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Theorem rusgranumwlks 24821
Description: Induction step for rusgranumwlk 24822. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgranumwlk.w  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
rusgranumwlk.l  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
Assertion
Ref Expression
rusgranumwlks  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    E, c, n    N, c, n    V, c, n    v, N, w    P, n, v, w    v, V    n, W, v, w   
w, V, c    v, E, w    w, K
Allowed substitution hints:    P( c)    K( v, n, c)    L( w, v, n, c)    W( c)

Proof of Theorem rusgranumwlks
Dummy variables  i  p  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 24796 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  V USGrph  E )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  V USGrph  E )
3 simpr2 1002 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  P  e.  V
)
4 simp3 997 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
54adantl 466 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
6 rusgranumwlk.w . . . . 5  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
7 rusgranumwlk.l . . . . 5  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
86, 7rusgranumwlklem4 24817 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( P L N )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
98eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( P L N )  =  ( K ^ N )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) ) )
102, 3, 5, 9syl3anc 1227 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) ) )
11 wwlknredwwlkn0 24592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) ) )
1211ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( (
w `  0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
13123ad2ant3 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) ) ) )
1413adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( w `
 0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
1514imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
w `  0 )  =  P  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) )
1615rabbidva 3084 . . . . . . 7  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
1716adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
1817fveq2d 5856 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
19 simp2 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E )  ->  (
y `  0 )  =  P )
2019pm4.71ri 633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E )  <->  ( (
y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)  ->  ( (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E )  <->  ( ( y `
 0 )  =  P  /\  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) ) )
2221rexbidva 2949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) ) )
23 fveq1 5851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
2423eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x `  0
)  =  P  <->  ( y `  0 )  =  P ) )
2524rexrab 3247 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) ( ( y `  0 )  =  P  /\  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) ) )
2622, 25syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) ) )
2726rabbidva 3084 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) }  =  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
2827adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) }  =  { w  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
2928fveq2d 5856 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
30 simplr1 1037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  V  e.  Fin )
31 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )
32 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  =  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }
3331, 32hashwwlkext 24611 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e. 
{ x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
3430, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  (
( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( x `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
35 fveq1 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
x `  0 )  =  ( w ` 
0 ) )
3635eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
( x `  0
)  =  P  <->  ( w `  0 )  =  P ) )
3736cbvrabv 3092 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( x ` 
0 )  =  P }  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }
3837sumeq1i 13494 . . . . . . 7  |-  sum_ y  e.  { x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )
3938a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( x `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
4029, 34, 393eqtrd 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  E. y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } )  =  sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P }  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E ) } ) )
41 rusgranumwlklem0 24813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) }  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )
4241eqcomd 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) }  =  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )
4342fveq2d 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
4443adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } ) )
45 elrabi 3238 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)
4645adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N ) )
47 wwlkexthasheq 24599 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  w
) }  e.  ran  E ) } )  =  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } ) )
49 rusgraprop3 24808 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
50 fveq1 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  y  ->  (
w `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
5150eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  y  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  ( y `  0 )  =  P ) )
5251elrab 3241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  <->  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( y `  0
)  =  P ) )
53 wwlknimp 24552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  P )  ->  (
y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
55 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  y  e. Word  V )
56 nn0p1gt0 10826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  < 
( N  +  1 ) )
57563ad2ant3 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( N  +  1 ) )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
59 breq2 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0  <  ( # `  y
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
6059ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
0  <  ( # `  y
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
6158, 60mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  0  <  ( # `  y
) )
62 hashle00 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e. Word  V  ->  (
( # `  y )  <_  0  <->  y  =  (/) ) )
63 lencl 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
6463nn0red 10854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( # `
 y )  e.  RR )
65 0re 9594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  e.  RR
66 lenlt 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( # `  y
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
6766bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -.  0  < 
( # `  y )  <-> 
( # `  y )  <_  0 ) )
6864, 65, 67sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  0  <  ( # `  y )  <->  ( # `  y
)  <_  0 ) )
69 nne 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) )
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) ) )
7162, 68, 703bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e. Word  V  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( -.  y  =/=  (/)  <->  -.  0  <  ( # `  y
) ) )
7372con4bid 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
y  =/=  (/)  <->  0  <  (
# `  y )
) )
7461, 73mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  y  =/=  (/) )
7555, 74jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) )
7675ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
77763adant3 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
7854, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  P )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
7952, 78sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) ) )
8079imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) ) )
81 lswcl 12563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  y )  e.  V
)
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( lastS  `  y )  e.  V )
8382ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) )  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )  ->  ( lastS  `  y
)  e.  V )
84 preq1 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  { p ,  n }  =  {
( lastS  `  y ) ,  n } )
8584eleq1d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( {
p ,  n }  e.  ran  E  <->  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E ) )
8685rabbidv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  { n  e.  V  |  {
p ,  n }  e.  ran  E }  =  { n  e.  V  |  { ( lastS  `  y
) ,  n }  e.  ran  E } )
8786fveq2d 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  ( # `  { n  e.  V  |  { ( lastS  `  y
) ,  n }  e.  ran  E } ) )
8887eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  ( lastS  `  y
)  ->  ( ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K  <-> 
( # `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) )
8988rspcva 3192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( lastS  `  y )  e.  V  /\  A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9083, 89sylancom 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ N
) )  /\  A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9190exp41 610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K  -> 
( # `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
9291com14 88 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  V  ( # `
 { n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E } )  =  K  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ->  (
# `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
93923ad2ant3 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( # `  {
n  e.  V  |  { p ,  n }  e.  ran  E }
)  =  K )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ->  (
# `  { n  e.  V  |  {
( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
9449, 93syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  (
y  e.  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K ) ) ) )
9594imp41 593 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
n  e.  V  |  { ( lastS  `  y ) ,  n }  e.  ran  E } )  =  K )
9644, 48, 953eqtrd 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  /\  y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  K )
9796sumeq2dv 13499 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } K )
98 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  x.  K )  =  ( ( K ^ N )  x.  K
) )
9998adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  x.  K
)  =  ( ( K ^ N )  x.  K ) )
100 wwlknfi 24603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin )
1011003ad2ant1 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( V WWalksN  E
) `  N )  e.  Fin )
102101ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  e.  Fin )
103 rabfi 7742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  e.  Fin )
104102, 103syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  e.  Fin )
105 rusgraprop 24794 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. p  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  p )  =  K ) )
106 nn0cn 10806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
1071063ad2ant2 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. p  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  p
)  =  K )  ->  K  e.  CC )
108105, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  K  e.  CC )
109108ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  K  e.  CC )
110 fsumconst 13579 . . . . . . . 8  |-  ( ( { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  e.  Fin  /\  K  e.  CC )  ->  sum_ y  e.  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } K  =  ( ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  x.  K ) )
111104, 109, 110syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } K  =  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  x.  K ) )
112 expp1 12147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( K ^ N )  x.  K ) )
113108, 4, 112syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( K ^
( N  +  1 ) )  =  ( ( K ^ N
)  x.  K ) )
114113adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( K ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( K ^ N )  x.  K
) )
11599, 111, 1143eqtr4d 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } K  =  ( K ^
( N  +  1 ) ) )
11697, 115eqtrd 2482 . . . . 5  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  sum_ y  e. 
{ w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  |  ( ( w substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  w ) }  e.  ran  E
) } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
11718, 40, 1163eqtrd 2486 . . . 4  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
118 peano2nn0 10837 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1191183ad2ant3 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
120119adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  NN0 )
1216, 7rusgranumwlklem4 24817 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
122121eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( P L ( N  +  1 ) )  =  ( K ^ ( N  + 
1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
1232, 3, 120, 122syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
124123adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) )  <->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
125117, 124mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e. 
Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  ( # `
 { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P } )  =  ( K ^ N ) )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) )
126125ex 434 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( # `  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P } )  =  ( K ^ N )  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
12710, 126sylbid 215 1  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  P  e.  V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( P L N )  =  ( K ^ N
)  ->  ( P L ( N  + 
1 ) )  =  ( K ^ ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   {crab 2795   (/)c0 3767   {cpr 4012   <.cop 4016   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   ran crn 4986   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780   Fincfn 7514   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627   NN0cn0 10796  ..^cfzo 11798   ^cexp 12140   #chash 12379  Word cword 12508   lastS clsw 12509   substr csubstr 12512   sum_csu 13482   USGrph cusg 24195   Walks cwalk 24363   WWalksN cwwlkn 24543   VDeg cvdg 24758   RegUSGrph crusgra 24788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-disj 4404  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-xadd 11323  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-word 12516  df-lsw 12517  df-concat 12518  df-s1 12519  df-substr 12520  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-sum 13483  df-usgra 24198  df-nbgra 24285  df-wlk 24373  df-wwlk 24544  df-wwlkn 24545  df-vdgr 24759  df-rgra 24789  df-rusgra 24790
This theorem is referenced by:  rusgranumwlk  24822
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