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Theorem rusgranumwlks 30499
Description: Induction step for rusgranumwlk 30500. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgranumwlk.w  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
rusgranumwlk.l  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
Assertion
Ref Expression
rusgranumwlks  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    E, c, n    N, c, n    V, c, n    v, N, w    P, n, v, w    v, V    n, W, v, w   
w, V, c    v, E, w    w, K
Allowed substitution hints:    P( c)    K( v, n, c)    L( w, v, n, c)    W( c)

Proof of Theorem rusgranumwlks
Dummy variables  i  p  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 30473 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  V USGrph  E )
21adantr 462 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  V USGrph  E )
3 simpr2 990 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  P  e.  V
)
4 simp3 985 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
54adantl 463 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
6 rusgranumwlk.w . . . . 5  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
7 rusgranumwlk.l . . . . 5  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
86, 7rusgranumwlklem4 30495 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( P L N )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
98eqeq1d 2449 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( P L N )  =  ( K ^ N )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) ) )
102, 3, 5, 9syl3anc 1213 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) ) )
11 wwlknredwwlkn0 30284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) ) )
1211ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( (
w `  0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
13123ad2ant3 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) ) ) )
1413adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( w `
 0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
1514imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
w `  0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) )
1615rabbidva 2961 . . . . . . 7  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
1716adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
1817fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
19 simp2 984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E )  ->  (
y `  0 )  =  P )
2019pm4.71ri 628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E )  <->  ( (
y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)  ->  ( (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E )  <->  ( ( y `
 0 )  =  P  /\  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
2221rexbidva 2730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) ) )
23 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
2423eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x `  0
)  =  P  <->  ( y `  0 )  =  P ) )
2524rexrab 3120 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) )
2622, 25syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) )
2726rabbidva 2961 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) }  =  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
2827adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) }  =  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
2928fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
30 simplr1 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  V  e.  Fin )
31 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )
32 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  =  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }
3331, 32hashwwlkext 30490 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e. 
{ x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
3430, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
35 fveq1 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
x `  0 )  =  ( w ` 
0 ) )
3635eqeq1d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
( x `  0
)  =  P  <->  ( w `  0 )  =  P ) )
3736cbvrabv 2969 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }
3837sumeq1i 13171 . . . . . . . 8  |-  sum_ y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
4034, 39eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
4129, 40eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )  =  sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
42 rusgranumwlklem0 30491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) }  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
4342eqcomd 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) }  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )
4443fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
4544adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
46 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  (
w `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
4746eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  ( y `  0 )  =  P ) )
4847elrab 3114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  <->  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( y `  0
)  =  P ) )
4948simplbi 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)
5049adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) )
51 wwlkexthasheq 30291 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } ) )
53 rusgraprop3 30480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
54 wwlknimp 30246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5554adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  P )  ->  (
y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
56 simpll 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  y  e. Word  V )
57 nn0re 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
58 1re 9381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  1  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
60 nn0ge0 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
61 0lt1 9858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  <  1
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <  1 )
6357, 59, 60, 62addgegt0d 9909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  < 
( N  +  1 ) )
64633ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( N  +  1 ) )
6564adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
66 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0  <  ( # `  y
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
6766ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
0  <  ( # `  y
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
6865, 67mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  0  <  ( # `  y
) )
69 hashle00 12154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e. Word  V  ->  (
( # `  y )  <_  0  <->  y  =  (/) ) )
70 lencl 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
7170nn0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( # `
 y )  e.  RR )
72 0re 9382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  0  e.  RR
73 lenlt 9449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( # `  y
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
7473bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -.  0  < 
( # `  y )  <-> 
( # `  y )  <_  0 ) )
7571, 72, 74sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  0  <  ( # `  y )  <->  ( # `  y
)  <_  0 ) )
76 nne 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) )
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) ) )
7869, 75, 773bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
7978ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
8079con4bid 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
y  =/=  (/)  <->  0  <  (
# `  y )
) )
8168, 80mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  y  =/=  (/) )
8256, 81jca 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) )
8382ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
84833adant3 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
8555, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  P )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
8648, 85sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
8786imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) )
88 lswcl 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  y )  e.  V
)
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( lastS  `  y )  e.  V )
9089ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) )  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )  ->  ( lastS  `  y
)  e.  V )
91 preq1 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  { p ,  n }  =  {
( lastS  `  y ) ,  n } )
9291eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( {
p ,  n }  e.  ran  E  <->  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E ) )
9392rabbidv 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  { n  e.  V  |  {
p ,  n }  e.  ran  E }  =  { n  e.  V  |  { ( lastS  `  y
) ,  n }  e.  ran  E } )
9493fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  ( # `  { n  e.  V  |  { ( lastS  `  y
) ,  n }  e.  ran  E } ) )
9594eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K  <-> 
( # `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
9695rspcva 3068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( lastS  `  y )  e.  V  /\  A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9790, 96sylancom 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) )  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9897exp41 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K  -> 
( # `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
9998com14 88 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ->  (
# `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
100993ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ->  (
# `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
10153, 100syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  (
y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
102101imp41 590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
10345, 52, 1023eqtrd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  K )
104103ralrimiva 2797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  A. y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  K )
105104sumeq2d 13175 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } K )
106 oveq1 6097 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  x.  K )  =  ( ( K ^ N )  x.  K
) )
107106adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  x.  K
)  =  ( ( K ^ N )  x.  K ) )
108 wwlknfi 30295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin )
1091083ad2ant1 1004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( V WWalksN  E
) `  N )  e.  Fin )
110109ad2antlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  e.  Fin )
111 rabfi 7533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  e.  Fin )
112110, 111syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  e.  Fin )
113 rusgraprop 30471 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  p )  =  K ) )
114 nn0cn 10585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
1151143ad2ant2 1005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  p
)  =  K )  ->  K  e.  CC )
116113, 115syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  K  e.  CC )
117116ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  K  e.  CC )
118 fsumconst 13253 . . . . . . . 8  |-  ( ( { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  e.  Fin  /\  K  e.  CC )  ->  sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } K  =  ( ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  x.  K ) )
119112, 117, 118syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } K  =  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  x.  K ) )
120 expp1 11868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( K ^ N )  x.  K ) )
121116, 4, 120syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( K ^
( N  +  1 ) )  =  ( ( K ^ N
)  x.  K ) )
122121adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( K ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( K ^ N )  x.  K
) )
123107, 119, 1223eqtr4d 2483 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } K  =  ( K ^
( N  +  1 ) ) )
124105, 123eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
12518, 41, 1243eqtrd 2477 . . . 4  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
126 peano2nn0 10616 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1271263ad2ant3 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
128127adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  NN0 )
1296, 7rusgranumwlklem4 30495 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
130129eqeq1d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( P L ( N  +  1 ) )  =  ( K ^ ( N  + 
1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
1312, 3, 128, 130syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
132131adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
133125, 132mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
134133ex 434 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
13510, 134sylbid 215 1  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   (/)c0 3634   {cpr 3876   <.cop 3880   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415   NN0cn0 10575  ..^cfzo 11544   ^cexp 11861   #chash 12099  Word cword 12217   lastS clsw 12218   substr csubstr 12221   sum_csu 13159   USGrph cusg 23199   Walks cwalk 23340   VDeg cvdg 23498   WWalksN cwwlkn 30237   RegUSGrph crusgra 30465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-xadd 11086  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-word 12225  df-lsw 12226  df-concat 12227  df-s1 12228  df-substr 12229  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-usgra 23201  df-nbgra 23267  df-wlk 23350  df-vdgr 23499  df-wwlk 30238  df-wwlkn 30239  df-rgra 30466  df-rusgra 30467
This theorem is referenced by:  rusgranumwlk  30500
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