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Theorem rusgranumwlks 24729
Description: Induction step for rusgranumwlk 24730. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgranumwlk.w  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
rusgranumwlk.l  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
Assertion
Ref Expression
rusgranumwlks  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    E, c, n    N, c, n    V, c, n    v, N, w    P, n, v, w    v, V    n, W, v, w   
w, V, c    v, E, w    w, K
Allowed substitution hints:    P( c)    K( v, n, c)    L( w, v, n, c)    W( c)

Proof of Theorem rusgranumwlks
Dummy variables  i  p  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 24704 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  V USGrph  E )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  V USGrph  E )
3 simpr2 1003 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  P  e.  V
)
4 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
54adantl 466 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
6 rusgranumwlk.w . . . . 5  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
7 rusgranumwlk.l . . . . 5  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
86, 7rusgranumwlklem4 24725 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( P L N )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
98eqeq1d 2469 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( P L N )  =  ( K ^ N )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) ) )
102, 3, 5, 9syl3anc 1228 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) ) )
11 wwlknredwwlkn0 24500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) ) )
1211ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( (
w `  0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
13123ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) ) ) )
1413adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( w `
 0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
1514imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
w `  0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) )
1615rabbidva 3104 . . . . . . 7  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
1716adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
1817fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
19 simp2 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E )  ->  (
y `  0 )  =  P )
2019pm4.71ri 633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E )  <->  ( (
y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)  ->  ( (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E )  <->  ( ( y `
 0 )  =  P  /\  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
2221rexbidva 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) ) )
23 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
2423eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x `  0
)  =  P  <->  ( y `  0 )  =  P ) )
2524rexrab 3267 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) )
2622, 25syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) )
2726rabbidva 3104 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) }  =  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
2827adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) }  =  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
2928fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
30 simplr1 1038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  V  e.  Fin )
31 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )
32 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  =  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }
3331, 32hashwwlkext 24519 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e. 
{ x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
3430, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
35 fveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
x `  0 )  =  ( w ` 
0 ) )
3635eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
( x `  0
)  =  P  <->  ( w `  0 )  =  P ) )
3736cbvrabv 3112 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }
3837sumeq1i 13486 . . . . . . . 8  |-  sum_ y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
4034, 39eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
4129, 40eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )  =  sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
42 rusgranumwlklem0 24721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) }  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
4342eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) }  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )
4443fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
46 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  (
w `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
4746eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  ( y `  0 )  =  P ) )
4847elrab 3261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  <->  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( y `  0
)  =  P ) )
4948simplbi 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)
5049adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) )
51 wwlkexthasheq 24507 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } ) )
53 rusgraprop3 24716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
54 wwlknimp 24460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  P )  ->  (
y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
56 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  y  e. Word  V )
57 nn0re 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
58 1re 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  1  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
60 nn0ge0 10822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
61 0lt1 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  <  1
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <  1 )
6357, 59, 60, 62addgegt0d 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  < 
( N  +  1 ) )
64633ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( N  +  1 ) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
66 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0  <  ( # `  y
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
6766ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
0  <  ( # `  y
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
6865, 67mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  0  <  ( # `  y
) )
69 hashle00 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e. Word  V  ->  (
( # `  y )  <_  0  <->  y  =  (/) ) )
70 lencl 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
7170nn0red 10854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( # `
 y )  e.  RR )
72 0re 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  0  e.  RR
73 lenlt 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( # `  y
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
7473bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -.  0  < 
( # `  y )  <-> 
( # `  y )  <_  0 ) )
7571, 72, 74sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  0  <  ( # `  y )  <->  ( # `  y
)  <_  0 ) )
76 nne 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) )
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) ) )
7869, 75, 773bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
7978ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
8079con4bid 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
y  =/=  (/)  <->  0  <  (
# `  y )
) )
8168, 80mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  y  =/=  (/) )
8256, 81jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) )
8382ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
84833adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
8555, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  P )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
8648, 85sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
8786imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) )
88 lswcl 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  y )  e.  V
)
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( lastS  `  y )  e.  V )
9089ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) )  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )  ->  ( lastS  `  y
)  e.  V )
91 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  { p ,  n }  =  {
( lastS  `  y ) ,  n } )
9291eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( {
p ,  n }  e.  ran  E  <->  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E ) )
9392rabbidv 3105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  { n  e.  V  |  {
p ,  n }  e.  ran  E }  =  { n  e.  V  |  { ( lastS  `  y
) ,  n }  e.  ran  E } )
9493fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  ( # `  { n  e.  V  |  { ( lastS  `  y
) ,  n }  e.  ran  E } ) )
9594eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K  <-> 
( # `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
9695rspcva 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( lastS  `  y )  e.  V  /\  A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9790, 96sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) )  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9897exp41 610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K  -> 
( # `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
9998com14 88 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ->  (
# `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
100993ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ->  (
# `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
10153, 100syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  (
y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
102101imp41 593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
10345, 52, 1023eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  K )
104103ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  A. y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  K )
105104sumeq2d 13490 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } K )
106 oveq1 6292 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  x.  K )  =  ( ( K ^ N )  x.  K
) )
107106adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  x.  K
)  =  ( ( K ^ N )  x.  K ) )
108 wwlknfi 24511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin )
1091083ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( V WWalksN  E
) `  N )  e.  Fin )
110109ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  e.  Fin )
111 rabfi 7745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  e.  Fin )
112110, 111syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  e.  Fin )
113 rusgraprop 24702 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  p )  =  K ) )
114 nn0cn 10806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
1151143ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  p
)  =  K )  ->  K  e.  CC )
116113, 115syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  K  e.  CC )
117116ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  K  e.  CC )
118 fsumconst 13571 . . . . . . . 8  |-  ( ( { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  e.  Fin  /\  K  e.  CC )  ->  sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } K  =  ( ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  x.  K ) )
119112, 117, 118syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } K  =  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  x.  K ) )
120 expp1 12142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( K ^ N )  x.  K ) )
121116, 4, 120syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( K ^
( N  +  1 ) )  =  ( ( K ^ N
)  x.  K ) )
122121adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( K ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( K ^ N )  x.  K
) )
123107, 119, 1223eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } K  =  ( K ^
( N  +  1 ) ) )
124105, 123eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
12518, 41, 1243eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
126 peano2nn0 10837 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1271263ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
128127adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  NN0 )
1296, 7rusgranumwlklem4 24725 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
130129eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( P L ( N  +  1 ) )  =  ( K ^ ( N  + 
1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
1312, 3, 128, 130syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
132131adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
133125, 132mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
134133ex 434 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
13510, 134sylbid 215 1  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   (/)c0 3785   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   1stc1st 6783   2ndc2nd 6784   Fincfn 7517   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630   NN0cn0 10796  ..^cfzo 11793   ^cexp 12135   #chash 12374  Word cword 12501   lastS clsw 12502   substr csubstr 12505   sum_csu 13474   USGrph cusg 24103   Walks cwalk 24271   WWalksN cwwlkn 24451   VDeg cvdg 24666   RegUSGrph crusgra 24696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-xadd 11320  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-word 12509  df-lsw 12510  df-concat 12511  df-s1 12512  df-substr 12513  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-usgra 24106  df-nbgra 24193  df-wlk 24281  df-wwlk 24452  df-wwlkn 24453  df-vdgr 24667  df-rgra 24697  df-rusgra 24698
This theorem is referenced by:  rusgranumwlk  24730
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