Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rusgranumwlkb1 Structured version   Unicode version

Theorem rusgranumwlkb1 30715
Description: Induction base 1 for rusgranumwlk 30718. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgranumwlk.w  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
rusgranumwlk.l  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
Assertion
Ref Expression
rusgranumwlkb1  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  ( P L 1 )  =  K )
Distinct variable groups:    E, c, n    V, c, n    w, v    P, n, v, w   
v, V    n, W, v, w    w, V, c   
v, E, w    w, K
Allowed substitution hints:    P( c)    K( v, n, c)    L( w, v, n, c)    W( c)

Proof of Theorem rusgranumwlkb1
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 30691 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  V USGrph  E )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  V USGrph  E )
3 simpr 461 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  P  e.  V )
4 1nn0 10701 . . . 4  |-  1  e.  NN0
54a1i 11 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  1  e.  NN0 )
6 rusgranumwlk.w . . . 4  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
7 rusgranumwlk.l . . . 4  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
86, 7rusgranumwlklem4 30713 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  1  e. 
NN0 )  ->  ( P L 1 )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  1
)  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
92, 3, 5, 8syl3anc 1219 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  ( P L 1 )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  1
)  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
10 rusgranumwlkl1 30702 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  1
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  K )
119, 10eqtrd 2493 1  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  ( P L 1 )  =  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2800   <.cop 3986   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    |-> cmpt2 6197   1stc1st 6680   2ndc2nd 6681   0cc0 9388   1c1 9389   NN0cn0 10685   #chash 12215   USGrph cusg 23411   Walks cwalk 23552   WWalksN cwwlkn 30455   RegUSGrph crusgra 30683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-xadd 11196  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-hash 12216  df-word 12342  df-usgra 23413  df-nbgra 23479  df-wlk 23562  df-vdgr 23711  df-wwlk 30456  df-wwlkn 30457  df-rgra 30684  df-rusgra 30685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator