MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgranumwlkb1 Structured version   Unicode version

Theorem rusgranumwlkb1 25075
Description: Induction base 1 for rusgranumwlk 25078. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgranumwlk.w  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
rusgranumwlk.l  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
Assertion
Ref Expression
rusgranumwlkb1  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  ( P L 1 )  =  K )
Distinct variable groups:    E, c, n    V, c, n    w, v    P, n, v, w   
v, V    n, W, v, w    w, V, c   
v, E, w    w, K
Allowed substitution hints:    P( c)    K( v, n, c)    L( w, v, n, c)    W( c)

Proof of Theorem rusgranumwlkb1
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 25052 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  V USGrph  E )
21adantr 463 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  V USGrph  E )
3 simpr 459 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  P  e.  V )
4 1nn0 10728 . . . 4  |-  1  e.  NN0
54a1i 11 . . 3  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  1  e.  NN0 )
6 rusgranumwlk.w . . . 4  |-  W  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  c ) )  =  n } )
7 rusgranumwlk.l . . . 4  |-  L  =  ( v  e.  V ,  n  e.  NN0  |->  ( # `  { w  e.  ( W `  n
)  |  ( ( 2nd `  w ) `
 0 )  =  v } ) )
86, 7rusgranumwlklem4 25073 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e.  V  /\  1  e. 
NN0 )  ->  ( P L 1 )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  1
)  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
92, 3, 5, 8syl3anc 1226 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  ( P L 1 )  =  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  1
)  |  ( w `
 0 )  =  P } ) )
10 rusgranumwlkl1 25068 . 2  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  ( # `  {
w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  1
)  |  ( w `
 0 )  =  P } )  =  K )
119, 10eqtrd 2423 1  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  P  e.  V
)  ->  ( P L 1 )  =  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   {crab 2736   <.cop 3950   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   1stc1st 6697   2ndc2nd 6698   0cc0 9403   1c1 9404   NN0cn0 10712   #chash 12307   USGrph cusg 24451   Walks cwalk 24619   WWalksN cwwlkn 24799   RegUSGrph crusgra 25044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-xadd 11240  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-hash 12308  df-word 12446  df-usgra 24454  df-nbgra 24541  df-wlk 24629  df-wwlk 24800  df-wwlkn 24801  df-vdgr 25015  df-rgra 25045  df-rusgra 25046
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator