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Theorem rusgra0edg 25681
 Description: Special case for graphs without edges: There are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgranumwlk.w Walks
rusgranumwlk.l
Assertion
Ref Expression
rusgra0edg RegUSGrph
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,)   ()

Proof of Theorem rusgra0edg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 25657 . . 3 RegUSGrph USGrph
2 id 22 . . 3
3 nnnn0 10883 . . 3
4 rusgranumwlk.w . . . 4 Walks
5 rusgranumwlk.l . . . 4
64, 5rusgranumwlklem4 25678 . . 3 USGrph WWalksN
71, 2, 3, 6syl3an 1306 . 2 RegUSGrph WWalksN
8 df-rab 2780 . . . . 5 WWalksN WWalksN
9 usgrav 25063 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
101, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 RegUSGrph
1110, 3anim12i 568 . . . . . . . . . . . 12 RegUSGrph
12113adant2 1024 . . . . . . . . . . 11 RegUSGrph
13 df-3an 984 . . . . . . . . . . 11
1412, 13sylibr 215 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph
15 iswwlkn 25410 . . . . . . . . . . 11 WWalksN WWalks
16 iswwlk 25409 . . . . . . . . . . . . 13 WWalks Word ..^
17163adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12 WWalks Word ..^
1817anbi1d 709 . . . . . . . . . . 11 WWalks Word ..^
1915, 18bitrd 256 . . . . . . . . . 10 WWalksN Word ..^
2014, 19syl 17 . . . . . . . . 9 RegUSGrph WWalksN Word ..^
2120anbi1d 709 . . . . . . . 8 RegUSGrph WWalksN Word ..^
22 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 nncn 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
24 1cnd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2523, 24pncand 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26253ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RegUSGrph
2722, 26sylan9eqr 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RegUSGrph
2827oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 RegUSGrph ..^ ..^
2928raleqdv 3028 . . . . . . . . . . . . . 14 RegUSGrph ..^ ..^
30 rusgrargra 25656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RegUSGrph RegGrph
31 0eusgraiff0rgra 25665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph RegGrph
32 rneq 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
33 rn0 5105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3432, 33syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3534eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
36 noel 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3736bifal 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3835, 37syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3938adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4039ralbidv 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
41 fal 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4241ralf0 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
44 0nn0 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
47 nngt0 10645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4845, 46, 473jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4948ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
50 elfzo0 11963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
5149, 50sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
52 fzon0 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^ ..^
5351, 52sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
5453neneqd 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
55 nbfal 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
5654, 55sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
5740, 43, 563bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
5857ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
5931, 58syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph RegGrph ..^
601, 30, 59sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RegUSGrph ..^
61603impib 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 RegUSGrph ..^
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 RegUSGrph ..^
6329, 62bitrd 256 . . . . . . . . . . . . 13 RegUSGrph ..^
64633anbi3d 1341 . . . . . . . . . . . 12 RegUSGrph Word ..^ Word
65 df-3an 984 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word
66 ancom 451 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word
6765, 66bitri 252 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
6864, 67syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11 RegUSGrph Word ..^ Word
6968ex 435 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph Word ..^ Word
7069pm5.32rd 644 . . . . . . . . 9 RegUSGrph Word ..^ Word
7170anbi1d 709 . . . . . . . 8 RegUSGrph Word ..^ Word
72 anass 653 . . . . . . . . . 10 Word Word
73 anass 653 . . . . . . . . . . 11 Word Word
7441intnanr 923 . . . . . . . . . . . 12 Word
7574bifal 1450 . . . . . . . . . . 11 Word
7673, 75bitri 252 . . . . . . . . . 10 Word
7772, 76bitri 252 . . . . . . . . 9 Word
7877a1i 11 . . . . . . . 8 RegUSGrph Word
7921, 71, 783bitrd 282 . . . . . . 7 RegUSGrph WWalksN
8079abbidv 2553 . . . . . 6 RegUSGrph WWalksN
8141abf 3798 . . . . . 6
8280, 81syl6eq 2479 . . . . 5 RegUSGrph WWalksN
838, 82syl5eq 2475 . . . 4 RegUSGrph WWalksN
8483fveq2d 5885 . . 3 RegUSGrph WWalksN
85 hash0 12554 . . 3
8684, 85syl6eq 2479 . 2 RegUSGrph WWalksN
877, 86eqtrd 2463 1 RegUSGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wfal 1442   wcel 1872  cab 2407   wne 2614  wral 2771  crab 2775  cvv 3080  c0 3761  cpr 4000  cop 4004   class class class wbr 4423   cmpt 4482   crn 4854  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  c1st 6805  c2nd 6806  cc0 9546  c1 9547   caddc 9549   clt 9682   cmin 9867  cn 10616  cn0 10876  ..^cfzo 11922  chash 12521  Word cword 12660   USGrph cusg 25055   Walks cwalk 25224   WWalks cwwlk 25403   WWalksN cwwlkn 25404   RegGrph crgra 25648   RegUSGrph crusgra 25649 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-xadd 11417  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12522  df-word 12668  df-usgra 25058  df-wlk 25234  df-wwlk 25405  df-wwlkn 25406  df-vdgr 25620  df-rgra 25650  df-rusgra 25651 This theorem is referenced by: (None)
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