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Theorem rusgranumwlks 25098
Description: Induction step for rusgranumwlk 25099. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgranumwlk.w  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
rusgranumwlk.l  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
Assertion
Ref Expression
rusgranumwlks  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    E, c, n    N, c, n    V, c, n    v, N, w    P, n, v, w    v, V    n, W, v, w   
w, V, c    v, E, w    w, K
Allowed substitution hints:    P( c)    K( v, n, c)    L( w, v, n, c)    W( c)

Proof of Theorem rusgranumwlks
Dummy variables  i  p  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 25073 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  V USGrph  E )
21adantr 463 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  V USGrph  E )
3 simpr2 1001 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  P  e.  V
)
4 simp3 996 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
54adantl 464 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
6 rusgranumwlk.w . . . . 5  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
7 rusgranumwlk.l . . . . 5  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
86, 7rusgranumwlklem4 25094 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( P L N )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
98eqeq1d 2394 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( P L N )  =  ( K ^ N )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) ) )
102, 3, 5, 9syl3anc 1226 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) ) )
11 wwlknredwwlkn0 24869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) ) )
1211ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( (
w `  0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
13123ad2ant3 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) ) ) )
1413adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( w `
 0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
1514imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
w `  0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) )
1615rabbidva 3038 . . . . . . 7  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
1716adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
1817fveq2d 5791 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
19 simp2 995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E )  ->  (
y `  0 )  =  P )
2019pm4.71ri 631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E )  <->  ( (
y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)  ->  ( (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E )  <->  ( ( y `
 0 )  =  P  /\  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
2221rexbidva 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) ) )
23 fveq1 5786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
2423eqeq1d 2394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x `  0
)  =  P  <->  ( y `  0 )  =  P ) )
2524rexrab 3201 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) )
2622, 25syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) )
2726rabbidva 3038 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) }  =  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
2827adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) }  =  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
2928fveq2d 5791 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
30 simplr1 1036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  V  e.  Fin )
31 eqid 2392 . . . . . . . 8  |-  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )
32 eqid 2392 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  =  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }
3331, 32hashwwlkext 24888 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e. 
{ x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
3430, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
35 fveq1 5786 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
x `  0 )  =  ( w ` 
0 ) )
3635eqeq1d 2394 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
( x `  0
)  =  P  <->  ( w `  0 )  =  P ) )
3736cbvrabv 3046 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }
3837sumeq1i 13541 . . . . . . 7  |-  sum_ y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
3938a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
4029, 34, 393eqtrd 2437 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )  =  sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
41 rusgranumwlklem0 25090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) }  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
4241eqcomd 2400 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) }  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )
4342fveq2d 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
4443adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
45 elrabi 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)
4645adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) )
47 wwlkexthasheq 24876 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } ) )
49 rusgraprop3 25085 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
50 fveq1 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  y  ->  (
w `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
5150eqeq1d 2394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  y  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  ( y `  0 )  =  P ) )
5251elrab 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  <->  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( y `  0
)  =  P ) )
53 wwlknimp 24829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5453adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  P )  ->  (
y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
55 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  y  e. Word  V )
56 nn0p1gt0 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  < 
( N  +  1 ) )
57563ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( N  +  1 ) )
5857adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
59 breq2 4384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0  <  ( # `  y
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
6059ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
0  <  ( # `  y
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
6158, 60mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  0  <  ( # `  y
) )
62 hashle00 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e. Word  V  ->  (
( # `  y )  <_  0  <->  y  =  (/) ) )
63 lencl 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
6463nn0red 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( # `
 y )  e.  RR )
65 0re 9525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  e.  RR
66 lenlt 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( # `  y
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
6766bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -.  0  < 
( # `  y )  <-> 
( # `  y )  <_  0 ) )
6864, 65, 67sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  0  <  ( # `  y )  <->  ( # `  y
)  <_  0 ) )
69 nne 2593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) )
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) ) )
7162, 68, 703bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
7271ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
7372con4bid 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
y  =/=  (/)  <->  0  <  (
# `  y )
) )
7461, 73mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  y  =/=  (/) )
7555, 74jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) )
7675ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
77763adant3 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
7854, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  P )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
7952, 78sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
8079imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) )
81 lswcl 12516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  y )  e.  V
)
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( lastS  `  y )  e.  V )
8382ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) )  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )  ->  ( lastS  `  y
)  e.  V )
84 preq1 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  { p ,  n }  =  {
( lastS  `  y ) ,  n } )
8584eleq1d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( {
p ,  n }  e.  ran  E  <->  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E ) )
8685rabbidv 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  { n  e.  V  |  {
p ,  n }  e.  ran  E }  =  { n  e.  V  |  { ( lastS  `  y
) ,  n }  e.  ran  E } )
8786fveq2d 5791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  ( # `  { n  e.  V  |  { ( lastS  `  y
) ,  n }  e.  ran  E } ) )
8887eqeq1d 2394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K  <-> 
( # `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
8988rspcva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( lastS  `  y )  e.  V  /\  A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9083, 89sylancom 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) )  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9190exp41 608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K  -> 
( # `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
9291com14 88 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ->  (
# `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
93923ad2ant3 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ->  (
# `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
9449, 93syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  (
y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
9594imp41 591 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9644, 48, 953eqtrd 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  K )
9796sumeq2dv 13546 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } K )
98 oveq1 6221 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  x.  K )  =  ( ( K ^ N )  x.  K
) )
9998adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  x.  K
)  =  ( ( K ^ N )  x.  K ) )
100 wwlknfi 24880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin )
1011003ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( V WWalksN  E
) `  N )  e.  Fin )
102101ad2antlr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  e.  Fin )
103 rabfi 7678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  e.  Fin )
104102, 103syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  e.  Fin )
105 rusgraprop 25071 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  p )  =  K ) )
106 nn0cn 10740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
1071063ad2ant2 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  p
)  =  K )  ->  K  e.  CC )
108105, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  K  e.  CC )
109108ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  K  e.  CC )
110 fsumconst 13626 . . . . . . . 8  |-  ( ( { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  e.  Fin  /\  K  e.  CC )  ->  sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } K  =  ( ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  x.  K ) )
111104, 109, 110syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } K  =  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  x.  K ) )
112 expp1 12095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( K ^ N )  x.  K ) )
113108, 4, 112syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( K ^
( N  +  1 ) )  =  ( ( K ^ N
)  x.  K ) )
114113adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( K ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( K ^ N )  x.  K
) )
11599, 111, 1143eqtr4d 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } K  =  ( K ^
( N  +  1 ) ) )
11697, 115eqtrd 2433 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
11718, 40, 1163eqtrd 2437 . . . 4  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
118 peano2nn0 10771 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1191183ad2ant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
120119adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  NN0 )
1216, 7rusgranumwlklem4 25094 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
122121eqeq1d 2394 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( P L ( N  +  1 ) )  =  ( K ^ ( N  + 
1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
1232, 3, 120, 122syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
124123adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
125117, 124mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
126125ex 432 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
12710, 126sylbid 215 1  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2587   A.wral 2742   E.wrex 2743   {crab 2746   (/)c0 3724   {cpr 3959   <.cop 3963   class class class wbr 4380    |-> cmpt 4438   ran crn 4927   ` cfv 5509  (class class class)co 6214    |-> cmpt2 6216   1stc1st 6715   2ndc2nd 6716   Fincfn 7453   CCcc 9419   RRcr 9420   0cc0 9421   1c1 9422    + caddc 9424    x. cmul 9426    < clt 9557    <_ cle 9558   NN0cn0 10730  ..^cfzo 11735   ^cexp 12088   #chash 12326  Word cword 12457   lastS clsw 12458   substr csubstr 12461   sum_csu 13529   USGrph cusg 24472   Walks cwalk 24640   WWalksN cwwlkn 24820   VDeg cvdg 25035   RegUSGrph crusgra 25065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-disj 4352  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-2o 7067  df-oadd 7070  df-er 7247  df-map 7358  df-pm 7359  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-sup 7834  df-oi 7868  df-card 8251  df-cda 8479  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-rp 11158  df-xadd 11258  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-seq 12030  df-exp 12089  df-hash 12327  df-word 12465  df-lsw 12466  df-concat 12467  df-s1 12468  df-substr 12469  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-clim 13332  df-sum 13530  df-usgra 24475  df-nbgra 24562  df-wlk 24650  df-wwlk 24821  df-wwlkn 24822  df-vdgr 25036  df-rgra 25066  df-rusgra 25067
This theorem is referenced by:  rusgranumwlk  25099
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