Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rusgranumwlkl1 Structured version   Unicode version

Theorem rusgranumwlkl1 30702
 Description: In a k-regular graph, there are k walks (as word) of length 1 starting at each vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
rusgranumwlkl1 RegUSGrph WWalksN
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem rusgranumwlkl1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 30691 . . . . . . . . . . 11 RegUSGrph USGrph
2 usgrav 23417 . . . . . . . . . . 11 USGrph
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph
4 1nn0 10701 . . . . . . . . . . 11
54a1i 11 . . . . . . . . . 10
63, 5anim12i 566 . . . . . . . . 9 RegUSGrph
7 df-3an 967 . . . . . . . . 9
86, 7sylibr 212 . . . . . . . 8 RegUSGrph
9 iswwlkn 30461 . . . . . . . . 9 WWalksN WWalks
10 iswwlk 30460 . . . . . . . . . . 11 WWalks Word ..^
11103adant3 1008 . . . . . . . . . 10 WWalks Word ..^
1211anbi1d 704 . . . . . . . . 9 WWalks Word ..^
139, 12bitrd 253 . . . . . . . 8 WWalksN Word ..^
148, 13syl 16 . . . . . . 7 RegUSGrph WWalksN Word ..^
1514anbi1d 704 . . . . . 6 RegUSGrph WWalksN Word ..^
16 1p1e2 10541 . . . . . . . . . . . 12
1716eqeq2i 2470 . . . . . . . . . . 11
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph
1918anbi2d 703 . . . . . . . . 9 RegUSGrph Word ..^ Word ..^
20 3anass 969 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^ Word ..^
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 RegUSGrph Word ..^ Word ..^
22 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 hash0 12247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2422, 23syl6eq 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25 2ne0 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2625nesymi 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
27 eqeq1 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2826, 27mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2924, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029necon2ai 2684 . . . . . . . . . . . . . 14
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 RegUSGrph
3231biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12 RegUSGrph Word ..^ Word ..^
33 oveq1 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34 2m1e1 10542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3533, 34syl6eq 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3635oveq2d 6211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 RegUSGrph ..^ ..^
3837raleqdv 3023 . . . . . . . . . . . . . 14 RegUSGrph ..^ ..^
39 fzo01 11724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
4039raleqi 3021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
41 c0ex 9486 . . . . . . . . . . . . . . . 16
42 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43 oveq1 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
44 0p1e1 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4543, 44syl6eq 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4645fveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4742, 46preq12d 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4847eleq1d 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948ralsng 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5041, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
5140, 50bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
5238, 51syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13 RegUSGrph ..^
5352anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12 RegUSGrph Word ..^ Word
5421, 32, 533bitr2d 281 . . . . . . . . . . 11 RegUSGrph Word ..^ Word
5554ex 434 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph Word ..^ Word
5655pm5.32rd 640 . . . . . . . . 9 RegUSGrph Word ..^ Word
5719, 56bitrd 253 . . . . . . . 8 RegUSGrph Word ..^ Word
5857anbi1d 704 . . . . . . 7 RegUSGrph Word ..^ Word
59 anass 649 . . . . . . 7 Word Word
6058, 59syl6bb 261 . . . . . 6 RegUSGrph Word ..^ Word
61 anass 649 . . . . . . . 8 Word Word
62 ancom 450 . . . . . . . . . 10
63 df-3an 967 . . . . . . . . . 10
6462, 63bitr4i 252 . . . . . . . . 9
6564anbi2i 694 . . . . . . . 8 Word Word
6661, 65bitri 249 . . . . . . 7 Word Word
6766a1i 11 . . . . . 6 RegUSGrph Word Word
6815, 60, 673bitrd 279 . . . . 5 RegUSGrph WWalksN Word
6968abbidv 2588 . . . 4 RegUSGrph WWalksN Word
70 df-rab 2805 . . . 4 WWalksN WWalksN
71 df-rab 2805 . . . 4 Word Word
7269, 70, 713eqtr4g 2518 . . 3 RegUSGrph WWalksN Word
7372fveq2d 5798 . 2 RegUSGrph WWalksN Word
74 rusgranumwlkl1lem1 30701 . 2 RegUSGrph Word
7573, 74eqtrd 2493 1 RegUSGrph WWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  cab 2437   wne 2645  wral 2796  crab 2800  cvv 3072  c0 3740  csn 3980  cpr 3982  cop 3986   class class class wbr 4395   crn 4944  cfv 5521  (class class class)co 6195  cc0 9388  c1 9389   caddc 9391   cmin 9701  c2 10477  cn0 10685  ..^cfzo 11660  chash 12215  Word cword 12334   USGrph cusg 23411   WWalks cwwlk 30454   WWalksN cwwlkn 30455   RegUSGrph crusgra 30683 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-xadd 11196  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-hash 12216  df-word 12342  df-usgra 23413  df-nbgra 23479  df-vdgr 23711  df-wwlk 30456  df-wwlkn 30457  df-rgra 30684  df-rusgra 30685 This theorem is referenced by:  rusgranumwlkb1  30715
 Copyright terms: Public domain W3C validator