Theorem rusgranumwlks 24821

Description: Induction step for rusgranumwlk 24822. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
rusgranumwlk.w	|- W = ( n e. NN0 |-> { c e. ( V Walks E ) | ( # ` ( 1st ` c ) ) = n } )
rusgranumwlk.l	|- L = ( v e. V , n e. NN0 |-> ( # ` { w e. ( W ` n ) | ( ( 2nd ` w ) ` 0 ) = v } ) )

Assertion

Ref	Expression
rusgranumwlks	|- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   E, c, n   N, c, n   V, c, n   v, N, w   P, n, v, w   v, V   n, W, v, w   w, V, c   v, E, w   w, K

Allowed substitution hints:   P( c)   K( v, n, c)   L( w, v, n, c)   W( c)

Proof of Theorem rusgranumwlks

Dummy variables i p y x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusisusgra 24796	. . . 4 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> V USGrph E )
2	1	adantr 465	. . 3 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> V USGrph E )
3		simpr2 1002	. . 3 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> P e. V )
4		simp3 997	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
5	4	adantl 466	. . 3 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> N e. NN0 )
6		rusgranumwlk.w	. . . . 5 |- W = ( n e. NN0 |-> { c e. ( V Walks E ) | ( # ` ( 1st ` c ) ) = n } )
7		rusgranumwlk.l	. . . . 5 |- L = ( v e. V , n e. NN0 |-> ( # ` { w e. ( W ` n ) | ( ( 2nd ` w ) ` 0 ) = v } ) )
8	6, 7	rusgranumwlklem4 24817	. . . 4 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( P L N ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) )
9	8	eqeq1d 2443	. . 3 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) )
10	2, 3, 5, 9	syl3anc 1227	. 2 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) )
11		wwlknredwwlkn0 24592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
12	11	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
13	12	3ad2ant3 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
14	13	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
15	14	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
16	15	rabbidva 3084	. . . . . . 7 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
17	16	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
18	17	fveq2d 5856	. . . . 5 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
19		simp2 996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) -> ( y ` 0 ) = P )
20	19	pm4.71ri 633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) /\ y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ) -> ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
22	21	rexbidva 2949	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
23		fveq1 5851	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
24	23	eqeq1d 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( x ` 0 ) = P <-> ( y ` 0 ) = P ) )
25	24	rexrab 3247	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
26	22, 25	syl6bbr 263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
27	26	rabbidva 3084	. . . . . . . 8 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
28	27	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
29	28	fveq2d 5856	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
30		simplr1 1037	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> V e. Fin )
31		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) )
32		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } = { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P }
33	31, 32	hashwwlkext 24611	. . . . . . 7 |- ( V e. Fin -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
34	30, 33	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
35		fveq1 5851	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( x ` 0 ) = ( w ` 0 ) )
36	35	eqeq1d 2443	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ( x ` 0 ) = P <-> ( w ` 0 ) = P ) )
37	36	cbvrabv 3092	. . . . . . . 8 |- { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P }
38	37	sumeq1i 13494	. . . . . . 7 |- sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
39	38	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
40	29, 34, 39	3eqtrd 2486	. . . . 5 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
41		rusgranumwlklem0 24813	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
42	41	eqcomd 2449	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
43	42	fveq2d 5856	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
44	43	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
45		elrabi 3238	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) )
46	45	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) )
47		wwlkexthasheq 24599	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) )
48	46, 47	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) )
49		rusgraprop3 24808	. . . . . . . . . 10 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) )
50		fveq1 5851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = y -> ( w ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
51	50	eqeq1d 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = y -> ( ( w ` 0 ) = P <-> ( y ` 0 ) = P ) )
52	51	elrab 3241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } <-> ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( y ` 0 ) = P ) )
53		wwlknimp 24552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( y ` 0 ) = P ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
55		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> y e. Word V )
56		nn0p1gt0 10826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN0 -> 0 < ( N + 1 ) )
57	56	3ad2ant3 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> 0 < ( N + 1 ) )
58	57	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> 0 < ( N + 1 ) )
59		breq2 4437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( 0 < ( # ` y ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
60	59	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( 0 < ( # ` y ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
61	58, 60	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> 0 < ( # ` y ) )
62		hashle00 12439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( ( # ` y ) <_ 0 <-> y = (/) ) )
63		lencl 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. Word V -> ( # ` y ) e. NN0 )
64	63	nn0red 10854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. Word V -> ( # ` y ) e. RR )
65		0re 9594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. RR
66		lenlt 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( # ` y ) <_ 0 <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
67	66	bicomd 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( -. 0 < ( # ` y ) <-> ( # ` y ) <_ 0 ) )
68	64, 65, 67	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( -. 0 < ( # ` y ) <-> ( # ` y ) <_ 0 ) )
69		nne 2642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( -. y =/= (/) <-> y = (/) )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( -. y =/= (/) <-> y = (/) ) )
71	62, 68, 70	3bitr4rd 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. Word V -> ( -. y =/= (/) <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
72	71	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( -. y =/= (/) <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
73	72	con4bid 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y =/= (/) <-> 0 < ( # ` y ) ) )
74	61, 73	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> y =/= (/) )
75	55, 74	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) )
76	75	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
77	76	3adant3 1015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
78	54, 77	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( y ` 0 ) = P ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
79	52, 78	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
80	79	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) )
81		lswcl 12563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) -> ( lastS ` y ) e. V )
82	80, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( lastS ` y ) e. V )
83	82	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( lastS ` y ) e. V )
84		preq1 4090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = ( lastS ` y ) -> { p , n } = { ( lastS ` y ) , n } )
85	84	eleq1d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( { p , n } e. ran E <-> { ( lastS ` y ) , n } e. ran E ) )
86	85	rabbidv 3085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = ( lastS ` y ) -> { n e. V | { p , n } e. ran E } = { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } )
87	86	fveq2d 5856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) )
88	87	eqeq1d 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K <-> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) )
89	88	rspcva 3192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( lastS ` y ) e. V /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K )
90	83, 89	sylancom 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K )
91	90	exp41 610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
92	91	com14 88	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
93	92	3ad2ant3 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
94	49, 93	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
95	94	imp41 593	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K )
96	44, 48, 95	3eqtrd 2486	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = K )
97	96	sumeq2dv 13499	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K )
98		oveq1 6284	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
99	98	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
100		wwlknfi 24603	. . . . . . . . . . 11 |- ( V e. Fin -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin )
101	100	3ad2ant1 1016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin )
102	101	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin )
103		rabfi 7742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin )
104	102, 103	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin )
105		rusgraprop 24794	. . . . . . . . . 10 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( ( V VDeg E ) ` p ) = K ) )
106		nn0cn 10806	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN0 -> K e. CC )
107	106	3ad2ant2 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( ( V VDeg E ) ` p ) = K ) -> K e. CC )
108	105, 107	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> K e. CC )
109	108	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> K e. CC )
110		fsumconst 13579	. . . . . . . 8 |- ( ( { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin /\ K e. CC ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) )
111	104, 109, 110	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) )
112		expp1 12147	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
113	108, 4, 112	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
114	113	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
115	99, 111, 114	3eqtr4d 2492	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
116	97, 115	eqtrd 2482	. . . . 5 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
117	18, 40, 116	3eqtrd 2486	. . . 4 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
118		peano2nn0 10837	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
119	118	3ad2ant3 1018	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
120	119	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
121	6, 7	rusgranumwlklem4 24817	. . . . . . 7 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) )
122	121	eqeq1d 2443	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
123	2, 3, 120, 122	syl3anc 1227	. . . . 5 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
124	123	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
125	117, 124	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
126	125	ex 434	. 2 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
127	10, 126	sylbid 215	1 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   {crab 2795   (/)c0 3767   {cpr 4012   <.cop 4016   class class class wbr 4433   |-> cmpt 4491   ran crn 4986   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   |-> cmpt2 6279   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780   Fincfn 7514   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   + caddc 9493   x. cmul 9495   < clt 9626   <_ cle 9627   NN0cn0 10796  ..^cfzo 11798   ^cexp 12140   #chash 12379  Word cword 12508   lastS clsw 12509   substr csubstr 12512   sum_csu 13482   USGrph cusg 24195   Walks cwalk 24363   WWalksN cwwlkn 24543   VDeg cvdg 24758   RegUSGrph crusgra 24788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-disj 4404  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-xadd 11323  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-word 12516  df-lsw 12517  df-concat 12518  df-s1 12519  df-substr 12520  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-sum 13483  df-usgra 24198  df-nbgra 24285  df-wlk 24373  df-wwlk 24544  df-wwlkn 24545  df-vdgr 24759  df-rgra 24789  df-rusgra 24790

This theorem is referenced by:  rusgranumwlk  24822