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Theorem rusgranumwlks 25529
Description: Induction step for rusgranumwlk 25530. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgranumwlk.w  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
rusgranumwlk.l  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
Assertion
Ref Expression
rusgranumwlks  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    E, c, n    N, c, n    V, c, n    v, N, w    P, n, v, w    v, V    n, W, v, w   
w, V, c    v, E, w    w, K
Allowed substitution hints:    P( c)    K( v, n, c)    L( w, v, n, c)    W( c)

Proof of Theorem rusgranumwlks
Dummy variables  i  p  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 25504 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  V USGrph  E )
21adantr 466 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  V USGrph  E )
3 simpr2 1012 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  P  e.  V
)
4 simp3 1007 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
54adantl 467 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
6 rusgranumwlk.w . . . . 5  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
7 rusgranumwlk.l . . . . 5  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
86, 7rusgranumwlklem4 25525 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( P L N )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
98eqeq1d 2431 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( P L N )  =  ( K ^ N )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) ) )
102, 3, 5, 9syl3anc 1264 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) ) )
11 wwlknredwwlkn0 25300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) ) )
1211ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( (
w `  0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
13123ad2ant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) ) ) )
1413adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( w `
 0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
1514imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
w `  0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) )
1615rabbidva 3078 . . . . . . 7  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
1716adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
1817fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
19 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E )  ->  (
y `  0 )  =  P )
2019pm4.71ri 637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E )  <->  ( (
y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)  ->  ( (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E )  <->  ( ( y `
 0 )  =  P  /\  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
2221rexbidva 2943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) ) )
23 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
2423eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x `  0
)  =  P  <->  ( y `  0 )  =  P ) )
2524rexrab 3241 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) )
2622, 25syl6bbr 266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) )
2726rabbidva 3078 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) }  =  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
2827adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) }  =  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
2928fveq2d 5885 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
30 simplr1 1047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  V  e.  Fin )
31 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )
32 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  =  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }
3331, 32hashwwlkext 25319 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e. 
{ x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
3430, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
35 fveq1 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
x `  0 )  =  ( w ` 
0 ) )
3635eqeq1d 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
( x `  0
)  =  P  <->  ( w `  0 )  =  P ) )
3736cbvrabv 3086 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }
3837sumeq1i 13742 . . . . . . 7  |-  sum_ y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
3938a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
4029, 34, 393eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )  =  sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
41 rusgranumwlklem0 25521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) }  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
4241eqcomd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) }  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )
4342fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
4443adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
45 elrabi 3232 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)
4645adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) )
47 wwlkexthasheq 25307 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } ) )
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } ) )
49 rusgraprop3 25516 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
50 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  y  ->  (
w `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
5150eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  y  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  ( y `  0 )  =  P ) )
5251elrab 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  <->  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( y `  0
)  =  P ) )
53 wwlknimp 25260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5453adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  P )  ->  (
y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
55 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  y  e. Word  V )
56 nn0p1gt0 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  < 
( N  +  1 ) )
57563ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( N  +  1 ) )
5857adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
59 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0  <  ( # `  y
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
6059ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
0  <  ( # `  y
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
6158, 60mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  0  <  ( # `  y
) )
62 hashle00 12574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e. Word  V  ->  (
( # `  y )  <_  0  <->  y  =  (/) ) )
63 lencl 12674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
6463nn0red 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( # `
 y )  e.  RR )
65 0re 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  e.  RR
66 lenlt 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( # `  y
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
6766bicomd 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -.  0  < 
( # `  y )  <-> 
( # `  y )  <_  0 ) )
6864, 65, 67sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  0  <  ( # `  y )  <->  ( # `  y
)  <_  0 ) )
69 nne 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) )
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) ) )
7162, 68, 703bitr4rd 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
7271ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
7372con4bid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
y  =/=  (/)  <->  0  <  (
# `  y )
) )
7461, 73mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  y  =/=  (/) )
7555, 74jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) )
7675ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
77763adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
7854, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  P )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
7952, 78sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
8079imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) )
81 lswcl 12702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  y )  e.  V
)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( lastS  `  y )  e.  V )
8382ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) )  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )  ->  ( lastS  `  y
)  e.  V )
84 preq1 4082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  { p ,  n }  =  {
( lastS  `  y ) ,  n } )
8584eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( {
p ,  n }  e.  ran  E  <->  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E ) )
8685rabbidv 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  { n  e.  V  |  {
p ,  n }  e.  ran  E }  =  { n  e.  V  |  { ( lastS  `  y
) ,  n }  e.  ran  E } )
8786fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  ( # `  { n  e.  V  |  { ( lastS  `  y
) ,  n }  e.  ran  E } ) )
8887eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K  <-> 
( # `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
8988rspcva 3186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( lastS  `  y )  e.  V  /\  A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9083, 89sylancom 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) )  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9190exp41 613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K  -> 
( # `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
9291com14 91 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ->  (
# `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
93923ad2ant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ->  (
# `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
9449, 93syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  (
y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
9594imp41 596 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9644, 48, 953eqtrd 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  K )
9796sumeq2dv 13747 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } K )
98 oveq1 6312 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  x.  K )  =  ( ( K ^ N )  x.  K
) )
9998adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  x.  K
)  =  ( ( K ^ N )  x.  K ) )
100 wwlknfi 25311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin )
1011003ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( V WWalksN  E
) `  N )  e.  Fin )
102101ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  e.  Fin )
103 rabfi 7802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  e.  Fin )
104102, 103syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  e.  Fin )
105 rusgraprop 25502 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  p )  =  K ) )
106 nn0cn 10879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
1071063ad2ant2 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  p
)  =  K )  ->  K  e.  CC )
108105, 107syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  K  e.  CC )
109108ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  K  e.  CC )
110 fsumconst 13829 . . . . . . . 8  |-  ( ( { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  e.  Fin  /\  K  e.  CC )  ->  sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } K  =  ( ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  x.  K ) )
111104, 109, 110syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } K  =  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  x.  K ) )
112 expp1 12276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( K ^ N )  x.  K ) )
113108, 4, 112syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( K ^
( N  +  1 ) )  =  ( ( K ^ N
)  x.  K ) )
114113adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( K ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( K ^ N )  x.  K
) )
11599, 111, 1143eqtr4d 2480 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } K  =  ( K ^
( N  +  1 ) ) )
11697, 115eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
11718, 40, 1163eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
118 peano2nn0 10910 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1191183ad2ant3 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
120119adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  NN0 )
1216, 7rusgranumwlklem4 25525 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
122121eqeq1d 2431 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( P L ( N  +  1 ) )  =  ( K ^ ( N  + 
1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
1232, 3, 120, 122syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
124123adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
125117, 124mpbird 235 . . 3  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
126125ex 435 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
12710, 126sylbid 218 1  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   (/)c0 3767   {cpr 4004   <.cop 4008   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   Fincfn 7577   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675   NN0cn0 10869  ..^cfzo 11913   ^cexp 12269   #chash 12512  Word cword 12643   lastS clsw 12644   substr csubstr 12647   sum_csu 13730   USGrph cusg 24903   Walks cwalk 25071   WWalksN cwwlkn 25251   VDeg cvdg 25466   RegUSGrph crusgra 25496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-word 12651  df-lsw 12652  df-concat 12653  df-s1 12654  df-substr 12655  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-usgra 24906  df-nbgra 24993  df-wlk 25081  df-wwlk 25252  df-wwlkn 25253  df-vdgr 25467  df-rgra 25497  df-rusgra 25498
This theorem is referenced by:  rusgranumwlk  25530
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