Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem9 Structured version   Unicode version

Theorem ruclem9 13849
 Description: Lemma for ruc 13854. The first components of the sequence are increasing, and the second components are decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1
ruc.2
ruc.4
ruc.5
ruclem9.6
ruclem9.7
Assertion
Ref Expression
ruclem9
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ruclem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ruclem9.7 . 2
2 fveq2 5872 . . . . . . 7
32fveq2d 5876 . . . . . 6
43breq2d 4465 . . . . 5
52fveq2d 5876 . . . . . 6
65breq1d 4463 . . . . 5
74, 6anbi12d 710 . . . 4
87imbi2d 316 . . 3
9 fveq2 5872 . . . . . . 7
109fveq2d 5876 . . . . . 6
1110breq2d 4465 . . . . 5
129fveq2d 5876 . . . . . 6
1312breq1d 4463 . . . . 5
1411, 13anbi12d 710 . . . 4
1514imbi2d 316 . . 3
16 fveq2 5872 . . . . . . 7
1716fveq2d 5876 . . . . . 6
1817breq2d 4465 . . . . 5
1916fveq2d 5876 . . . . . 6
2019breq1d 4463 . . . . 5
2118, 20anbi12d 710 . . . 4
2221imbi2d 316 . . 3
23 fveq2 5872 . . . . . . 7
2423fveq2d 5876 . . . . . 6
2524breq2d 4465 . . . . 5
2623fveq2d 5876 . . . . . 6
2726breq1d 4463 . . . . 5
2825, 27anbi12d 710 . . . 4
2928imbi2d 316 . . 3
30 ruc.1 . . . . . . . . 9
31 ruc.2 . . . . . . . . 9
32 ruc.4 . . . . . . . . 9
33 ruc.5 . . . . . . . . 9
3430, 31, 32, 33ruclem6 13846 . . . . . . . 8
35 ruclem9.6 . . . . . . . 8
3634, 35ffvelrnd 6033 . . . . . . 7
37 xp1st 6825 . . . . . . 7
3836, 37syl 16 . . . . . 6
3938leidd 10131 . . . . 5
40 xp2nd 6826 . . . . . . 7
4136, 40syl 16 . . . . . 6
4241leidd 10131 . . . . 5
4339, 42jca 532 . . . 4
4443a1i 11 . . 3
4530adantr 465 . . . . . . . . . 10
4631adantr 465 . . . . . . . . . 10
4734adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
48 eluznn0 11163 . . . . . . . . . . . . 13
4935, 48sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
5047, 49ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . 11
51 xp1st 6825 . . . . . . . . . . 11
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . 10
53 xp2nd 6826 . . . . . . . . . . 11
5450, 53syl 16 . . . . . . . . . 10
55 nn0p1nn 10847 . . . . . . . . . . . 12
5649, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11
5745, 56ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10
58 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
59 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
6030, 31, 32, 33ruclem8 13848 . . . . . . . . . . 11
6149, 60syldan 470 . . . . . . . . . 10
6245, 46, 52, 54, 57, 58, 59, 61ruclem2 13843 . . . . . . . . 9
6362simp1d 1008 . . . . . . . 8
6430, 31, 32, 33ruclem7 13847 . . . . . . . . . . 11
6549, 64syldan 470 . . . . . . . . . 10
66 1st2nd2 6832 . . . . . . . . . . . 12
6750, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11
6867oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10
6965, 68eqtrd 2508 . . . . . . . . 9
7069fveq2d 5876 . . . . . . . 8
7163, 70breqtrrd 4479 . . . . . . 7
7238adantr 465 . . . . . . . 8
73 peano2nn0 10848 . . . . . . . . . . 11
7449, 73syl 16 . . . . . . . . . 10
7547, 74ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9
76 xp1st 6825 . . . . . . . . 9
7775, 76syl 16 . . . . . . . 8
78 letr 9690 . . . . . . . 8
7972, 52, 77, 78syl3anc 1228 . . . . . . 7
8071, 79mpan2d 674 . . . . . 6
8169fveq2d 5876 . . . . . . . 8
8262simp3d 1010 . . . . . . . 8
8381, 82eqbrtrd 4473 . . . . . . 7
84 xp2nd 6826 . . . . . . . . 9
8575, 84syl 16 . . . . . . . 8
8641adantr 465 . . . . . . . 8
87 letr 9690 . . . . . . . 8
8885, 54, 86, 87syl3anc 1228 . . . . . . 7
8983, 88mpand 675 . . . . . 6
9080, 89anim12d 563 . . . . 5
9190expcom 435 . . . 4
9291a2d 26 . . 3
938, 15, 22, 29, 44, 92uzind4 11151 . 2
941, 93mpcom 36 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  csb 3440   cun 3479  cif 3945  csn 4033  cop 4039   class class class wbr 4453   cxp 5003  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  c1st 6793  c2nd 6794  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   clt 9640   cle 9641   cdiv 10218  cn 10548  c2 10597  cn0 10807  cz 10876  cuz 11094   cseq 12087 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088 This theorem is referenced by:  ruclem10  13850
 Copyright terms: Public domain W3C validator