Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgranumwlkl1 Structured version   Unicode version

Theorem rusgranumwlkl1 25674
 Description: In a k-regular graph, there are k walks (as word) of length 1 starting at each vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
rusgranumwlkl1 RegUSGrph WWalksN
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem rusgranumwlkl1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 25658 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph USGrph
2 usgrav 25064 . . . . . . . . . 10 USGrph
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 RegUSGrph
4 1nn0 10893 . . . . . . . . . 10
54a1i 11 . . . . . . . . 9
63, 5anim12i 568 . . . . . . . 8 RegUSGrph
7 df-3an 984 . . . . . . . 8
86, 7sylibr 215 . . . . . . 7 RegUSGrph
9 iswwlkn 25411 . . . . . . . 8 WWalksN WWalks
10 iswwlk 25410 . . . . . . . . . 10 WWalks Word ..^
11103adant3 1025 . . . . . . . . 9 WWalks Word ..^
1211anbi1d 709 . . . . . . . 8 WWalks Word ..^
139, 12bitrd 256 . . . . . . 7 WWalksN Word ..^
148, 13syl 17 . . . . . 6 RegUSGrph WWalksN Word ..^
1514anbi1d 709 . . . . 5 RegUSGrph WWalksN Word ..^
16 1p1e2 10731 . . . . . . . . . . 11
1716eqeq2i 2440 . . . . . . . . . 10
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 RegUSGrph
1918anbi2d 708 . . . . . . . 8 RegUSGrph Word ..^ Word ..^
20 3anass 986 . . . . . . . . . . . 12 Word ..^ Word ..^
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 RegUSGrph Word ..^ Word ..^
22 fveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 hash0 12555 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2422, 23syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 2ne0 10710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625nesymi 2693 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2826, 27mtbiri 304 . . . . . . . . . . . . . . 15
2924, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
3029necon2ai 2655 . . . . . . . . . . . . 13
3130adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 RegUSGrph
3231biantrurd 510 . . . . . . . . . . 11 RegUSGrph Word ..^ Word ..^
33 oveq1 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
34 2m1e1 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3533, 34syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635oveq2d 6322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
3736adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 RegUSGrph ..^ ..^
3837raleqdv 3028 . . . . . . . . . . . . 13 RegUSGrph ..^ ..^
39 fzo01 12002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
4039raleqi 3026 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
41 c0ex 9645 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 fveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
43 oveq1 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44 0p1e1 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4543, 44syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645fveq2d 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4742, 46preq12d 4087 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . 15
4941, 48ralsn 4038 . . . . . . . . . . . . . 14
5040, 49bitri 252 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
5138, 50syl6bb 264 . . . . . . . . . . . 12 RegUSGrph ..^
5251anbi2d 708 . . . . . . . . . . 11 RegUSGrph Word ..^ Word
5321, 32, 523bitr2d 284 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph Word ..^ Word
5453ex 435 . . . . . . . . 9 RegUSGrph Word ..^ Word
5554pm5.32rd 644 . . . . . . . 8 RegUSGrph Word ..^ Word
5619, 55bitrd 256 . . . . . . 7 RegUSGrph Word ..^ Word
5756anbi1d 709 . . . . . 6 RegUSGrph Word ..^ Word
58 anass 653 . . . . . 6 Word Word
5957, 58syl6bb 264 . . . . 5 RegUSGrph Word ..^ Word
60 anass 653 . . . . . . 7 Word Word
61 ancom 451 . . . . . . . . 9
62 df-3an 984 . . . . . . . . 9
6361, 62bitr4i 255 . . . . . . . 8
6463anbi2i 698 . . . . . . 7 Word Word
6560, 64bitri 252 . . . . . 6 Word Word
6665a1i 11 . . . . 5 RegUSGrph Word Word
6715, 59, 663bitrd 282 . . . 4 RegUSGrph WWalksN Word
6867rabbidva2 3069 . . 3 RegUSGrph WWalksN Word
6968fveq2d 5886 . 2 RegUSGrph WWalksN Word
70 rusgranumwwlkl1 25673 . 2 RegUSGrph Word
7169, 70eqtrd 2463 1 RegUSGrph WWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  crab 2775  cvv 3080  c0 3761  csn 3998  cpr 4000  cop 4004   class class class wbr 4423   crn 4854  cfv 5601  (class class class)co 6306  cc0 9547  c1 9548   caddc 9550   cmin 9868  c2 10667  cn0 10877  ..^cfzo 11923  chash 12522  Word cword 12661   USGrph cusg 25056   WWalks cwwlk 25404   WWalksN cwwlkn 25405   RegUSGrph crusgra 25650 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-card 8382  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-xadd 11418  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-hash 12523  df-word 12669  df-usgra 25059  df-nbgra 25147  df-wwlk 25406  df-wwlkn 25407  df-vdgr 25621  df-rgra 25651  df-rusgra 25652 This theorem is referenced by:  rusgranumwlkb1  25681
 Copyright terms: Public domain W3C validator