Theorem rusbcALT 16410

Description: A version of Russell's paradox which is proven using proper substitution.

Assertion

Ref	Expression
rusbcALT	|- {x | x e/ x} e/ _V

Proof of Theorem rusbcALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.19 732	. . 3 |- -. ({x | x e/ x} e. {x | x e/ x} <-> -. {x | x e/ x} e. {x | x e/ x})
2		elabsg 2488	. . . 4 |- ({x | x e/ x} e. _V -> ({x | x e/ x} e. {x | x e/ x} <-> [{x | x e/ x} / x]x e/ x))
3		sbcnel12g 16408	. . . 4 |- ({x | x e/ x} e. _V -> ([{x | x e/ x} / x]x e/ x <-> [_{x | x e/ x} / x]_x e/ [_{x | x e/ x} / x]_x))
4		csbvarg 2564	. . . . . . 7 |- ({x | x e/ x} e. _V -> [_{x | x e/ x} / x]_x = {x | x e/ x})
5	4, 4	eleq12d 1965	. . . . . 6 |- ({x | x e/ x} e. _V -> ([_{x | x e/ x} / x]_x e. [_{x | x e/ x} / x]_x <-> {x | x e/ x} e. {x | x e/ x}))
6	5	notbid 673	. . . . 5 |- ({x | x e/ x} e. _V -> (-. [_{x | x e/ x} / x]_x e. [_{x | x e/ x} / x]_x <-> -. {x | x e/ x} e. {x | x e/ x}))
7		df-nel 2020	. . . . 5 |- ([_{x | x e/ x} / x]_x e/ [_{x | x e/ x} / x]_x <-> -. [_{x | x e/ x} / x]_x e. [_{x | x e/ x} / x]_x)
8	6, 7	syl5bb 591	. . . 4 |- ({x | x e/ x} e. _V -> ([_{x | x e/ x} / x]_x e/ [_{x | x e/ x} / x]_x <-> -. {x | x e/ x} e. {x | x e/ x}))
9	2, 3, 8	3bitrd 603	. . 3 |- ({x | x e/ x} e. _V -> ({x | x e/ x} e. {x | x e/ x} <-> -. {x | x e/ x} e. {x | x e/ x}))
10	1, 9	mto 121	. 2 |- -. {x | x e/ x} e. _V
11		df-nel 2020	. 2 |- ({x | x e/ x} e/ _V <-> -. {x | x e/ x} e. _V)
12	10, 11	mpbir 207	1 |- {x | x e/ x} e/ _V

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   e. wcel 1300  [wsbc 1534  {cab 1871   e/ wnel 2018  _Vcvv 2292  [_csb 2540

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-nel 2020  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541

Copyright terms: Public domain