Theorem rusgranumwlks 24729

Description: Induction step for rusgranumwlk 24730. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
rusgranumwlk.w	|- W = ( n e. NN0 |-> { c e. ( V Walks E ) | ( # ` ( 1st ` c ) ) = n } )
rusgranumwlk.l	|- L = ( v e. V , n e. NN0 |-> ( # ` { w e. ( W ` n ) | ( ( 2nd ` w ) ` 0 ) = v } ) )

Assertion

Ref	Expression
rusgranumwlks	|- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   E, c, n   N, c, n   V, c, n   v, N, w   P, n, v, w   v, V   n, W, v, w   w, V, c   v, E, w   w, K

Allowed substitution hints:   P( c)   K( v, n, c)   L( w, v, n, c)   W( c)

Proof of Theorem rusgranumwlks

Dummy variables i p y x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusisusgra 24704	. . . 4 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> V USGrph E )
2	1	adantr 465	. . 3 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> V USGrph E )
3		simpr2 1003	. . 3 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> P e. V )
4		simp3 998	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
5	4	adantl 466	. . 3 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> N e. NN0 )
6		rusgranumwlk.w	. . . . 5 |- W = ( n e. NN0 |-> { c e. ( V Walks E ) | ( # ` ( 1st ` c ) ) = n } )
7		rusgranumwlk.l	. . . . 5 |- L = ( v e. V , n e. NN0 |-> ( # ` { w e. ( W ` n ) | ( ( 2nd ` w ) ` 0 ) = v } ) )
8	6, 7	rusgranumwlklem4 24725	. . . 4 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( P L N ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) )
9	8	eqeq1d 2469	. . 3 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) )
10	2, 3, 5, 9	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) )
11		wwlknredwwlkn0 24500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
12	11	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
13	12	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
14	13	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
15	14	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
16	15	rabbidva 3104	. . . . . . 7 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
17	16	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
18	17	fveq2d 5870	. . . . 5 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
19		simp2 997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) -> ( y ` 0 ) = P )
20	19	pm4.71ri 633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) /\ y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ) -> ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
22	21	rexbidva 2970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) ) )
23		fveq1 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
24	23	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( x ` 0 ) = P <-> ( y ` 0 ) = P ) )
25	24	rexrab 3267	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
26	22, 25	syl6bbr 263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) ) -> ( E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) <-> E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) ) )
27	26	rabbidva 3104	. . . . . . . 8 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
28	27	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
29	28	fveq2d 5870	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
30		simplr1 1038	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> V e. Fin )
31		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) )
32		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } = { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P }
33	31, 32	hashwwlkext 24519	. . . . . . . 8 |- ( V e. Fin -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
34	30, 33	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
35		fveq1 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( x ` 0 ) = ( w ` 0 ) )
36	35	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( ( x ` 0 ) = P <-> ( w ` 0 ) = P ) )
37	36	cbvrabv 3112	. . . . . . . . 9 |- { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P }
38	37	sumeq1i 13486	. . . . . . . 8 |- sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
40	34, 39	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. { x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
41	29, 40	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | E. y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
42		rusgranumwlklem0 24721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
43	42	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } )
44	43	fveq2d 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
45	44	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) )
46		fveq1 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = y -> ( w ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
47	46	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = y -> ( ( w ` 0 ) = P <-> ( y ` 0 ) = P ) )
48	47	elrab 3261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } <-> ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( y ` 0 ) = P ) )
49	48	simplbi 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) )
50	49	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) )
51		wwlkexthasheq 24507	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) )
53		rusgraprop3 24716	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) )
54		wwlknimp 24460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
55	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( y ` 0 ) = P ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
56		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> y e. Word V )
57		nn0re 10805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
58		1re 9596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 1 e. RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
60		nn0ge0 10822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
61		0lt1 10076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 0 < 1
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN0 -> 0 < 1 )
63	57, 59, 60, 62	addgegt0d 10127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN0 -> 0 < ( N + 1 ) )
64	63	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> 0 < ( N + 1 ) )
65	64	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> 0 < ( N + 1 ) )
66		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( 0 < ( # ` y ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
67	66	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( 0 < ( # ` y ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
68	65, 67	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> 0 < ( # ` y ) )
69		hashle00 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. Word V -> ( ( # ` y ) <_ 0 <-> y = (/) ) )
70		lencl 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( y e. Word V -> ( # ` y ) e. NN0 )
71	70	nn0red 10854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. Word V -> ( # ` y ) e. RR )
72		0re 9597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 0 e. RR
73		lenlt 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( # ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( # ` y ) <_ 0 <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
74	73	bicomd 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( -. 0 < ( # ` y ) <-> ( # ` y ) <_ 0 ) )
75	71, 72, 74	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. Word V -> ( -. 0 < ( # ` y ) <-> ( # ` y ) <_ 0 ) )
76		nne 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( -. y =/= (/) <-> y = (/) )
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. Word V -> ( -. y =/= (/) <-> y = (/) ) )
78	69, 75, 77	3bitr4rd 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( -. y =/= (/) <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
79	78	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( -. y =/= (/) <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
80	79	con4bid 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y =/= (/) <-> 0 < ( # ` y ) ) )
81	68, 80	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> y =/= (/) )
82	56, 81	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) )
83	82	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
84	83	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
85	55, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( y ` 0 ) = P ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
86	48, 85	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
87	86	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) )
88		lswcl 12555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) -> ( lastS ` y ) e. V )
89	87, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( lastS ` y ) e. V )
90	89	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( lastS ` y ) e. V )
91		preq1 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = ( lastS ` y ) -> { p , n } = { ( lastS ` y ) , n } )
92	91	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( { p , n } e. ran E <-> { ( lastS ` y ) , n } e. ran E ) )
93	92	rabbidv 3105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = ( lastS ` y ) -> { n e. V | { p , n } e. ran E } = { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } )
94	93	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) )
95	94	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K <-> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) )
96	95	rspcva 3212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( lastS ` y ) e. V /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K )
97	90, 96	sylancom 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K )
98	97	exp41 610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
99	98	com14 88	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
100	99	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. ran E } ) = K ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
101	53, 100	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K ) ) ) )
102	101	imp41 593	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. ran E } ) = K )
103	45, 52, 102	3eqtrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = K )
104	103	ralrimiva 2878	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> A. y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = K )
105	104	sumeq2d 13490	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K )
106		oveq1 6292	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
107	106	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
108		wwlknfi 24511	. . . . . . . . . . 11 |- ( V e. Fin -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin )
109	108	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin )
110	109	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin )
111		rabfi 7745	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V WWalksN E ) ` N ) e. Fin -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin )
112	110, 111	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin )
113		rusgraprop 24702	. . . . . . . . . 10 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( ( V VDeg E ) ` p ) = K ) )
114		nn0cn 10806	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN0 -> K e. CC )
115	114	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V USGrph E /\ K e. NN0 /\ A. p e. V ( ( V VDeg E ) ` p ) = K ) -> K e. CC )
116	113, 115	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( <. V , E >. RegUSGrph K -> K e. CC )
117	116	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> K e. CC )
118		fsumconst 13571	. . . . . . . 8 |- ( ( { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin /\ K e. CC ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) )
119	112, 117, 118	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) )
120		expp1 12142	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
121	116, 4, 120	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
122	121	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
123	107, 119, 122	3eqtr4d 2518	. . . . . 6 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
124	105, 123	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. ran E ) } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
125	18, 41, 124	3eqtrd 2512	. . . 4 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
126		peano2nn0 10837	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
127	126	3ad2ant3 1019	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
128	127	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
129	6, 7	rusgranumwlklem4 24725	. . . . . . 7 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) )
130	129	eqeq1d 2469	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ P e. V /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
131	2, 3, 128, 130	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
132	131	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
133	125, 132	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
134	133	ex 434	. 2 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( # ` { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
135	10, 134	sylbid 215	1 |- ( ( <. V , E >. RegUSGrph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   (/)c0 3785   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   |-> cmpt2 6287   1stc1st 6783   2ndc2nd 6784   Fincfn 7517   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494   + caddc 9496   x. cmul 9498   < clt 9629   <_ cle 9630   NN0cn0 10796  ..^cfzo 11793   ^cexp 12135   #chash 12374  Word cword 12501   lastS clsw 12502   substr csubstr 12505   sum_csu 13474   USGrph cusg 24103   Walks cwalk 24271   WWalksN cwwlkn 24451   VDeg cvdg 24666   RegUSGrph crusgra 24696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-xadd 11320  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-word 12509  df-lsw 12510  df-concat 12511  df-s1 12512  df-substr 12513  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-usgra 24106  df-nbgra 24193  df-wlk 24281  df-wwlk 24452  df-wwlkn 24453  df-vdgr 24667  df-rgra 24697  df-rusgra 24698

This theorem is referenced by:  rusgranumwlk  24730