0 |-> ( # ` { w e. ( W ` n ) | ( ( 2nd ` w ) ` 0 ) = v } ) )

Assertion

Ref	Expression
rusgranumwlks	|- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   E, c, n   N, c, n   V, c, n   v, N, w   P, n, v, w   v, V   n, W, v, w   w, V, c   v, E, w   w, K

Allowed substitution hints:   P( c)   K( v, n, c)   L( w, v, n, c)   W( c)

Proof of Theorem rusgranumwlks

Dummy variables i p y x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusisusgra 25715	. . . 4 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> V USGrph E )
2	1	adantr 471	. . 3 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> V USGrph E )
3		simpr2 1021	. . 3 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> P e. V )
4		simp3 1016	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
5	4	adantl 472	. . 3 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> N e. NN0 )
6		rusgranumwlk.w	. . . . 5 |- W = ( n e. NN0 |-> { c e. ( V Walks E ) | ( # ` ( 1st ` c ) ) = n } )
7		rusgranumwlk.l	. . . . 5 |- L = ( v e. V , n e. NN0 |-> ( # ` { w e. ( W ` n ) | ( ( 2nd ` w ) ` 0 ) = v } ) )
8	6, 7	rusgranumwlklem4 25736	. . . 4 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( P L N ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) )
9	8	eqeq1d 2464	. . 3 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) )
10	2, 3, 5, 9	syl3anc 1276	. 2 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) )
11		wwlknredwwlkn0 25511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
12	11	ex 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
13	12	3ad2ant3 1037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
14	13	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
15	14	imp 435	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
16	15	rabbidva 3047	. . . . . . 7 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
17	16	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
18	17	fveq2d 5896	. . . . 5 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
19		simp2 1015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) -> ( y ` 0 ) = P )
20	19	pm4.71ri 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) /\ y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ) -> ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
22	21	rexbidva 2910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
23		fveq1 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
24	23	eqeq1d 2464	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( x ` 0 ) = P <-> ( y ` 0 ) = P ) )
25	24	rexrab 3214	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
26	22, 25	syl6bbr 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
27	26	rabbidva 3047	. . . . . . . 8 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
28	27	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
29	28	fveq2d 5896	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
30		simplr1 1056	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> V e. Fin )
31		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) )
32		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } = { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P }
33	31, 32	hashwwlkext 25530	. . . . . . 7 |- ( V e. Fin -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
35		fveq1 5891	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( x ` 0 ) = ( w ` 0 ) )
36	35	eqeq1d 2464	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ( x ` 0 ) = P <-> ( w ` 0 ) = P ) )
37	36	cbvrabv 3056	. . . . . . . 8 |- { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P }
38	37	sumeq1i 13819	. . . . . . 7 |- sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
39	38	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
40	29, 34, 39	3eqtrd 2500	. . . . 5 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
41		rusgranumwlklem0 25732	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
42	41	eqcomd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
43	42	fveq2d 5896	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
44	43	adantl 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
45		elrabi 3205	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) )
46	45	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) )
47		wwlkexthasheq 25518	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) )
49		rusgraprop3 25727	. . . . . . . . . 10 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) )
50		fveq1 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = y -> ( w ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
51	50	eqeq1d 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = y -> ( ( w ` 0 ) = P <-> ( y ` 0 ) = P ) )
52	51	elrab 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } <-> ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( y ` 0 ) = P ) )
53		wwlknimp 25471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
54	53	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( y ` 0 ) = P ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
55		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> y e. Word V )
56		nn0p1gt0 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN0 -> 0 < ( N + 1 ) )
57	56	3ad2ant3 1037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> 0 < ( N + 1 ) )
58	57	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> 0 < ( N + 1 ) )
59		breq2 4422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( 0 < ( # ` y ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
60	59	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( 0 < ( # ` y ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
61	58, 60	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> 0 < ( # ` y ) )
62		hashle00 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( ( # ` y ) <_ 0 <-> y = (/) ) )
63		lencl 12728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. Word V -> ( # ` y ) e. NN0 )
64	63	nn0red 10960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. Word V -> ( # ` y ) e. RR )
65		0re 9674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. RR
66		lenlt 9743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( # ` y ) <_ 0 <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
67	66	bicomd 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( -. 0 < ( # ` y ) <-> ( # ` y ) <_ 0 ) )
68	64, 65, 67	sylancl 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( -. 0 < ( # ` y ) <-> ( # ` y ) <_ 0 ) )
69		nne 2639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( -. y =/= (/) <-> y = (/) )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( -. y =/= (/) <-> y = (/) ) )
71	62, 68, 70	3bitr4rd 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. Word V -> ( -. y =/= (/) <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
72	71	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( -. y =/= (/) <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
73	72	con4bid 299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y =/= (/) <-> 0 < ( # ` y ) ) )
74	61, 73	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> y =/= (/) )
75	55, 74	jca 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) )
76	75	ex 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
77	76	3adant3 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
78	54, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( y ` 0 ) = P ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
79	52, 78	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
80	79	imp 435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) )
81		lswcl 12757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) -> ( lastS ` y ) e. V )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( lastS ` y ) e. V )
83	82	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( lastS ` y ) e. V )
84		preq1 4064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = ( lastS ` y ) -> { p , n } = { ( lastS ` y ) , n } )
85	84	eleq1d 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( { p , n } e. ran E <-> { ( lastS ` y ) , n } e. ran E ) )
86	85	rabbidv 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = ( lastS ` y ) -> { n e. V | { p , n } e. ran E } = { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } )
87	86	fveq2d 5896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) )
88	87	eqeq1d 2464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K <-> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) )
89	88	rspcva 3160	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( lastS ` y ) e. V /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K )
90	83, 89	sylancom 678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K )
91	90	exp41 619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
92	91	com14 91	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
93	92	3ad2ant3 1037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
94	49, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
95	94	imp41 602	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K )
96	44, 48, 95	3eqtrd 2500	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = K )
97	96	sumeq2dv 13824	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K )
98		oveq1 6327	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
99	98	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
100		wwlknfi 25522	. . . . . . . . . . 11 |- ( V e. Fin -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin )
101	100	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin )
102	101	ad2antlr 738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin )
103		rabfi 7827	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin )
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin )
105		rusgraprop 25713	. . . . . . . . . 10 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( ( V VDeg E ) ` p ) = K ) )
106		nn0cn 10913	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN0 -> K e. CC )
107	106	3ad2ant2 1036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( ( V VDeg E ) ` p ) = K ) -> K e. CC )
108	105, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> K e. CC )
109	108	ad2antrr 737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> K e. CC )
110		fsumconst 13906	. . . . . . . 8 |- ( ( { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin /\ K e. CC ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) )
111	104, 109, 110	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) )
112		expp1 12317	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
113	108, 4, 112	syl2an 484	. . . . . . . 8 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
114	113	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
115	99, 111, 114	3eqtr4d 2506	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
116	97, 115	eqtrd 2496	. . . . 5 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
117	18, 40, 116	3eqtrd 2500	. . . 4 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
118		peano2nn0 10944	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
119	118	3ad2ant3 1037	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
120	119	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
121	6, 7	rusgranumwlklem4 25736	. . . . . . 7 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) )
122	121	eqeq1d 2464	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
123	2, 3, 120, 122	syl3anc 1276	. . . . 5 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
124	123	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
125	117, 124	mpbird 240	. . 3 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
126	125	ex 440	. 2 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
127	10, 126	sylbid 223	1 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   (/)c0 3743   {cpr 3982   <.cop 3986   class class class wbr 4418   |-> cmpt 4477   ran crn 4857   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   |-> cmpt2 6322   1stc1st 6823   2ndc2nd 6824   Fincfn 7600   CCcc 9568   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571   + caddc 9573   x. cmul 9575   < clt 9706   <_ cle 9707   NN0cn0 10903  ..^cfzo 11952   ^cexp 12310   #chash 12553  Word cword 12695   lastS clsw 12696   substr csubstr 12699   sum_csu 13807   USGrph cusg 25113   Walks cwalk 25282   WWalksN cwwlkn 25462   VDeg cvdg 25677   RegUSGrph crusgra 25707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-disj 4390  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-sup 7987  df-oi 8056  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-rp 11337  df-xadd 11444  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12703  df-lsw 12704  df-concat 12705  df-s1 12706  df-substr 12707  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-clim 13607  df-sum 13808  df-usgra 25116  df-nbgra 25204  df-wlk 25292  df-wwlk 25463  df-wwlkn 25464  df-vdgr 25678  df-rgra 25708  df-rusgra 25709

This theorem is referenced by:  rusgranumwlk  25741